Đề thì trường điện từ

Phần 1: Các kiến thức toán cơ bản Bài 1.1: Xét V là khối ñược bao bởi mặt kín S hình bán cầu bán kính R như trên hình vẽ và hàm véc-tơ 2 sin cos cos r r r r θ ϕ ϕ ϕ θ = + + v i i i     . a) Tính ( ) div v  và ( ). V div d τ ∫ v  b) Tính S d ∫ v a   i  Bài 1.2: Xét mặt S hình bán cầu hở bán kính R ñược căng trên ñường tròn (P) như trên hình vẽ và hàm véc-tơ 2 sin cos cos r r r r θ ϕ ϕ ϕ θ = + + v i i i     . a) Tính ( ) rot v  và ( ) S rot d ∫ v a   i b) Tính P d ∫ v l   i Bài 1.3: Xét mặt S hình bán trụ như trên hình vẽ và hàm véc-tơ 2 sin cos s z s z z ϕ ϕ ϕ = + + v i i i     . Bán kính ñáy trụ là R, khoảng cách hai ñáy là 2L. Tính ( ) rot v  và ( ) S rot d ∫ v a   i  . Bài 1.4: Biết trong hệ toạ ñộ trụ có 1 s ϕ = A i   . Tính S d ⋅ ∫ A a   với S là mặt tam giác giới hạn bởi 3 ñiểm ( ) 2,0,1 M , ( ) 1,0,2 N và ( ) 2,0,2 P (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ) Bài 1.5: Biết trong hệ toạ ñộ trụ có 1 s ϕ = A i   . Tính S d ⋅ ∫ A a   với S là mặt tam giác giới hạn bởi 3 ñiểm ( ) 1,0,1 M , ( ) 2,0,1 N và ( ) 2,0,2 P (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ). Bài 1.6: Biết trong hệ toạ ñộ trụ có 1 s ϕ = A i   . Tính S d ⋅ ∫ A a   với S là mặt bình hành giới hạn bởi 4 ñiểm ( ) 1,0,1 M , ( ) 2,0,2 N , ( ) 2,0,5 P và ( ) 1,0,4 Q (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ). Bài 1.7: Biết trong hệ toạ ñộ trụ có 1 s ϕ = A i   . Tính S d ⋅ ∫ A a   với S là mặt tam giác giới hạn bởi 3 ñiểm ( ) 1,0,1 M , ( ) 1,0,2 N và ( ) 2,0,2 P (các tọa ñộ cho trong hệ toạ ñộ trụ) Bài 1.8: Biết 2 sin 13 2 r r r θ ϕ θ ϕ= + + A i i i     . Tính ( ) div A  tại ( ) 1, /3, / 4 π π . Bài 1.9: Biết 2 sin 2 cos 2 s z s s z ϕ ϕ ϕ= + + A i i i     . Tính ( ) div A  tại ( ) 1, ,3 π . Bài 1.10: Biết 2 5 sin cos 2 z s z s s se ϕ ϕ ϕ − = + + A i i i     . Tính ( ) div A  tại ( ) 1/2, /2,0 π . Bài 1.11: Xét 4 ñiểm ( ,0,0) A R , ( ,0, ) B R R , (0, , ) C R R và (0, ,0) D R (tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề các). Kiểm tra tính chất thế của hàm 2 2 2 x y z y z z x x y = + + v i i i     thông qua việc lấy hai tích phân ñường sau: A B C d → → ∫ v l   i và A D C d → → ∫ v l   i trong ñó hai ñoạn A B → và D C → ñi theo ñường thẳng, còn hai ñoạn B C → và A D → ñi theo một phần tư ñường tròn bán kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy. Bài 1.12: Xét 3 ñiểm ( ,0,0) A R , ( ,0, ) B R R và (0, , ) C R R (tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề các), hàm véc-tơ ( ) ( ) ( ) x y z y z z x x y = + + + + + v i i i     . Tính tích phân ñường sau: A B C d → → ∫ v l   i trong ñó ñoạn A B → ñi theo ñường thẳng, còn ñoạn B C → theo một phần tư ñường tròn bán kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy. Bài 1.13: Kiểm tra tính chất thế của hàm x y z y z x = + + v i i i     thông qua việc lấy hai tích phân ñường sau: A B C d → → ∫ v l   i và A D C d → → ∫ v l   i trong ñó hai ñoạn A B → và D C → ñi theo ñường thẳng, còn hai ñoạn B C → và A D → ñi theo một phần tư ñường tròn bán kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy. Bài 1.14: Cho mặt S ñược giới hạn bởi ñường kín P A B O A = → → → như trên hình vẽ với bán kính 1 R = , góc 45 xOA =  ∡ . Tính ( ) S rot d ∫ F a   i  biết 2 5 2cos r r r θ ϕ ϕ = + + F i i i     . Bài 1.15: Cho mặt S ñược giới hạn bởi ñường kín P A C B A = → → → như trên hình vẽ với bán kính 2 R = . Tính biết d a  hướng theo Oz và 2 3 cos r r r ϕ ϕ = + F i i    Bài 1.16: Tính tích phân ñường P v dl ⋅ ∫   với 2 2 2 x y z x yz y = + + v i i i     ñường P từ A=(0,0,0) ñến B=(1,1,1) theo các ñường: a) ñường thẳng nối A và B. b) (0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1) → → → Bài 1.17: Tính tích phân ñường P v dl ⋅ ∫   với 2 2 2 x y z y yz x = + + v i i i     ñường P từ A=(0,0,0) ñến B=(1,1,1) theo các ñường: a) ñường thẳng nối A và B. b) (0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1) → → → Bài 1.18: Tính tích phân ñường P v dl ⋅ ∫   với 2 2 2 x y z y yz x = + + v i i i     ñường P từ A=(0,0,0) ñến B=(1,1,1) theo các ñường: a) ñường thẳng nối A và B. b) (0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1) → → → Bài 1.19: Cho ñường kín P A B C D A = → → → → như trên hình vẽ với bán kính 10 R = , chiều cao mặt trụ 12 h = . a) Tính P d ⋅ ∫ F l    biết 2 sin 5 2 cos s z s z sz ϕ ϕ ϕ = + + F i i i     b) Tính ( ) rot F  Bài 1.20: Cho ñường kín P A B O A = → → → như trên hình vẽ với bán kính 10 R = , góc 45 xOA =  ∡ . a) Tính P d ⋅ ∫ F l    biết 2 sin 5 2 cos r r r r θ ϕ ϕ ϕ = + + F i i i     b) Tính ( ) rot F  Bài 1.21: Cho ñường kín P A C B A = → → → như trên hình vẽ với bán kính 7 R = . a) Tính P d ⋅ ∫ F l    biết 2 sin 2 cos r r r ϕ ϕ ϕ = + F i i    b) Tính ( ) rot F  Bài 1.22: Cho ñường kín P A B C D A = → → → → như trên hình vẽ với bán kính 5 R = . a) Tính P d ⋅ ∫ F l    biết 2 2 x y x xy = + F i i    b) Tính ( ) rot F  Bài 1.23: Xét khối V là một phần tư khối cầu bán kính R ñược bao bởi mặt kín S như trên hình vẽ và hàm véc-tơ 2 sin cos cos cos r r r r θ ϕ θ ϕ ϕ θ = + + v i i i     . a) Tính S d ∫ v a   i  b) Tính ( ) div v  và ( ). V div d τ ∫ v  Bài 1.24: Xét 3 ñiểm ( ,0,0) A R , ( ,0, ) B R R và (0, , ) C R R (tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề các), hàm véc-tơ 2 2 2 2 2 2 x y z y z z x x y = + + v i i i     . Tính tích phân ñường sau: A B C d → → ∫ v l   i trong ñó ñoạn A B → ñi theo ñường thẳng, còn ñoạn B C → ñi theo một phần tư ñường tròn bán kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy. Bài 1.25: Xét 4 ñiểm ( ,0,0) A R , ( ,0, ) B R R , (0, , ) C R R và (0, ,0) D R (tọa ñộ cho trong hệ tọa ñộ ðề các). Kiểm tra tính chất thế của hàm x y z yz zx xy = + + v i i i     thông qua việc lấy hai tích phân ñường sau: A B C d → → ∫ v l   i và A D C d → → ∫ v l   i trong ñó hai ñoạn A B → và D C → ñi theo ñường thẳng, còn hai ñoạn B C → và A D → ñi theo một phần tư ñường tròn bán kính R tâm thuộc Oz và nằm trong mặt phẳng song song với mặt xOy. Phần 2: ðiện trường tĩnh Bài 2.1: Xác ñịnh véc-tơ cường ñộ ñiện trường và ñiện thế tại các ñiểm nằm trên trục của một trụ (chỉ có ñáy dưới) với mật ñộ phân bố ñiện tích ñều trên mặt bên và mặt ñáy là ρ . Bán kính ñáy trụ là R, chiều cao trụ là h. Bài 2.2: Tính ( ) r E  của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều trên hai mặt với mật ñộ ( ) / d C m ρ và ( ) / d C m ρ − . Với r – khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp ; ; r a a r b b r < < < < . Bài 2.3: Trong một phần khối cầu có giới hạn 0,1 0,15 r m ≤ ≤ ; ( ) /3 / 2 rad π θ π ≤ ≤ ; ( ) 0 / 2 rad ϕ π ≤ ≤ có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối 2 3 0,2 ( / ) k r C m ρ θ µ = . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối. Bài 2.4: Trong một phần khối cầu có giới hạn 0,1 0,15 r m ≤ ≤ ; ( ) 0 / 2 rad θ π ≤ ≤ ; ( ) 0 / 2 rad ϕ π ≤ ≤ có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối 2 3 30 ( / ) k r C m ρ θ µ = . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối. Bài 2.5: Tính ñiện dung riêng (C/m) của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố dọc ñều trên hai mặt với mật ñộ ( ) / d C m ρ và ( ) / d C m ρ − . Bài 2.6: Tính ñiện dung riêng (C/m) của hai ñoạn dây dẫn dài vô hạn hình trụ bán kính a ñặt song song, khoảng cách 2 trục là d, ñiện tích phân bố ñều trên hai dây với mật ñộ ( ) / d C m ρ và ( ) / d C m ρ − . Bài 2.7: Trong một khối giữa hai mặt trụ với giới hạn 0,1 0,1 m s m − ≤ ≤ ; ( ) /3 /2 rad π ϕ π ≤ ≤ ; 1 3 z m ≤ ≤ có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối 2 3 3 ( / ) k sz C m ρ µ = . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối. Bài 2.8: Tính ( ) V r của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều dọc trên hai mặt với mật ñộ ( ) / d C m ρ và ( ) / d C m ρ − . Với r – khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp ; ; r a a r b b r < < < < . Bài 2.9: Trong không gian có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối ( ) 0 / 2 3 0 2 0 cos ( / ) / r r k e C m r r ρ ρ ϕ µ − = . Tính ñiện tích tổng bên trong quả cầu bán kính r 0 . Bài 2.10: Tính ( ) V r của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều dọc trên hai mặt với mật ñộ ( ) / d C m ρ và ( ) / d C m ρ − . Với r – khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp ; ; r a a r b b r < < < < Bài 2.11: Trong một khối có giới hạn 0 1 x m ≤ ≤ ; 1 0 y m − ≤ ≤ ; 0 1 z m ≤ ≤ có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối 2 3 30 ( / ) k x y C m ρ µ = . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối. Bài 2.12: Tính ñiện dung riêng (C/m) của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố dọc ñều trên hai mặt với mật ñộ ( ) / d C m ρ và ( ) / d C m ρ − . Bài 2.13: Trong không gian có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối ( ) 0 / 2 3 0 2 0 cos ( / ) / r r k e C m r r ρ ρ ϕ µ − = . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong toàn không gian. Bài 2.14: Trục Oz có ñiện tích phân bố ñều ( ) 9 0,5.10 / d C m ρ − = . Tính U AB biết trong hệ tọa ñộ trụ có ( ) 2, /2,0 A π và ( ) 4, ,5 B π . Bài 2.15: Tính ( ) r E  của một tụ ñiện trụ gồm hai trụ dài vô hạn hình trụ bán kính a và b (a<b) ñặt ñồng trục, ñiện tích phân bố ñều trên hai mặt với mật ñộ ( ) 2 / m C m ρ và ( ) 2 / m C m ρ − . Với r – khoảng cách tới trục hai trụ. Xét 3 trường hợp ; ; r a a r b b r < < < < . Bài 2.16: Trong một khối giữa hai mặt trụ với giới hạn 0,1 0,2 m s m ≤ ≤ ; ( ) 0 / 2 rad ϕ π ≤ ≤ ; 0 1 z m ≤ ≤ có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối 2 3 3 ( / ) k s z C m ρ µ = . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối. Bài 2.17: Xét 3 ñường dây dài vô hạn hình trụ bán kính R 1 , ñặt song song với trục Oz, các trục cắt mặt phẳng xOy tại 3 ñiểm (0,0,0) A , ( ,0,0) B R và (0,3 ,0) C R (R>2R 1 ). Xác ñịnh hiệu ñiện thế giữa các bề mặt trụ của các ñường dây khi có 3 ñường dây ñược tích ñiện với mật ñộ ñiện dài lần lượt là 1 2 , ρ ρ và 3 ρ (C/m). Bài 2.18: Tính ñiện dung của hệ gồm 2 quả cầu bán kính R 1 và R 2 , khoảng cách giữa hai tâm cầu là d. Xét hai trường hợp: a) d=0 b) d>R 1 +R 2 . Bài 2.19: Trong một khối có giới hạn 0 1 x m ≤ ≤ ; 0 1 y m ≤ ≤ ; 0 1 z m ≤ ≤ có ñiện tích phân bố theo mật ñộ khối 2 3 30 ( / ) k x y C m ρ µ = . Tính ñiện tích tổng cộng bên trong khối. Bài 2.20: Tính ñiện dung riêng (C/m) của hai ñoạn dây dẫn dài vô hạn hình trụ bán kính a ñặt song song, khoảng cách 2 trục là d, ñiện tích phân bố ñều trên hai dây với mật ñộ ( ) / d C m ρ và ( ) / d C m ρ − . Bài 2.21: Xét 3 quả cầu bán kính R 1 , R 2 và R 3 ñặt tại 3 ñỉnh của một tam giác ñều cạnh R (R>max{R 1 +R 2 , R 1 +R 3 ,R 2 +R 3 }). Xác ñịnh hiệu ñiện thế giữa các bề mặt của các quả cầu khi 3 quả cầu ñược tích ñiện với mật ñộ ñiện mặt lần lượt là 1 2 , ρ ρ và 3 ρ (C/m 2 ). Bài 2.22: Xét 3 ñường dây dài vô hạn hình trụ bán kính R 1 , ñặt song song với trục Oz, các trục cắt mặt phẳng xOy tại 3 ñiểm (0,0,0) A , ( ,0,0) B R và (0,3 ,0) C R (R>R 1 ). Xác ñịnh véc-tơ cường ñộ ñiện trường tại các trung ñiểm các cạnh của tam giác ABC khi có 2 ñường dây qua A, B ñược tích ñiện với cùng mật ñộ ñiện dài ( / ) d C m ρ , ñường dây qua C ñược tích ñiện với mật ñộ ñiện dài ( / ) d C m ρ − . Bài 2.23: Xét 3 ñường dây dài vô hạn hình trụ bán kính R 1 , ñặt song song với trục Oz, các trục cắt mặt phẳng xOy tại 3 ñiểm (0,0,0) A , ( ,0,0) B R và (0,3 ,0) C R (R>R 1 ). Xác ñịnh véc-tơ cường ñộ ñiện trường tại các trung ñiểm các cạnh của tam giác ABC khi có 3 ñường dây ñược tích ñiện với cùng mật ñộ ñiện dài ( / ) d C m ρ Bài 2.24: Tính ñiện dung riêng của hai ñường dây dài vô hạn có tiết diện là ñường tròn bán kính R 1 và R 2 ñặt song song, khoảng cách giữa hai trục là d. . tọa ñộ. Tính cường ñộ ñiện trường E  , ( ) div E  và ( ) rot E  cho vùng không gian bên ngoài quả cầu. Phần 3: Từ trường tĩnh Bài 3.1: a) Xác ñịnh từ thông chuyển qua mặt khung. Cho một vùng hình chữ nhật có từ trường ñều B  như hình vẽ. Một khung dây hình tam giác vuông cân có cạnh bên R song song với các cạnh giới hạn của vùng có từ trường, ñiện trở khung 0,1 Ω ,. Cho mạch từ như hình bên. Lập chu trình dò ñể giải mạch từ biết cấu trúc hình học ñối xứng qua trục ngang. Bài 3.14: Cho mạch từ như hình bên. Lập hệ phương trình ñể giải mạch từ.