Đề và đáp án lần 2 - THPT Gia Lộc

1 SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT GIA LỘC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian giao đề) Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số 2 3 2    x y x (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Gọi M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp IAB  có diện tích nhỏ nhất. Câu II (2.0 điểm) 1) Giải phương trình: 3 2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0 4 4                  x x x x   2) Giải hệ phương trình:       2 2 2 2 3 1 0 3 7 4 4               x y x x y xy x y Câu III (1.0 điểm). Tính tích phân: 1 3 2 0 1 1             x x I dx x x x Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AD=2a; AB=BC=a, và hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa CD và SB. Câu V (1.0 điểm) Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và abc=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1       P a b c Câu VI (2.0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2 2 2 C : x y 2x 2my m 24 0       và đường thẳng   d : mx - 4y=0 . Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 10. (Với I là tâm đường tròn (C) và m là tham số) 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng: x 2 y 1 z d : 1 2 1     và mặt phẳng   P : x + 2y + 1 = 0 . Gọi A là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). a. Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P) b. Viết phương trình đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng bằng 3. Câu VII (1.0 điểm) Cho số phức z 1 biết 1 z 3  . Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 1 1 2    z z i . _______ HÕt _______ Hä vµ tªn thÝ sinh: – Sè b¸o danh : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm 2 HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 1,00 TXD:   \ 2   D . Ta có   2 1 ' 0 x D 2       y x Suy ra hàm số đồng biến trên     ;2 và 2;   và không có cực trị 0,25 x lim y 2 y 2     là tiệm cận ngang x 2 lim y x 2       là tiệm cận đứng 0,25 BBT x y' y 2 2 + - 2 + -  0,25 1 Đồ thị Cho x=0 thì y=3/2; cho y=0 thì x=3/2; đồ thị nhận điểm I(2;2) là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 4 2 5 y 3 2 I 0 3/2 2 x 0,25 Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp IAB  có diện tích nhỏ nhất. 1.00 Gọi   2a 3 M a; C pttt a 2           tại M có dạng:       2 1 2a 3 y x a d a 2 a 2        a 2  Tiệm cận đứng : x=2; tiệm cận ngang y=2; giao điểm của hai đường tiệm cận là I(2;2) 0,25 I 2 Gọi A là giao điểm của (d) và tiệm cận đứng suy ra tọa độ A là nghiệm của hpt     2 x 2 2a 2 1 2a 3 A 2; y x a a 2 a 2 a 2                       Gọi B là giao điểm của (d) và tiệm cận ngang suy ra tọa độ B là nghiệm của hpt       2 y 2 1 2a 3 B 2a 2;2 y x a a 2 a 2                0,25 3 ta có tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhận AB là đường kính suy ra diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB là 2 AB S 2         diện tích này nhỏ nhất khi chỉ khi AB 2 nhỏ nhất       2 2 2 2 2 2a 2 4 AB 2a 4 2 4 a 2 8 a 2 a 2                 2 AB nhỏ nhất bằng 8 khi chỉ khi           2 2 a 3 M 1;1 1 a 2 t / m a 1 M 3;3 a 2              0,50 Giải phương trình: 3 2 2 cos2 sin 2 cos 4sin 0 4 4                  x x x x   1,00              2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 sin cos 2 sin cos 2 2 sin cos 0 2 2 cos sin 2 sin cos sin cos 2 2 sin cos 0 sin cos 2cos 2sin sin cos 2 0 sin cos 0 2cos 2sin sin cos 2 0                               x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0,50 *   sin cos 0 sin 0 4 4                  x x x x k k    0,25 1   * 2 cos sin sin cos 2 0     x x x x (2) đặt:   2 1 t t cos x sin x 2 cos x 2 t 2 cosxsin x 4 2                  (2) trở thành:   2 2 t 1 1 t 2t 2 0 t 4t 5 0 t 5 loai 2                với t=1 suy ra   x 2k x 2k 1 4 4 2 cos x 1 cos x k 4 4 x 2k 2 x 2k 2 4 4                                                      0,25 Giải hệ phương trình:       2 2 2 2 3 1 0 3 7 4 4              x y x x y xy x y 1.00 Ðk: x y 0                2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 0 3 ( ) 3 7 3 3 7 4 4 ( )                                   x y x x y x y x y x y xy x y x y x y x y 0,50 II 2 đặt   1 a x y a 2 x y b x y             . Khi đó hpt trở thành   2 2 2 b 3 a a b 3 b 3 a a 2 a 2 b 1 3a b 13 2a 3a 2 0 1 a loai 2                                        0,25 4 với   1 x 1 y x y 2 a 2 1 2y 1 x 1 x y t / m 1 1 2y 2 b 1 x 1 y y 0 x y 1 1 2y                                            0,25 Tính tích phân: 1 3 2 0 1 1             x x I dx x x x 1.00 1 1 1 3 3 2 2 0 0 0 1 1 1 1                      x x x x I dx dx dx A B x x x x x x   1 1 1 1 3 3 2 4 3 2 2 0 0 0 0 1 1 5 1 3 2 3 2 0 0 0 *) 1 1 1 1 1 1 5 5                         x A dx x x x dx x dx x x dx x x x x x dx x x dx 0,25 1 3 2 0 1   x x dx đặt 2 t x 1 tdt xdx     với x=1 thì t 2  ; x=0 thì t=1   1 2 5 3 3 2 2 2 2 1 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1 5 3 15 15                    t t x x dx t t dt I 0,25 1 0 1    x B dx x đặt t x 2tdt dx    với x=0 thì t=0 ; x=1 thì t=1 khi đó 1 1 2 2 0 0 2 1 1       x t B dx dx x t 0,25 III đặt   2 x tan t t ; dx 1 tan t dt 2 2                    với x 0 t 0; x=1 t= 4      khi đó   4 4 2 4 0 2 0 0 1 B 2 tan tdt 2 1 dt 2 tan t t 2 cos t 2                    Vậy I= 2 2 29 I 15 2     0,25 Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa CD và SB. 1.00 N O B A C D S M I H K 5 Ta có     S.ABCD ABCD 1 V d S; ABCD .S 3  .   2 ABCD 1 3a S BC AD .AB 2 2    .Gọi O AC BD   do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy nên   SO ABCD  tại O     d S; ABCD SO   . kẻ   OI BC I   suy ra góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng  0 SI0 60  . 0,25 Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có OBC, ODA   là hai tam giác đồng dạng nên OC BC 1 OC 1 OA AD 2 CA 3     mà OI OC 1 a OI AB AB CA 3 3     . Xét SOI  vuông tại O có  2 3 0 SABCD a a 3 1 a 3 3a a 3 SO OI.tanSIO .tan60 V . . 3 3 3 3 2 6       0,25 Gọi M là trung điểm của AD suy ra       SB SBM / /CD d CD;SB d C;(SBM)    . Gọi BM AC N   . Ta có       BM AC BM SAC SBM SAC SN SO BM           Troang (SAC) kẻ     OH SN H OH SBM H      , kẻ CK song song với OH và cắt SN tại H khi đó   CK (SBM) K d CD;SB CK     0,25 IV Theo cách dựng suy ra O là trọng tâm tam giác BCM NO 1 CK 3OH NC 3     có 2 2 1 a 2 NC AC AB BC 2 2     a 2 ON 6   . Xét tam giác SON vuông tại O và có đường cao OH nên   2 2 2 2 2 1 1 1 3 18 a 21 a 21 OH CK d SB;CD OH OS ON a a 21 7          0,25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1       P a b c 1. 00 Chứng minh: 1 1 2 1 a 1 b 1 ab      . Thật vậy           2 b a ab 1 1 1 2 1 2 1 0 0 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab 1 ab 1 a 1 ab 1 b                    (đúng) dấu bằng xảy ra khi a=b 0,25 do đó ta có 3 4 6 1 1 2 1 c 1 abc 1 abc      . Suy ra 3 3 4 4 4 4 6 12 1 1 1 1 2 2 4 4 1 a 1 b 1 c 1 abc 1 ab 1 abc 1 abc 1 a b c                0,5 V Vậy: 3 3 P 1 1 abc    dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2 Vậy P nhỏ nhất bằng 1 khi a=b=c=2 0,25 1 Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 10 1.00 6 d B A I H       2 2 2 2 2 C : x y 2x 2my m 24 0 x 1 y m 25            suy ra (C) có tâm I(1;-m) và bán kính R=5;   2 m 4m d I;d 5 m m 16      suy ra đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B 0,25 Gọi H là trung điểm của AB thì IH=   2 5m d I;d m 16   2 2 2 20 HA R IH m 16      0,25   2 IAB 2 2 m 8 m 8 5m 20 S AH.IH . 10 m 10 m 16 0 t / m m 2 m 2 m 16 m 16                          0,50 a) Viết phương trình đường thẳng d’ 1.00         x 2 t pt d: y 1 2t A 2 t;1 2t; t d A P 2 t 2 1 2t 1 0 z t t 1 A 1; 1; 1                             Gọi M(2;1;0) thuộc d; mp(P) có   : 1;2;0 vtpt n  , đường thẳng b đi qua M và vuông góc với (P) có pt: 2 1 2 0 x t y t z           0,25 Gọi   N b P   tìm được N(1;-1;0)   0;0;1 AN  suy ra pt d’ 1 1 x y z t          0,25 b. Viết phương trình đường thẳng a Gọi   2 2 1; 1; 3 ( 1) 3 4 t H t b AH t t                0,25 VI 2 Với t=2 thì H(1;-1;2) khi đó a   1 2 : : : 1 : , 2; 1;0 2 d x t qua H a pt y t vtcp a n u z                            Với t=-4 thì H(1;-1;-4) khi đó a   1 2 : : : 1 : , 2; 1;0 4 d x t qua H a pt y t vtcp a n u z                             0,25 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z 1.00 Gọi     z a bi a,b M a;b      là điểm biểu diễn cho số phức z và z a bi   0,25 ta có     1 1 1 z z 1 2i z 1 2i z z 1 a b 2 i             0,25 VII     2 2 1 z 3 a 1 b 2 9       . Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường tròn     2 2 x 1 y 2 9     có tâm I(1;2), bán kính R=3 0,50 __________Hết_________ .         2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 sin cos 2 sin cos 2 2 sin cos 0 2 2 cos sin 2 sin cos sin cos 2 2 sin cos 0 sin cos 2cos 2sin sin cos 2 0 sin cos 0 2cos 2sin sin cos 2 0      .     ;2 và 2;   và không có cực trị 0 ,25 x lim y 2 y 2     là tiệm cận ngang x 2 lim y x 2       là tiệm cận đứng 0 ,25 BBT x y' y 2 2 + - 2 + -  0 ,25 1 . giác IAB là 2 AB S 2         diện tích này nhỏ nhất khi chỉ khi AB 2 nhỏ nhất       2 2 2 2 2 2a 2 4 AB 2a 4 2 4 a 2 8 a 2 a 2                 2 AB nhỏ nhất