Mã BCH và ReedSalamon (BCH and ReedSalamon Coding)

Trình bày báo cáo về 2 loại mã vòng BCH vào RS gồm: 1.Lịch sử và ứng dụng 2.cơ sở toán học 3.phương pháp mã hóa 4.phương pháp giả mã và phát hiện lỗi 5.Mô phỏng trên Matlab Báo cáo do nhóm SV lớp KSTNĐTVTK57 BKHN thực hiện

Báo cáo mã BCH   ! "#$%&'()(&*+,'' /./ -! 01&'()(&*+,'' 2/- 2! '3&'()(&*+,'' * ! • 4567 689:;6<=>?$$@A"BCDE"CF6G8HI JK(4;""$L M/.N75JO"KKL M*MN • 4P"$QCR8J8QJ7J7SCT"GJU9 • ,945CDEVW"$J66XBU4YBYYBZC[;B''Y79; W"  • \L8N867 R"R U8:L.B B]B8( N U8^8JU_7`KJJ"6J(8 • Oa8  67R"3 \LON%67$@I$Fb\L8N • );EHG$\L8N   B.c c 6778d;\L8Ne  f. • g" LhN  a 7S1T8?i7id;-C;EHGj3$ \L8N LhN%67C;E"d • :"d$\LONkf."F\LONj;9k O( a • );ERT"d; 8:67C;EHGP8P  a 78:Cl67 d;mkLhN • 45CD>?$\L-  NB3I67\L-N @C?BHnUF7?UC;EHGj3KJJ"6J(LhNB;o"CD$@ I$F! YLhNah - _h_ 67C;E"d$\L-N!;>?CD\L- - Na\LpN ;hah Bh_ ah - B ah 2 -   !"#$%&'()*"+,*"+" HPS-R"37Jj;9≥3 và t<2 m-1 Q;T>?HF945 U1R ! )F79a-q( -! 'RHST$;(S≤ 2! &JUjP≥ -_ "CDHF45JKLBSBN -./01) gSgHF945:;;6<B%r678:"d$\L-  N LhN67C;E945CDCs[;67C;EHGjP$\L-NGrBr - ]Br -  67 LhNat4,um r   LhNB ≤ ≤-v m r   LhNa B-Bp]67R;"!;"$; Gd;m r   LhNS1DO"U(S≤  YLhNa (S h (S _ (S( h (S( _]_ h_ . ;C;Eb9  LhNa"  LhNLhN LhN67 C;Eb9Lr  Na. ≤ ≤-!)?l67CW"S7CdCT C;EHGj 3T$I7C;Eb9d;45 >UCsURd;LhN$JHU8? 2 lV45:;;a Ba+BSap 2 w a . - YJCBLhNah 2 _h_ p 2./)301) Y"LhNa" S( h S( _" S(- h S(- _]_" h_" . $JCL" S( B" S(- B]B" . NCJSH;XB- S C;E;X p!,9;LYKJN  !bHFLBSBN>UCsC;ELhN -!4JC;E;X"LhN!bKJ$C;E $LhNaxh (S "LhNyJLhN L>Nah (S "LhN_$LhN 2!4"TL>NWKJ$ lVLBSBNaL *B+B-Nz"aL. N  +- w a . - LhNah w _h + _h / _h p _ -"LhNah / _h * _h - _h h w "LhNah p _h 2 _h . _h M $LhNaLh p _h 2 _h . _h M NJLh w _h + _h / _h p _ Nah 2 _ LhNah w "LhN_$LhNah p _h 2 _h . _h M _h 2 _  24JK{J$L N 45)6 !789)01"8: Lr  Na. ≤ i ≤ 2t Y,;$Ga. cc- )|;$G5 67b9d;45(6<!5  a. * 5%67;$GST$; g"r i 7 r j 67-R6D8L B-Bp]N(r i Na.S7}SLr j ) = 0 ;GCD;$GST$;"% -;#(/<=>/<?;@A1) 0 KJ$;KaLK . BK B]BK ( N YA6"GCD$a_K '$JK'a$5  aL_KN5  aK5  aL' B' - B]B' - N  cc- &1PiZO"UBg~6<;Us$l• B• - B]B• ~ L.€• €• - €]€• ~ €  N ; 'Rs$l6<k 6 ar •6 / )TU83$$BQ;:VC;Es$l6< 467  cc~ )•P83$$B; b 7-O"; R8^8HgCZB"CD + - hUCs‚LhN7 27#0BBC lV L *B*B2N45$\L /N );ELhNah . _h w _h * _h p _h - _h_ eLhNa. b9GCD$LhNah 2 _h / lJU'$JK ~a2 w ~a- 5""Pƒ REED-SOLOMON CODES „! Giới thiệu mã Reed-Solomon • Mã Reed - Solomon đã được NASA (Cục Quản trị Hàng không và Không gian Quốc gia Hoa Kỳ) sử dụng vào truyền thông trong vũ trụ từ năm 1977. • Mã Reed - Solomon được Reed và Solomon giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1960, là một mã sửa sai thuộc loại mã tuyến tính. Mã Reed - Solomon là một lớp con của mã BCH. Mã BCH (mã Bose, Chaudhuri và Hocquenghem) là một loại mã sửa lỗi vòng ngẫu nhiên quan trọng, có khả năng sửa được nhiều lỗi và được ứng dụng rộng rãi, có 2 lớp con là mã BCH nhị phân và mã BCH không nhị phân. Trong số những mã BCH không nhị phân này, lớp quan trọng nhất là mã Reed - Solomon. • Mã Reed - Solomon còn là một lớp quan trọng của Mã tách có khoảng cách cực đại (MDS). Với tư cách là mã MDS, mã Reed - Solomon còn có vai trò quan trọng trong việc làm tăng độ an toàn của các mã khối chống lại những tấn công đã biết như tấn công tuyến tính, tấn công lượng sai. • Mã Reed - Solomon được sử dụng để sửa các lỗi trong nhiều hệ thống thông tin số và trong lưu trữ, bao gồm: Các thiết bị lưu trữ (băng từ, đĩa CD, VCD v.v ), thông tin di động hay không dây (điện thoại di động, các đường truyền Viba), thông tin vệ tinh, truyền hình số DVB, các modem tốc độ cao như: ADSL, VDSL v.v (xDSL). Mã Reed - Solomon đặc biệt quan trọng trong việc sửa các burst lỗi (bit lỗi xảy ra gần nhau). M Hệ thống truyền tin sử dụng mã Reed-solomon. „„! Các định nghĩa liên quan ! Vành đa thức Xét tập hợp các đa thức có bậc không lớn hơn n-1 sau: f i là các hệ số được lấy giá trị trong một trường F nào đó. Trên tập các đa thức này ta xác định 2 phép toán trong là phép cộng đa thức và phép nhân đa thức như sau: a, Phép cộng đa thức Xét hai đa thức sau: Ta có: . [...]... các véct và chúng cũng phải được chuyển vị), bởi vậy ta có thểviết: Mã RS Là mã BCH q phân có độ dài qm-1 Trong GF(qm) đa thức tối thiểu của một phần tử β đơn giản chỉlà (x−β) Bởi vậy đa thức sinh của mã RS có dạng: IV trong đó α là phần tử nguyên thủy của trường Bậc của g(x) bằng 2t, như vậy với mã RS n-k=2t, khoảng cách của mã RS: d0 = n-k+1 16 Các hệ số của g(x) nằm trong GF(8) Đây là mã RS(7,3)... GF(8) Đây là mã RS(7,3) có 83 từ mã IV Thực hiện giải mã RS Syndrome Calculator r(x) si Error Polynomial L(x) Berlekamp’s Algorithm Error Locations xi Chien search Error Magnitudes Forney’s algorithm Error Corrector c(x) OUTPUT yi INPUT Hình 1 Cấu trúc bộ giải mã Hình 1 mô tả năm thành phần chính trong cấu trúc bộ giải mã Trong đó: r(x) Từ mã nhận được ( đầu vào bộ giải mã) si Syndrome L(x) Đa thức vị... thức bất khả quy bậc m Xác định các mã bằng các nghiệm Ta có thểxác định một b mã bằng cách cho rằng các từ mã là các đa thức nhị phân có các nghiệm xác định trong GF(2m) Chẳng hạn nếu nghiệm là α trong GF(8) thì đa thức tối tiểu là X3 + X +1 và tất cả các từ mã phải chia hết được cho đa thức này Trong trường hợp này, đa thức tối tiểu đóng vai trò như đa thức sinh của mã Một cách tổng quát ta có thểcoi... trị lỗi c(x) Từ mã được gửi đi ( đầu ra bộ giải mã) Như vậy, thuật toán giải mã gồm 5 bước chính sau đây: 17 Syndrome calculator : Tính các giá trị Si = r(αi) , 1≤ i ≤ 2t Những giá trị S i này được gọi là syndrome Berlekamp’s algorithm : Tìm đa thức vị trí lỗi L(x), và số lỗi υ Thuật toán này liên quan đến việc giải quyết đồng thời các phương trình ẩn s Chien search : Đưa ra L(x) và υ, tìm hệ số xi... được là từ mã, ngược lại thì trong đó có sai sót 18 4.2 Tìm vị trí sai và giá trị sai Một tính chất quan trọng của đa thức sai e(x) là nó cho ta biết cả vị trí sai và giá trị sai trong bản tin Giả sử các giá trị sai là và các giá trị sai tại các vị trí đó lần lượt là Ta sẽ có: Vì số lỗi không được vượt qua s nên Theo (4.1.3) ta có: (4.2 1) Giải hệ phương trình trên ta sẽ thu được v vị trí sai và v giá... e(x) thỏa mãn: Để đánh giá tính đúng sai của bản tin nhận được, ta sẽ tính giá trị của e(x) tại các nghiệm của g(x) là Các giá trị Si này được gọi là các Syndrome r(x) là từ mã nếu tất cả các Syndrome bằng 0, ngược lại thì r(x) không phải từ mã, nghĩa là trong bản tin nhận được có chứa lỗi sai Do  Từ (4.1.1), (4.1.2) =>  Ta có thể tính các Syndrome thông qua r(x) Nhắc lại rằng: Si = 0 khi và chỉ khi... thủy trong trường và các phép toán số học sẽ được thực hiện theo modulo của một đa thức nào đó trên GF(p) Ta chỉ quan tâm đến trường hợp p=2 Giả sử ta cần tạo một trường hữu hạn GF(q) và ký hiệu a là phần tử nguyên thủy của nó Các lũy thừa của α ( α 0 đ ế n α q - 2 ) g ồ m q - 1 phần tử khác không của trường Đối với trường GF(2m) ta có: 12 Nhân thức mà ta chọn phải là bất khả quy và không là nhân thức... thấy rằng tích của hai đa thức được thực hiện trên cơ sởtích của hai đơn thức xi và xj 11 2 Trường là một tập hợp các phần tử với hai phép toán trong hai ngôi thỏa mãn: là một nhóm cộng là một nhóm đối với phép nhân Trong đó: F*= F\{0} Ví dụ3: Trường nhị phân Galois GF(2): Trường này chỉ có hai phần tử 0 và 1 3 Đa thức a(X) được gọi là bất khả quy nếu nó không thể phân tích thành... search : Đưa ra L(x) và υ, tìm hệ số xi của L(x) Forney’s algorithm : Từ các syndrome và hệ số của L(x), tìm giá trị của symbol lỗi yi Thuật toán này liên quan đến việc giải quyết đồng thời các phương trình với s ẩn số Error corrector : Kết hợp các kết quả tính toán ở trên và xây dựng lại tin 4.1 Syndrome Do từ mã từ nguồn tin truyền đến nhận tin luôn có thể bị sai sót, nên đa thức tin mà bên thu... (chính là số dấu kiểm tra của mã) là số các nghiệm phân biệt sao cho tổng số các nghiệm là số dấu kiểm tra Nếu đa thức mã v(X) có một nghiệm βthì v(β) = 0 Cho vn là hệ số của Xn, khi đó: Ở dạng véctơ ta có thể viết như sau: 15 Tương tự, nếu v(X) có j nghiệm từ β1 đến βj thì : Ta biết rằng: v.HT=0 Như vậy ma trận chuyển vịcủa ma trận ở trên chính là ma trận kiểm tra của mã Các nghiệm đều là các đa thức . của mã BCH. Mã BCH (mã Bose, Chaudhuri và Hocquenghem) là một loại mã sửa lỗi vòng ngẫu nhiên quan trọng, có khả năng sửa được nhiều lỗi và được ứng dụng rộng rãi, có 2 lớp con là mã BCH nhị. nhiều lỗi và được ứng dụng rộng rãi, có 2 lớp con là mã BCH nhị phân và mã BCH không nhị phân. Trong số những mã BCH không nhị phân này, lớp quan trọng nhất là mã Reed - Solomon. • Mã Reed. Báo cáo mã BCH   ! "#$%&'()(&*+,''