phương pháp tọa độ trong không gian

Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A - LÍ THUYẾT I - VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN. 1 - Vectơ trong không gian a) Định nghĩa véc tơ b) Phương chiều, độ dài của một véc tơ c) Định nghĩa hai véc tơ bằng nhau d) Các phép toán của véc tơ Phép cộng véc tơ Hiệu của hai véc tơ Tích của một véc tơ với một số thực Tích vô hướng của hai véc tơ 2 - Các vectơ đồng phẳng a) Định nghĩa Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên ba đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng. b) Định lí 1: Cho ba véc tơ →→→ c,b,a trong đó véc tơ → a và véc tơ → b không cùng phương khi đó ba véc tơ → a , → b , → c đồng phẳng khi và chỉ khi có các số k, l sao cho: →→→ += blakc Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 1 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 c) Định lí 2 Nếu ba véc tơ →→→ c,b,a là ba véc tơ không đông phẳng thì với mọi véc tơ → x ta đều có: → x = →→→ ++ cmblak trong đó bộ 3 số k, l, m là duy nhất. II - Hệ tọa độ đề các trong không gian, tọa độ của một véc tơ 1) Hệ tọa độ Đêcác trong không gian. Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung điểm gốc O. Gọi → i , → j , → k là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 2) Tọa độ của véc tơ đối với hệ tọa độ. Cho hệ tọa độ Oxyz và một véc tơ tùy ý → u . Vì ba véc tơ → i , → j , → k không đồng phẳng nên có duy nhất bộ số (x, y, z) sao cho: → u = →→→ ++ kzjyix Bộ ba số (x, y, z) gọi là tọa độ của véc tơ → u kí hệu là → u (x, y, z) 3) Định lí Đối với hệ tọa độ Oxyz, nếu → u (x, y, z); → v (x', y', z') thì: a) → u + → v = (x + x', y + y', z + z') b) → u - → v = (x - x', y - y', z - z') Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 2 → u → i → j → k → a → b → a → c x y z Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 c) k → u =(kx, ky, kz) 4) Tọa độ của một điểm. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một điểm M bất kì. Tọa độ của véc tơ → OM cũng được gọi là tọa độ điểm M trong hệ tọa độ đó. → OM = (x, y, z) ⇔ M(x, y, z) ⇒ Mọi điểm M đều có một tọa độ duy nhất và ngược lại. 5) Định lí Đối với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(x A , y A , z A ) và B(x B , y B , z B ) thì → AB = (x B - x A , y B - y A , z B - z A ) 6) Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước. Giả sử điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k. Tìm tọa độ điểm M nếu biết: A(x A , y A , z A ) và B(x B , y B , z B ). Gọi M(x M , y M , z M ) ta có: k kzz z k kyy y k kxx x BA M BA M BA M − − = − − = − − = 1 ; 1 ; 1 III - Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ 1) Tích vô hướng và ứng dụng a) Định lí: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu → u (x, y, z); → v (x', y', z') thì: → u . → v = x.x' + y.y' + z.z' b) Ứng dụng: Khoảng cách giữa hai điểm A(x A , y A , z A ) và B(x B , y B , z B ) là AB = 2 BA 2 BA 2 BA )zz()yy()xx( −+−+− Góc giữa hai véc tơ: nếu ϕ là góc giữa hai véc tơ → u (x, y, z); Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 3 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 → v (x', y', z') với → u . → v ≠ 0 thì cos ϕ = 222222 'z'y'x.zyx 'zz'yy'xx v.u v.u ++++ ++ = →→ →→ 2) Tích có hướng của hai véc tơ a) Bổ đề: Nếu hai véc tơ → u (x, y, z); → v (x', y', z') cùng phương khi và chỉ khi cả ba định thức sau bằng không: ; ; ' ' ' ' ' ' y z z x x y y z z x x y . b) Định nghĩa: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai véctơ bất kỳ → u (x, y, z); → v (x', y', z'). Vectơ có tọa đọ là ba định thức ; ; ' ' ' ' ' ' y z z x x y y z z x x y gọi là tích có hướng hay tích vectơ của hai vectơ → u , → v và kí hiệu là: [ → u , → v ] Vậy: [ → u , → v ] = ; ; ' ' ' ' ' ' y z z x x y y z z x x y    ÷   c) Tính chất • → u , → v cùng phương khi và chỉ khi [ → u , → v ] = 0 • [ → u , → v ] →→→→ ⊥⊥ v ] v,u [,u • ϕ= →→→→ sinvu]v,u[ trong đó ϕ là góc giữa → u và → v d) Diện tích tam giác: Trong không gian cho tam giác ABC thì ta có: Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 4 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 ϕ== ∆ sinAC.AB 2 1 A ˆ sin.AC.AB 2 1 S ABC với ϕ là góc gữa hai véc tơ AC,AB Vậy: ABC S ∆ = 1 , 2 AB AC     uuur uuur e) Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ. Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ c,b,a đồng phẳng là: [ ] 0c.b,a = f) Thể tích hình hộp Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' thì thể tích hình hộp sẽ là: . ' ' ' ' , . ABCD A B C D V AB AC AD   =   uuur uuur uuur g) Thể tích tứ diện 1 , . 6 ABCD V AB AC AD   =   uuur uuur uuur IV - Phương trình tổng quát của mặt phẳng 1) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng a) Định nghĩa Véc tơ n khac véc tơ 0 gọi là véc tơ pháp tuyên của mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (α) ( nói tắt là n vuông góc với (α)) b) Chú ý • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu )z,y,x(a 111 và véc tơ )z,y,x(b 222 là hai véc tơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) một mặt phẳng (α) thì véc tơ ]b,a[n = là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 5 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 • Nếu M1, M2, M3 là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng (α) thì các véc tơ 3221 MM,MM là một cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (α) và do đó véc tơ ]MM,MM[n 3221 = là một véc tơ pháp tuyến của (α). 2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng a) Định lí: Trong không gian cho một hệ tọa độ Oxyz. Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn một phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0 Và ngược lại tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn phương trình (1) là một mặt phẳng. b) Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0dc gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 3) Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát a) Nếu D = 0 Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O b) Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 Mặt phẳng song song hoặc trùng với Ox c) Nếu A = 0, B = 0, C ≠ 0 Mặt phẳng vuông góc với Oz d) Nếu A, B, C, D ≠ 0 Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng. Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 6 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 V - Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 1) Một số qui ước và kí hiệu Hai bộ số (A 1 , A 2 , , A n ) và (A' 1 , A' 2 , , A' n ) gọi là tỉ lệ với nhau nếu: n n 2 2 1 1 'A A 'A A 'A A === với qui ước có thẻ có một A i = 0, khi đó thì A' i = 0. 2) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 3) Chùm mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α) và (α') cắt nhau lần lượt có phương trình là: (α): Ax + By + Cz + D = 0 (1) (α'): A'x + B'y + C'z + D' = 0 (2) a) Định lí Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của (α) và (α') đều có phương trình dạng: 0,0)'Dz'Cy'Bx'A()DCzByAx( 22 >µ+λ=+++µ++++λ (3) Ngược lại mỗi phương trình dạng (3)đều là phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2). b) Định nghĩa Tập hợp các mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (α') gọi là chùm mặt phẳng. Phương trình (3) gọi là phương trình của chùm. Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 7 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 VI - Phương trình của đường thẳng 1) Phương tình tổng quát của đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d. Ta có thể xem d là giao của hai mặt phẳng (α) và (α') nào đó. Giả sử (α) và (α') có phương trình lần lượt là: (α): Ax + By + Cz + D = 0 (1) (α'): A'x + B'y + C'z + D' = 0 (2) Khi đó một điểm M(x, y, z) thuộc d khi và chỉ khi tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình:    =+++ =+++ 0'Dz'Cy'Bx'A 0DCzByAx (1) Ngược lại điểm M có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn (1) với điều kiện: 'C:'B:'AC:B:Avà0'C'B'A,0CBA 222222 ≠>++>++ (2) đều nằm trên một đường thẳng. Hệ (1) với các điều kiện (2) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 2) Phương trình tham số của đường thẳng • Đường thẳng d hoàn toàn được xác định nếu ta biết một điểm M o (x o , y o , z o ) của nó và một véc tơ 0)c,b,a(u ≠ mà đường thẳng chứa u song song hoặc trùng với d. Véc tơ u như thế gọi là véc tơ chỉ phương của d • Điểm M(x, y, z) thuộc d khi và chỉ khi: MM o song song với u tức là: MM o = t u (với t ∈ R) ⇔      += += += ctzz btyy atxx o o o (3) (a 2 + b 2 + c 2 > 0) Hệ (3) với điều kiện (a 2 + b 2 + c 2 > 0) gọi là phương trình tham số của đường thẳng, t gọi là tham số. Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 8 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 3) phương trình chính tắc của đường thẳng Từ (3) bằng cách khử tham số t ta có: )4( c zz b yy a xx ooo − = − = − Trong trường hợp một hoặc hai trong ba số a, b, c bằng 0 thì ta vẫn viết phương trình (4) với qui ước nếu mẫu bằng 0 thì tử số cũng bằng 0. Phương trình (4) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng. VII - Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng 1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng 2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng IX - Khoảng cách 1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một điểm Mo(xo, yo, zo) và một mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0. Gọi d(M o , (α)) là khoảng cách từ Mo đến (α) ta có: d(M o , (α))= 222 ooo CBA DCzByAx ++ +++ 2) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm Mo, có véc tơ chỉ phương u và điểm M. Gọi d(M, ∆) là khoảng cách từ M đến ∆ thì ta có: d(M, ∆)= [ ] u u,MM o Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 9 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau. Giả sử ∆ đi qua điểm M1 và có véc tơ chỉ phương u . Đường thẳng ∆' đi qua điểm M' và có véc tơ chỉ phương 'u . Gọi d(∆, ∆') là khoảng cách giữa ∆ và ∆' thì ta có: d(∆, ∆') = [ ] [ ] 'u,u 'MM,'u,u X - Góc 1) Góc giữa hai đường thẳng Góc ϕ giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. 2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc nhọn hợp bởi đường thẳng đó với hình chiếu vuông góc d' của nó trên (α): sin 222222 cbaCBA cCbBaA cos ++++ ++ =ϕ=ψ Trong đó )c,b,a(u),C,B,A(n lần lượt là véc tơ pháp của (α) và véc tơ chỉ phương của d. ϕ là góc giữa hai véc tơ n,u 3) Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ pháp của hai mặt phẳng đó. Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398 10 [...]... bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) trong đó a, b, c > 0 a) Chứng minh rằng tam giác ABC cóa 3 gốc nhọn b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC c) Tìm tọa độ của điểm O' đối xứng của O qua [ABC] Bài 76 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một hình tứ diện có 4 đỉnh O(0, 0,... tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện Tel: 016.55.25.25.99 → → → → b) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho: MA + MB+ MC+ MD = 4 Viết phương trình chính tắc của tập hợp đó Bài 23 Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz và cho tam giác vuông cân OAB vuông góc tại O, nằm trong mặt phẳng Oxy mà đường thẳng AB song song với trục Ox và AB = 2a Xác định tọa độ điểm A, B biết rằng A có hoành độ. .. Hạ AH vuông góc với (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng AH và tìm tọa độ H Bài 51 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-1, 3, 2); B(4, 0, -3); C(5, -1, 4); D(0, 6, 1) a) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC Hạ AH vuông góc với BC Tìm tọa độ điểm H b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng DBC Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD Bài 52 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm: H( 1 1 1... góc của d1 và d2 lên mặt phẳng (P) a) Viết phương trình mặt phẳng (P1) chứa d1 và vuông góc với (P) b) Tìm tọa độ giao điểm I của d'1 và d'2 Bài 67 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 0) và đường thẳng d: x +1 y + 3 z + 2 = = 1 2 2 Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d Bài 68 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1, 1, 2); B(-2, 1, -1); C(2, -2, -1) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt... Viết phương trình chính tắc của đường phân giác trong của góc A Bài 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình: x = 5 + 2 t  d1:  y = 1 − t và d2: z = 5 − t  x = 3 + 2 t '   y = −3 − t ' Với t, t'∈ R z = 1 − t '  a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 Bài 48 x + 4mz − 3m = 0 Trong không gian cho đường thẳng Dm có phương. .. Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99 Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn có phương trình cho trong hệ tọa Đềcac x 2 + y 2 + z 2 − 2( x + y + z) − 22 = 0 vuông góc Oxyz trong không gian là  3x − 2 y + 6z + 14 = 0 Bài 92 ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 + (z + 3) 2 = 5 Trong không gian cho đường tròn (C)  Tìm tọa độ tâm  x − 2 y + 2z + 1 = 0 và bán kính của đường tròn (C) Bài... cạnh OA Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với OA Tìm tọa độ điểm K c) Gọi P, Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh SO và AB Tìm tọa độ điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau Bài 77 Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình là x = 1 + 2 t  d:  y = 2 − t và (P): 2x - y -2z + 1 = 0 z = 3t  a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ... 2z + 5 = 0 Bài 72 Trong không gian cho đường thẳng dm có phương trình là: x − my + z − m = 0  mx + y − mz − 1 = 0 a) Viết phương trình hình chiếu của ∆m của dm lêm mặt phẳng Oxy b) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng ∆m luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng Oxy Bài 73 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) trong đó a, b, c là... chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình Tel: 016.55.25.25.99 x = 2 + t  d:  y + 1 − t và d': z = 2 t   x + 2z − 2 = 0  y − 3 = 0 a) Chứng minh rằng d và d' chéo nhau Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d' b) Viết phương trình dạng tổng quát của mặt phẳng cách đều d và d' Bài 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1, -1, 1)... vuông góc với d và cắt d Bài 36  x − 2z = 0 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mp chứa đường thẳng  và 3x − 2 y + z − 3 = 0 vuông góc với mặt phẳng: x - 2y + z + 5 = 0 Bài 37 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-1, 3, 2); B(4, 0, -3); C(5, -1, 4): D(0, 6, 1) a) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC Hạ AH vuông góc với BC Tìm tọa độ điểm H b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng DBC Tìm . 016.55.25.25.99 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A - LÍ THUYẾT I - VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN. 1 - Vectơ trong không gian a) Định nghĩa véc tơ b) Phương chiều, độ dài của một. k → u =(kx, ky, kz) 4) Tọa độ của một điểm. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một điểm M bất kì. Tọa độ của véc tơ → OM cũng được gọi là tọa độ điểm M trong hệ tọa độ đó. → OM = (x, y,. hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 2) Tọa độ của véc tơ đối với hệ tọa độ. Cho hệ tọa độ Oxyz và một véc tơ tùy ý → u . Vì ba véc tơ → i , → j , → k không