KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Câu 1 (4 điểm): Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện 4026 2 += ba và x, y, z là các số dương thỏa mãn =++ =++ bzyx azyx 222 . Tính giá trị của biểu thức: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 22 2 22 2 22 2013 20132013 . 2013 20132013 . 2013 20132013 . z yx z y zx y x zy xP + ++ + + ++ + + ++ = Câu 2 (4 điểm): Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) ( ) 11023 32 −=+ xxx b) ( ) +=+ −=− 22 33 115 416 yx yyxx Câu 3 (3 điểm): Tìm một số có 4 chữ số, biết rằng nó là một số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nó 1 đơn vị thì cũng được một số chính phương. Câu 4 (6 điểm): 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, d 1 , d 2 là các tiếp tuyến tại A, B của (O), C là một điểm trên đoạn AB (C khác A, B). Góc xCy = 90 o có Cx cắt d 1 tại M, Cy cắt d 2 tại N. Hạ CH vuông góc với MN. CM cắt AH tại E, CN cắt BH tại F. a) Chứng minh EF // AC b) Tìm vị trí của C để AEFC là hình bình hành. 2. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Qua O kẻ ba đường thẳng song song với ba cạnh của tam giác chia tam giác ABC thành 3 tam giác và 3 hình bình hành. Chứng minh tổng diện tích 3 hình bình hành không vượt quá 2/3 diện tích tam giác ABC. Câu 5 (3 điểm): 1. Chứng minh số 100 1 3 1 2 1 1 ++++=x không phải là số nguyên. 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: bcac ab abcb ca caba bc P 222222 + + + + + = KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỈNH LẦN II Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Bài 1 (4 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: ( ) 2 2 2 21 1 + ++= x x xA 2) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: cbcaba +++=+ và 0 ≠ c . Chứng minh rằng: 0 > a ; 0 > b và 0 111 =++ cba Bài 2 (3 điểm): 1) Tìm tất cả các cặp số có hai chữ số dạng ab và cd biết d > 1 và d c abcdab +=+ 2) Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c thỏa mãn cabcababc ++< . Bài 3 (4 điểm): Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 463 23 =−− xxx b) ( ) 2335322 232 +++=++ xxxxx c) −−=++ += ++ + + 354352 32 2222 xxyxxyx yx yxyxyx Bài 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O), M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (M khác B, C). AM cắt BD tại I và cắt BC tại P, DM cắt AC tại K. a) Chứng minh: PK // BD. b) Chứng minh: 2AK.DI = AC 2 c) Xác định vị trí của M để AK + DI nhỏ nhất và khi đó, chứng minh: AI.DK + AD.IK = AK.DI Bài 5 (3 điểm): 1) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh: 0 2222 22 ≥ + − + + − + + − xz xy yx yz zy zx 2) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC với AB = c; BC = a; CA = b. Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là x, y, z. Hãy xác định vị trí của M để tổng z c y b x a P ++= đạt giá trị nhỏ nhất. KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỈNH LẦN III NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Bài 1 (3 điểm): Tính giá trị của biểu thức sau: ( ) ( ) 3 223 3 223 2 413 2 413 −−−− + −−+− = xxxxxxxx A tại 3 2013=x . Bài 2 (4 điểm): Giải các phương trình, hệ phương trình sau: a) xyyxxx 41521 22 +−−−=− b) x xx x =−+− 1 1 1 c) 5883 2 −−=+ xxx d) −=+ −=+ −=+ 14 14 14 yxz xzy zyx Bài 3 (3 điểm): 1) Chứng minh rằng: Nếu n là một số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương thì n là bội số của 24. 2) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là các số nguyên và có số đo diện tích bằng số đo chu vi. Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC có góc ABC > 90 o , trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O;R). Hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. a) Chứng minh: ABH∆ ∼ MKO∆ b) Chứng minh: 4 2 333 333 = ++ ++ IBIHIA IMIKIO c) Chứng minh: AH 2 + BC 2 = BH 2 + AC 2 = CH 2 + AB 2 Bài 5 (4 điểm): 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của xz z zy y yx x A + + + + + = 2 2 2 biết x, y, z là các số dương thỏa mãn: 1=++ zxyzxy . 2) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, xét hình thang có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông. Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích ấy. PHÒNG GD-ĐT TIÊN DU ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TỈNH LẦN 4 TRƯỜNG THCS TIÊN DU NĂM HỌC 2012-2013 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày 20 tháng 3 năm 2013 = = = = = = = = = = = = Bài 1 (4.5 điểm): 1) Tính ( ) 2013 3 14 −−= xxP với ( ) 5526 3610.13 3 −+ +− =x 2) Tính 222222 2013 1 2012 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 +++++++++=S 3) Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) xzy xzy yzx yzx − − = − − 11 22 với yx ≠ thì zyx zyx 111 ++=++ . Bài 2 (4.5 điểm): Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) ( ) 9244 2 2 +=− xx b) =++ =++ 3 1 3 1 2 2 y x y x y x y x c) =+ =+ 22 333 64 18278 yxyx yyx Bài 3 (3 điểm): 1) Cho các số nguyên a, b, m, n ( nm ≠ ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: i) Phương trình bậc hai 0 2 =++ baxx có nghiệm kép. ii) ( )( ) 1 22 =++++ bannbamm Chứng minh: )1)((4 −++=+ nmnmba . 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 13 3 =− y x Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c (c < a, c < b). Gọi M, N là các tiếp điểm của đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC, BC. Đường thẳng MN cắt AO, BO tại P, Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. a) Chứng minh: AOQM, BOPN, AQPB là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh: Q, E, F thẳng hàng. c) Chứng minh: OC OM cba PQNQMP = ++ ++ Bài 5 (2 điểm): 1) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của accbba cabcab cbaP 222 222 ++ ++ +++= 2) Trong mặt phẳng cho 2013 điểm sao cho 3 điểm bất kì trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không nhỏ hơn 1. Chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4. . > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: bcac ab abcb ca caba bc P 222222 + + + + + = KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỈNH LẦN II Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Bài 1 (4 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: ( ) 2 2 2 21 1 + ++= x x xA 2). x, y, z. Hãy xác định vị trí của M để tổng z c y b x a P ++= đạt giá trị nhỏ nhất. KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TỈNH LẦN III NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Bài 1 (3 điểm): Tính giá. KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Câu 1 (4 điểm): Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều