PT nghiệm nguyên

I. PHƯƠNG PHÁP KẸP GIỮA 1/ Giải PT nghiệm nguyên 1 + x + x 2 + x 3 = y 3 ( 1 ) ( Đề thi học sinh giỏi toán cấp II toàn quốc bảng A năm 1992 ) 2/ Giải PT nghiệm nguyên x 3 – y 3 – 2y 2 – 3y – 1 = 0 ( 2 ) 3/ Giải PT nghiệm nguyên x 4 – y 4 + z 4 + 2x 4 z 2 + 3x 2 + 4z 2 + 1 =0 (3) 4. Giải PT nghiệm nguyên x 4 + x 2 – y 2 + y + 10 = 0 (4 ) 5. Tìm mọi số nguyên x sao cho x 2 + 28 là số chính phương. 6. Giải PT nghiệm nguyên x 2 + 3y 2 + 4xy + 2x + 4y – 9 = 0 ( 6 ) 7. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y 3 – x 3 = 3x. 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y 3 = x 3 + 2x + 1. 9. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 6 4y 3 – 4y 4 = 2 + 3y + 6y 2 . 10. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 3y 2 + 4xy – 2x – 6y – 24 = 0. 11. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 8y 2 + 6xy + 4x + 8y – 17 = 0. II. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 12. Giải PT nghiệm nguyên: y 3 = 8x 3 + 84x 2 + 420x + 784 ( 12 ) 13 . Giải PT nghiệm nguyên dương + + = ( 13) ( Đề thi quốc gia Rumani ) 1 14. Tìm nghiệm nguyên dương của PT + = 50 ( 14 ) 15. Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau x 3 + 2y 3 = 4z 3 ( 15 ) 1 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 3 + 3y 3 + 9z 3 – 3xyz = 0. ( 16 ) 1 7. Giải phương trình nghiệm nguyên dương + = z. ( 17 ) 18. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 20. ( 18 ) 19. Giải PT nghiệm nguyên x 4 + 4y 4 = 2 ( z 4 + 4t 4 ). ( 19 ) 20. Với giá trị nguyên dương nào của n thì PT x 2 + y 2 + 1 = nxy. ( 20 ) có nghiệm nguyên dương . 21. Chứng minh rằng PT sau đây không có nghiệm nguyên dương x 2 + y 2 = 3z 2 . ( 21 ) III. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 22. Tìm bộ ba số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i) z và 2012 nguyên tố cùng nhau. ii) 2 2 2012 ( )x y+ =(xy) z . (Chọn đội tuyển Bắc Giang năm 2011) 23. Cho x, a, b là các số nguyên dương thỏa mãn x a + b = a b b. ( 24 ) Chứng minh rằng a = x và b =a x . (Olimpic Iran 1998) 24. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (n, p) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: i) p là số nguyên tố ii) n ≤ 2p iii) (p – 1) n + 1 M n p – 1 . 2 (Olimpic Quốc tế lần 40) 25. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho 3 x = 2 x y + 1 (Đề chọn đội tuyển Romanian) 26. Tìm nghiệm nguyên của phương trình a) 4xy – x – y = z 2 ; b) x 2 – y 3 = 7. 27. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 2y + 4y 2 = 37 28. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho tồn tại các số x 1 , x 2 , …, x k sao cho: x 1 3 + x 2 3 + … + x k 3 = 2002 2002 . (Olimpic QT – 2003) 29. Tìm các số nguyên tố p và q sao cho p 3 – q 5 = (p + q) 2 . ( 26 ) (Olimpic Nga 2001) 30. Chứng minh rằng PT x 15 + y 15 + z 15 = 19 2003 + 7 2003 + 9 2003 . ( 27 ) không có nghiệm nguyên. 31. Tìm nghiệm nguyên dương của PT 1! + 2! + …+ ( x + 1 )! = y z + 1 . ( 28 ) 32. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng phương trình x p + y p = p [( p – 1 ) !] p . ( 29 ) không có nghiệm nguyên. 33. Chứng minh rằng phương trình x 2 + y 2 = 8z + 6 ( 30 ) không có nghiệm nguyên. 34. Cho k là số nguyên dương cho trước. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 + y 2 = 2011 2003k + 1 ( 10 – z ). ( 31 ) 35. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 54x 3 + 1 = y 3 . ( 32 ) 3 . 12. Giải PT nghiệm nguyên: y 3 = 8x 3 + 84x 2 + 420x + 784 ( 12 ) 13 . Giải PT nghiệm nguyên dương + + = ( 13) ( Đề thi quốc gia Rumani ) 1 14. Tìm nghiệm nguyên dương của PT + = 50. Giải PT nghiệm nguyên x 2 + 3y 2 + 4xy + 2x + 4y – 9 = 0 ( 6 ) 7. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y 3 – x 3 = 3x. 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y 3 = x 3 + 2x + 1. 9. Tìm nghiệm. PT nghiệm nguyên 1 + x + x 2 + x 3 = y 3 ( 1 ) ( Đề thi học sinh giỏi toán cấp II toàn quốc bảng A năm 1992 ) 2/ Giải PT nghiệm nguyên x 3 – y 3 – 2y 2 – 3y – 1 = 0 ( 2 ) 3/ Giải PT