PT nghiệm nguyên

PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 12... Giải phương trình nghiệm nguyên dương 18.. 20 có nghiệm nguyên dương.. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 22... 27 không có

I PHƯƠNG PHÁP KẸP GIỮA

1/ Giải PT nghiệm nguyên

1 + x + x2 + x3 = y3 ( 1 )

( Đề thi học sinh giỏi toán cấp II toàn quốc bảng A năm 1992 ) 2/ Giải PT nghiệm nguyên

x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0 ( 2 )

3/ Giải PT nghiệm nguyên

x4 – y4 + z 4 + 2x4z2 + 3x2 + 4z2 + 1 =0 (3)

4 Giải PT nghiệm nguyên

x4 + x2 – y2 + y + 10 = 0 (4 )

5 Tìm mọi số nguyên x sao cho x2 + 28 là số chính phương

6 Giải PT nghiệm nguyên

x2 + 3y2 + 4xy + 2x + 4y – 9 = 0 ( 6 )

7 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

y3 – x3 = 3x

8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

y3 = x3 + 2x + 1

9 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x6 4y3 – 4y4 = 2 + 3y + 6y2

10 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + 3y2 + 4xy – 2x – 6y – 24 = 0

11 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + 8y2 + 6xy + 4x + 8y – 17 = 0

II PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

12 Giải PT nghiệm nguyên:

y3 = 8x3 + 84x2 + 420x + 784 ( 12 )

13 Giải PT nghiệm nguyên dương

+ + = ( 13)

( Đề thi quốc gia Rumani )

14 Tìm nghiệm nguyên dương của PT

+ = 50 ( 14 )

15 Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau

x3 + 2y3 = 4z3 ( 15 )

1 6 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x3 + 3y3 + 9z3 – 3xyz = 0 ( 16 )

1 7 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

18 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x2 + y2 + z2 + xyz = 20 ( 18 )

19 Giải PT nghiệm nguyên

x4 + 4y4 = 2 ( z4 + 4t4 ) ( 19 )

20 Với giá trị nguyên dương nào của n thì PT

x2 + y2 + 1 = nxy ( 20 )

có nghiệm nguyên dương

21 Chứng minh rằng PT sau đây không có nghiệm nguyên dương

x2 + y2 = 3z2 ( 21 )

III ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ

SỐ NGUYÊN TỐ

22 Tìm bộ ba số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) z và 2012 nguyên tố cùng nhau

ii) (x2+y2 2012) =(xy)z

(Chọn đội tuyển Bắc Giang năm 2011)

23 Cho x, a, b là các số nguyên dương thỏa mãn xa + b = abb ( 24 )

Chứng minh rằng a = x và b =ax

(Olimpic Iran 1998)

24 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (n, p) thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

i) p là số nguyên tố

ii) n ≤ 2p

iii) (p – 1)n + 1 M np – 1

(Olimpic Quốc tế lần 40)

25 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho

3x = 2xy + 1

(Đề chọn đội tuyển Romanian)

26 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

a) 4xy – x – y = z2 ;

b) x2 – y3 = 7

27 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 + 2y + 4y2 = 37

28 Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho tồn tại các số x1, x2, …, xk sao cho:

x1 + x2 + … + xk = 20022002

(Olimpic QT – 2003)

29 Tìm các số nguyên tố p và q sao cho

p3 – q5 = (p + q)2 ( 26 )

(Olimpic Nga 2001)

30 Chứng minh rằng PT

x15 + y15 + z15 = 192003 + 72003 + 92003 ( 27 ) không có nghiệm nguyên

31 Tìm nghiệm nguyên dương của PT

1! + 2! + …+ ( x + 1 )! = yz + 1 ( 28 )

32 Cho p là số nguyên tố lẻ Chứng minh rằng phương trình

xp + yp = p [( p – 1 ) !]p ( 29 ) không có nghiệm nguyên

33 Chứng minh rằng phương trình

x2 + y2 = 8z + 6 ( 30 ) không có nghiệm nguyên

34 Cho k là số nguyên dương cho trước Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x2 + y2 = 20112003k + 1 ( 10 – z ) ( 31 )

35 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau

54x3 + 1 = y3 ( 32 )