Cách giải tích phân trong thi đại và tốt nghiệp quốc gia

1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. B󰖤ng các nguyên hàm thư󰗞ng g󰖸p   1 1 1 1 ax b ax b dx c, a                      1 cos ax b dx sin ax b a      c 1dx ln ax b c ax b a       c     1 sin ax b dx cos ax b c a       1 ax b ax b e dx e c a          1 tg ax b dx ln cos ax b c a       1 ax b ax b m dx m c a ln m          1 cotg ax b dx ln sin ax b c a      2 2 1dx x arctg c a a a x         2 1dx cotg ax b c a sin ax b       2 2 1 2 dx a x ln c a a x a x           2 1dx tg ax b c a cos ax b        2 2 2 2 dx ln x x a c x a       2 2 x x arcsin dx x arcsin a x c a a      2 2 dx x arcsin c a a x     2 2 x x arccos dx x arccos a x c a a      2 2 1dx x arccos c a a x x a       2 2 2 x x a arctg dx xarctg ln a x c a a      2 2 2 2 1dx a x a ln c a x x x a          2 2 2 x x a arc cotg dx xarccotg ln a x c a a          b ln ax b dx x ln ax b x c a                1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a      2 2 2 2 2 2 2 x a x a x a x dx arcsin c a         1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a        2 2 ax ax e asinbx bcosbx e sinbx dx c a b        2 2 ax ax e acosbx bsinbx e cosbx dx c a b      C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 2 II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm 1. Ví dụ 1: Chứng minh: 2 2 d x 1 x a l n c 2 a x a x a       ; 2 2 d x 1 a x l n c 2 a a x a x       Chứng minh: 2 2 d x 1 1 1 1 d x d x 1 x a d x l n c 2 a x a x a 2 a x a x a 2 a x a x a                                2 2 dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x dx l n c 2a a x a x 2a a x a x 2a a x a x                               2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:   2 2 2 2 d x lnx x a x a       c Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:     2 2 2 2 2 2 1 x a l n x x a c x x a                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x x a 1 1 x x a x a x x a x a x a                     3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 2 2 dx 1 u c a a x     (với x tgu a  ) Đặt x tgu a  ,   u , 2 2          2 2 2 2 d a t g u dx 1 1 du u c a a a x a 1 tg u          4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 2 dx u c a x     (với x sin u a  , a > 0) Đặt x sin u a  ,u , 2 2               2 2 2 2 d x d a sinu du u c a x a 1 sin u          Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm 2 2 d x 1 x a r c t g c a a a x     và 2 2 d x x a r c s i n c a a x     (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x , arcsin x . Cách t r ì n h bà y t r ê n đ ể k h ắ c p h ụ c l ện h c ấ m n à y. III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 3  1 n n x x ;   m m n n k m m n n k x x ; x x     1 n n n n 1 1 x ; x x x ;   m n n m 1 x x ;   m n k n k m 1 x x 2. Biến đổi vi phân: dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)  …  d(x ± p) adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)  …  d(ax ± p)     x p 1 x 1 x 2 dx d d d a a a a              L III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ 1. 3 dx 1 x x     3 2 1 1 1 dx 1 dx 1 1 x x x x x                       2 3 2 1 1 1 1 dx l n 1 1 3 2 d x x x x x x x c x              2.   1 4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx 4 x x x x                    3 5 31 2 2 2 2 1 1 22 4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7 1 6 1 6 5 3 x x d x x x c                       3.       17 2 2 2 d 2 d 1 2 5 2 2 5 x x I x x       1 10 arctg 5 10 x c         4.       x d x 1 2 1 1 1 1 2 2 l n l n 2 5ln2 5ln2 2 + 5 2 2 5 2 5 2 2 5 x x x x x x x x d d c                  5.     5 3 2 3 cos cos 1 s i n 1 sin cos cos s i n dx 1 sin x dx x x dx x x x x x                    3 4 2 3 sin cos 1 sin sin cos cos sin 3 4 x x x d x xd x x c          III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI         1 x 1 x 2 x 3 x 4 J d x x x       ; 2 7x 3 J dx 2x 5     ; 2 3 3x 7x 5 J dx x 2        3 2 2 2 4 5 6 1 0 2x 5x 7x 1 0 4x 9x 10 2x 3 x 9 J d x ;J d x ; J d x x 1 2x 1 x 1                     3 2 3 2 7 8 15 3 0 x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4 J dx ; J dx x 2 x 1                             dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 33 2 11 152 10 310 0 9 C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 4         2 4 3 2 4 5 5 9 12 1 3 1 4 4 7 x 3x 5 J 2x 3 . x 1 d x ; J d x ; J x . 2x 3 d x 2x 1               9 3 1 5 16 17 4 2 2 1 0 5 x x x J dx ; J dx ; J dx x x 1 x x 1 2 3x                     1 8 1 9 20 2 2 2 2 dx dx dx J ; J ; J x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3                      21 22 23 2 2 2 2 2 2 x dx dx dx J ; J ; J x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3             l n 2 l n 2 l n 2 ln 2 2x x x 24 25 26 27 x x x 1 0 0 0 dx e dx 1 e J ; J ; J e 1dx; J dx 1 e e 1 e 1                  2 2 x x 1 1 1 1 x 28 29 30 3 1 x 2x 2x x 3x 0 0 0 0 1 e dx 1 e e dx dx J ; J ; J ; J dx 1 e 1 e e e e                l n 2 ln 4 1 e 3x 32 3 3 34 35 x 3 x x x 0 0 0 1 dx dx e dx 1 l n x J ; J ; J ; J dx x e e 4e 1 e                  3 1 1 6 5 2 5 3 3 2 36 37 38 0 0 0 J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx            2 x 1 1 1 1 2x x 39 40 41 42 x x x x 0 0 0 0 2 1 dx dx dx J ; J ; J ; J e 1 e dx 4 3 4 2 4               B À I 2 . T Í C H P H Â N C Á C H À M S Ố C Ó M Ẫ U S Ố C H Ứ A T A M T H Ứ C B Ậ C 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 1.     2 2 du 1 u arctg c a a u a 4.    d u 2 u c u 2.       2 2 du 1 u a ln c 2a u a u a 5.        2 2 du u arcsin c a 0 a a u 3.       2 2 du 1 a u ln c 2a a u a u 6.       2 2 du ln u u p c u p Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 1.                     2 2 2 2 b b 4ac ax bx c a x 2a 4a 2.         2 2 2 ax bx c mx n p B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 5 I. Dạng 1:  2 d x A = ax + bx + c 1. Phương pháp:             2 2 2 d x dx 1 mx n arctg c mp p ax bx c mx n p                2 2 2 mx n pd x dx 1 ln c 2mp mx n p ax bx c mx n p 2. Các bài tập mẫu minh họa •         1 2 2 2 2 d d 1 d 2 2 1 2 2 3 l n 2 4 8 1 4 32 2 3 2 2 3 2 2 3 x x x x A c x x x x x                    1 2 dx 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: A 3x  4x 2   ; 2 3 2 2 dx dx A ; A ; 4x 6x 1 5x 8x 6          2 1 1 4 5 6 2 2 2 1 0 0 dx dx dx A ; A ; A 7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3             II. Dạng 2:    2 mx+ n B = dx ax + bx + c 1. Phương pháp:                   2 2 m mb 2ax b n m x n 2a 2a B dx dx ax bx c ax bx c                  2 2 d ax bx c m mb n A 2a 2a a x b x c            2 m mb ln ax bx c n A 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) • Nếu mẫu có nghiệm kép 0 x x tức là 2 2 0 ( ) ax bx c a x x     thì ta giả sử:           2 2 0 0 mx n x x x ax bx c x x   Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm  ,  . Với  ,  vừa tìm ta có:        2 mx n B dx ax bx c  l n     0 0 x x c x x   • Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x : 2 1 2 ( )( ) ax bx c a x x x x      thì ta giả sử         2 1 2 mx n x x x x x ax bx c   C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 6 Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm  ,  . Với  ,  vừa tìm ta có:   dx      2 mx n B ax bx c  l n l n     1 2 x x x x c   2. Các bài tập mẫu minh họa: •   1 2 2x + 3 B = dx 9x 6x + 1     2 2 2 1 11 1 8 6 1 1 8 6 d 1 1 d 9 3 d 9 3 9 6 1 9 6 1 9 6 1 x x x x x x x x x x x                        2 2 2 1 9 6 1 11 3 1 2 11 l n 3 1 9 9 9 9 3 1 9 6 1 3 1 d x x d x x c x x x x                3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       1 2 3 2 2 2 7 3xdx 3x 4 dx 2 7xdx B ; B ; B 4x 6x1 2x 7x9 5x 8x 4                ; III. Dạng 3:  2 dx C = ax + bx + c 1. Phương pháp: Bổ đề: l n 2 2 du u u k c u k       Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:       2 2 2 dx dx 1 l n C mx n mx n k c m ax bx c mx n k                   2 2 2 dx d x 1 arcsin 0 mx n C p m p ax bx c p mx n            2. Các bài tập mẫu minh họa: •     2 3 2 2 d 1 d 5 5 45 l n 4 16 2 4 45 4 10 5 5 4 16 x x C x x c x x x              3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 3 2 2 2 dx dx dx C ; C ; C 3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x             IV. Dạng 4:    2 mx+ n dx D = a x + bx + c 1. Phương pháp:   2 2 2 d x d x 2 2 ax b m m b D a a a x b x c a x b x c             2 2 2 2 d ax bx c m mb C a a ax bx c        2. Các bài tập mẫu minh họa: C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 7 • D 1 =     1 1 1 2 2 2 0 0 0 4 d 2 d d 2 4 5 4 5 4 5 x x x x x x x x x x x                      1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 d 4 5 d 2 4 5 2ln 2 4 5 2 4 5 2 1 x x x x x x x x x x x                       3 10 10 5 2ln3 10 2ln2 5 10 5 2ln 2 5            3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       1 2 3 2 2 2 5 4xdx 3x 7 dx 8x 11 dx D ; D ; D 3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x                V. Dạng 5:    2 dx E = px + q ax + bx + c 1. Phương pháp: Đặt 2 1 dt 1 1 dx ; px q p x q t p t t              . Khi đó:   2 2 2 2 2 d t p td x d t E p x q a x b x c t t 1 a 1 b 1 q q c t t p t p                               2. Các bài tập mẫu minh họa: •    3 1 2 2 dx E = x - 1 x - 2 x + 2 . Đặt 2 2 1 1 1 1 3 1 ; 2 dx x t t x t x x t t dt t                    Khi đó:       1 2 3 2 1 2 2 2 1 dt t dx E 1 x-1 x 2x 2 t 1 t 1 2 2 t t t              1 1 2 2 1 2 1 2 dt 1 5 2 2 2 l n t t 1 ln 1 2 l n ln 2 1 5 t 1              3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 2 d x d x d x E ; E ; E 2x 3 x 3 x 1 3 x 4 2x 3 x 7 x 1 x 1               VI. Dạng 6:      2 mx+ n dx F = px + q ax + bx + c C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 8 1. Phương pháp:         2 2 d x dx mq m px q n mx n p p F px q ax bx c px q ax bx c                       2 2 d x dxmq mqm m F n C n E p p p p ax bx c px q ax bx c                          2. Các bài tập mẫu minh họa:     1 1 2 0 2 3 d 1 2 2 x x F x x x          1 1 2 2 0 0 dx dx 2 2I J x 2x 2 x 1 x 2x 2           1 2 0 dx 2 2 I x x           1 1 2 0 2 0 dx 2 5 l n 1 1 1 l n 1 2 1 1 x x x               1 2 0 1 2 2 dx J x x x      . Đặt 2 0 1 1 1 1 1 2 dx x t x t x t dt t                  . Khi đó:     1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 dt t dt 2 2 2 J l n t t 1 l n 1 5 1 t 1 1 1 1 2 1 2 t t t                  F 1  2I + J        2 5 2 2 2 2 9 4 5 2ln l n l n 1 2 1 5 1 2 1 5          •         3 2 2 2 5 1 2 1 2 2 2 1 4 3 x dx x x x            - 3 2 2 2 -2 x + 3 dx F = 2x + 1 -x - 4x - 3   3 2 3 2 2 2 2 2 1 d x 5 dx 1 5 I J 2 2 2 2 x 4x 3 2x 1 x 4x 3                  3 2 2 2 4 3 dx I x x            3 2 3 2 2 2 2 dx arcsin x 2 6 1 x 2               3 2 2 2 2 1 4 3 dx J x x x         . Đặt 2 1 2 3 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 x t t x t x x ; t t dt dx t                                 1 2 1 3 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 3 2 2 1 2 1 2 dt 2 t dt J 1 5 t 6 t 1 1 1 1 1 2 1 3 4 t t t 1 d t 1 5t 3 1 2 1 arcsin arcsin arcsin 2 3 4 5 5 5 3 2 t 5 5                                    http://ebooktoan.com/forum 9 Vậy   2 5 5 1 2 1 F I J arcsin arcsin 2 2 12 2 3 4       3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:             1 1 1 1 2 3 2 2 2 0 0 0 4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx F ; F ; F 8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1                   VII. Dạng 7 :    2 2 xdx G = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt 2 2 2 2 2 t d t dt t cx d t cx d x ; x dx c c          Khi đó:     2 2 2 2 1 1 1t dt dt G A c c at bc ad c a t d b t c                 2. Các bài tập mẫu minh họa: •    1 1 2 2 0 xdx G = 5 - 2x 6x + 1 . Đặt 2 0 1 6 1 1 7 6 x t t x x t x dx t dt                  . Khi đó:     7 7 7 1 2 2 2 1 1 1 3 4 7 1 t dt 1 dt 1 1 4 t 1 G ln ln 6 2 2 8 4 t 16 4 t 16 t 5 4 7 t 3                         3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:       2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 0 xdx x dx xdx G ; G ; G 4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1             VIII. Dạng 8:    2 2 dx H = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt   2 2 2 2 2 2 2 2 d td.dt xt cx d x t cx d x xdx t c t c                    2 2 2 2 2 td.dt t c dx xdx dt x xt t c td t c cx d          . Khi đó ta có:       2 2 2 2 2 dx dt dt H A ad bt ad bc ax b cx d b t c t c                       2. Các bài tập mẫu minh họa: C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com 10 •    3 1 2 2 2 dx H = x - 2 x + 3 . Đặt 2 2 2 3 3 3 3 7 2 2 x t x xt x t x x t                  và     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3tdt x t x 3 t 1 x 3 x xdx t 1 t 1                   2 2 2 2 2 3tdt t 1 dx x dx dt x xt t 1 3t t 1 x 3          . Khi đó ta có: 2 3 1 2 7 2 dt 2 5 H t           2 3 7 2 1 2 5 1 2 2 1 5 14 2 5 l n l n 2 10 2 5 2 10 2 2 15 14 2 5 t t        3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:     2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 d d 5 ; ; d 2 3 1 5 2 3 2 3 1 x x x H H H x x x x x x x x               IX. Dạng 9:      2 2 mx+ n dx I = ax + b cx + d 1. Phương pháp:     2 22 2 x d x d x I m n m G n H a x b cx d a x b c x d           2. Các bài tập mẫu minh họa: •             3 2 2 2 4 1 7 1 5 3 1 2 x dx x x              3 1 2 2 2 4x + 3 dx I = x - 2x - 4 3x - 6 x + 5         2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 du u d u du 4u 7 4 7 4J 7L u 5 3 u 2 u 5 3 u 2 u 5 3 u 2                Xét   2 2 2 1 5 3 2 udu J u u     . Đặt 2 2 2 2 3 2 3 3 t tdt t u u udu            1 4 2 14 14 2 2 2 2 1 5 5 5 udu tdt dt 1 t 17 J l n 2 17 t 17t 17 t 17 t u 5 3 u 2                    17 14 17 5 1 17 14 17 5 1 l n l n l n 2 17 1 7 14 17 5 2 17 17 14 17 5                  Xét   2 2 2 1 5 3 2 du L u u     . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 ut u u t u u t                  2 2 2 2 2 2 2 2tdtt 3 2tdt du udu dt udu u ut t 3 2t t 3 3u 2 t 3            . Khi đó: [...]... CungHocTap.Com Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: • H1 =   3x  2 dx 7  3x + 4 3 ; H2 =   2x 1 dx 3  3x - 1 4 ; H3 = dx   3x + 2 5  4x - 14 BÀI 4 TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC SỬ DỤNG 1 KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON 0 1 k n n  a  b n  Cn a n  Cn a n 1b   Cn a n  k b k   Cn 1 ab n 1  Cn b n n! k trong đó Cn  k ! n  k  ! và m!  1.2  m  1 m với qui ước... 1 3 6 2  78  3 5 26  5   ln  ln  2 65  78  3 5 26  5    1  78  3 5  26  5  4  3 1  1  arctg ln  arctg  13  13 13  2 65  78  3 5  26  5  BÀI 3 BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC 11 C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com Các bài tập mẫu minh họa: 1  x  5   x  2 1  1 1  1 x2 dx... đổi 1.2 hoặc 1.3 cho số mũ lẻ bé hơn 1.2 Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u  sinx ta có: 20 C ng đ ng h c t p tr c tuy n - CungHocTap.Com m B  sin m x cos n xdx   sin x   cos 2 x    n 1 2 cos xdx  u m 1  u 2   m 1 2 du (*) m 1 n 1 m  k ; ; là số nguyên 2 2 2 • Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số 2 Các bài tập mẫu minh họa 1  sin 2 x 2  cos x 2 dx 4 1 1  cos... k  h 1  sin x 2k  1  sin du  2 u x 2k 2  1  u 2 k  h 1 du  k  h 1 d  sin x  ;  u  s inx   u 2k 2  1  u 2 du  k h Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D 4.1 2 Các bài tập mẫu minh họa: • D1 =   tg3x7   cos3x 6 dx  2 dx 1   2 2   cos3x   cos3x 3 7   tg3x  1 7   tg3x 1  tg 3x 2 2 d... 1 1  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  cos 2  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c dx 1  tg  ax  b   c  ax  b  a  sin 2 dx 1   cotg  ax  b   c  ax  b  a B CÁC DẠNG TÍCH PHÂN I Dạng 1: A1.1 =   sinx  n n dx ; A1.2  cosx  dx  1 Công thức hạ bậc sin2 x  1  cos 2x 1  cos 2x  sin 3x  3 sin x cos 3x  3 cos x ;cos2 x  ; sin3 x  ;cos3 x  2 2 4 4 2 Phương pháp... ln c 4 16 1  u 16 1  sin x 8  cos x  2   3 1 u ln c 16 1  u 3 3 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: D1   tg 6x 20   cos 6x  8 dx ; D2   cotg 3x 11   sin 3x  21 dx; D3   tg x 4   cos x  3 dx ; D4   cotg 2x 6   cos 2x  5 dx V Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1 Phương pháp: E5.1   cos mx   cos nx  dx  1 2  cos  m  n  x  cos  m  n  x... 5x  cos 5x  cos 5x   c 5 3 5 7 9  II Dạng 2: B = sin m x cos n x dx  (m, nN) 1 Phương pháp: 1.1 Trường hợp 1: m, n là các số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng b Nếu m chẵn, n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi: p m 2p+1 m 2p m B =  sinx  cosx  dx   sin x   cos x cos xdx   sin x 1  sin2 x d  sin x    k p m 0 k k p p 1 2 2 2   ...  axn  b    1 b  k  2    k  1  ax n  b   kax n  b  2  c c k 1 na  k  1  k  2   ax n  b k 1 na 2  k  1  k  2   ax n  b     2 Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: G1  xdx x 8 1 ; G2  x5  x x 8 1 dx ; G 3  x dx 8 1 ; G4  xdx x 8 1 ; G****  5 x dx 8 1 VIII DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC • H1 = 10  3x  5 10 dx  3x  5  dx     x  2 ...  u2 3 2 3 Đặt  v  2u du  3v dv ; v   2  u2  u 13     2 3  1  u du  u  2   u  3  du   13  cos 2 x     2   sin x  2   tg x  3 2 2 3  1  u  B6  u   2  u  Cách 2: B7  2 3 3 3 3  du  dv   v  c    tg x  3  c  2 2 2   1  3  sin x cos x III Dạng 3: C 3 1 = 5 dx  2 5  cos x    tg x  n 3 2 2   tg x  3 d  tg x     tg x  3 dx...  cotg x   6 cotg x dx         tg x  4 4  cotg x  2  2tg x  6ln cos x  IV Dạng 4: D 4 1 =  4  tg x  m   cos x  n  4 2  2cotg x  6ln sin x  c dx ; D4 2 = 1 Phương pháp: Xét đại diện D4.1    cotg x  m  sin x n  tg x m   cos x  n dx dx 1.1 Nếu n chẵn (n  2k) thì biến đổi: D4.1 =  tgx m   cosx  2k dx   tg x  m  1     cos 2 x  k 1 dx  cos 2 x  tg