Bộ đề thi hsg toán 9

Bộ đề gồm cac đề thi được tổng hợp từ đề thi học sinh giỏi ở nhiều tỉnh thành .Bộ đề gồm đề thi và đáp án giúp việc làm bài đạt hiệu quả cao hơn ngoài ra còn giúp các bạn biết thêm nhiều cách giải toán thông qua phần đáp án

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Bài 1: (4,0 điểm) a. Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11. b. Chứng tỏ rằng: 3 3 7 50 7 50 + + là số tự nhiên. Bài 2: (4,0 điểm) a. Giải phơng trình: 2 2 4x 5x 1 3 2 x x 1 9x+ + + = + + b. Giải hệ phơng trình: 2 2 2 x y z 29 xyz 24 xy 2x 3y 6 y 2 + + = = = > Bài 3: (4,0 điểm) Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn: a 2 + b 2 = 1. a. Chứng minh : 1 a + b 2 b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 2a 1 2b+ + + Bài 4: (3,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: Nếu x + y + z > 1 1 1 x y z + + thì trong ba số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1. Bài 5: (5,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và dây cung CD (C, D không trùng với A, B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đờng tròn tại C, D; N là giao điểm các dây cung AC, BD. Đờng thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lợt tại E, F. Chứng minh: a. MN vuông góc với AB. b. NE = NF. UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2008 - 2009 Môn : Toán Bài 1: (4,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: 2 4 5 21 80 10 2 A + + = 2. Giải phơng trình: 2 2 6 18 0x x x x + = Bài 2: (3,0 điểm) Cho phơng trình ( ) ( ) 3 2 1 3 1 4 1 0 (1)m x m x x m+ + + = ( m là tham số). 1. Biến đổi phơng trình (1) về dạng phơng trình tích. 2. Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm âm. Bài 3: (4,0 điểm) 1. Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ,a b ta luôn có: 2 2 a b ab + ữ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? 2. Cho ba số thực , ,a b c không âm sao cho 1a b c + + = . Chứng minh: 16b c abc + . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? 3. Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức 6 6 sin cosP = + có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó. Bài 4: (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB lần lợt tại D, E và F. Đặt , ,x DB y DC z AE= = = . a. Tìm hệ thức giữa ,x y và z . b. Chứng minh rằng: 2AB AC DB DCì = ì . 2. Cho tam giác ABC cân tại A, BC a = . Hai điểm M và N lần lợt trên AC và AB sao cho: 2 , 2AM MC AN NB= = và hai đoạn BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo a . Bài 5: (3,0 điểm) 1. Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời. 2. Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thớc 1 5ì . Hãy cắt tấm bìa thành các mảnh để ráp lại thành một hình vuông. Giải thích. B i Cõu Nội dung Điểm 1 (4 điểm) 1.1 (2 đ) 2 4 5 21 80 10 2 A + + = ( ) 2 21 80 1 4 5 2 5 1 2 5+ = + + = + 5 21 80 6 2 5 1 5+ + = + = + ( ) 2 5 1 2 3 5 6 2 5 1 2( 5 1) 5 1 5 1 A = = = = 0,5 0,5 1,0 1.2 (2 đ) 2 2 6 18 0x x x x + = . Điều kiện để phơng trình có nghĩa: 2 6 0x x Đặt ( ) ( ) 2 2 2 6 0 18 12 0t x x t x x t t= = Khi đó phơng trình đã cho trở thành: ( ) 2 12 0 0 3 ( 4 0t t t t t+ = = = < loại) 2 2 1 2 1 61 1 61 3 6 9 0 15 0 ; 2 2 t x x x x x x + = = > = = = Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: 1,2 1 61 2 x = 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2 (3 điểm) 2.1 ( ) ( ) 3 2 1 3 1 4 1 0 (1)m x m x x m+ + + = ( ) ( ) 3 2 2 1 1 4 4 1 0m x m x mx x m + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 4 1 1 0m x x m x x + + = ( ) ( ) 2 1 1 4 4 1 0x m x mx m + + + = 0,5 0,5 0,25 2.2 Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 4 4 1 0 1 ( ) ( ) 1 4 4 1 0 ( ) x m x mx m x a g x m x mx m b + + + = = = + + + = 0,5 Để phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phơng trình (b) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tơng đơng với: 1 1 1 1 ' 1 3 0 1, 0, 3 3 (1) 0 9 0 m m m m m m m g m = > < < (*) Với điều kiện (*), phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x = 1 > 0 và hai nghiệm còn lại x 1 và x 2 (x 1 < x 2 ) là nghiệm của (b). Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm thì x 1 < x 2 <0, tơng đơng với: 1 2 1 2 4 1 1 0 1 1 1 1 4 4 4 1 0 0 1 m P x x m hay m m m hay m m m hay m S x x m = = > < > + < > < > = + = < + (**). Kết hợp (*) và (**) ta có: Để phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm thì cần và đủ là: 1 1 1 4 3 m hay m< < < 0,25 0,50 0,25 0,25 3 (4,0 điểm) 3.1 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a b a ab b a ab b ab ab + + + + = = ữ ( ) 2 0, , 4 a b a b = R Vậy: ( ) 2 2 , , 4 , , 2 a b ab a b a b ab a b + + ữ R R Dấu đẳng thức xảy ra khi a b = 0,25 0,25 0,25 0,25 Theo kết quả câu 3.1, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 4a b c a b c a b c + + = + + + mà 1a b c + + = (giả thiết) nên: ( ) ( ) 2 1 4 4a b c b c a b c + + + (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhng: ( ) 2 4b c bc+ (không âm) Suy ra: 16b c abc + . Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 1 , 4 2 a b c b c a b c = + = = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 3.2 Ta có: ( ) ( ) 3 3 6 6 2 2 sin cos sin sP co = + = + ( ) 2 2 4 2 2 4 sin cos sin sin cos cosP = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 3sin cos 1 3sin cosP = + = áp dụng kết quả câu 3.1, ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin cos 4sin cos 1 4sin cos sin cos 4 + Suy ra: 2 2 3 1 1 3sin cos 1 4 4 P = = Do đó: min 1 4 P = khi và chỉ khi: 2 2 sin cos sin cos = = (vì là góc nhọn) 0 sin 1 1 45 cos tg = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 4 (6,0 điểm) 4.1.a + Ta có: BD = BF, CD = CE và AE = AF (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó: , ,BC x y AC y z AB x z = + = + = + Theo định lí Pytago: 2 2 2 BC AB AC= + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y x z y z + = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2xy z x y z xy z x y z = + + = + + (a) 0,5 0,5 0,5 4.1.b Gọi r là bán kính, I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 ABC S AB AC BC r CA r AB r x y z r = ì = ì + ì + ì = + + (b) Tứ giác AEIF có 3 góc vuông, nên là hình chữ nhật. Nhng AE = AF (cm trên), nên AEIF là hình vuông, Do đó: z EI r= = (c) Từ (a), (b), (c) suy ra: 2 2AB AC xy AB AC DB DCì = ì = ì 0,5 0,5 0,5 4.2 + Theo giả thiết: 2AM MC = và 2AN NC = Suy ra: 2 2 // 3 3 AM AN MN AM MN BC AC AB BC AC = = = = . + Gọi E là giao điểm của BM và CN, theo định lí Ta-lét, ta có: 2 3 EM EN MN EB EC BC = = = . Gọi BK là đờng cao hạ từ B của tam giác ABC, ta có: 1 2 3 3 1 2 ABC ABC BCM BCM AC BK S AC S S S CM CM BK ì = = = = ì 0,5 0,5 1,0 2 3 5 5 5 3 12 BEC BMC BEC BMC S BE a S S S BM = = = = Vậy: 2 5 4 ABC a S = 0,5 0,5 5 (3,0 điểm) 5.1 + Gọi số ô tô lúc đầu là x ( x nguyên và x 2) Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1. + Theo giả thiết: Nếu số xe là 1x thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30). + Do đó ta có phơng trình: ( ) 22 1 23 1 22 1 22 1 1 x x y x y x x + = + = = + 0,25 0,25 0,5 + Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên 1x phải là ớc số của 23. Mà 23 nguyên tố, nên: 1 1 2x x = = hoặc 1 23 24x x = = Nếu 2x = thì 22 23 45 30y = + = > (trái giả thiết) Nếu 24x = thì 22 1 23y = + = < 30 (thỏa điều kiện bài toán). + Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là: 22 24 1 23 23 529 ì + = ì = học sinh. 0,25 0,25 0,25 0,25 5.2 + Tấm bìa hình chữ nhật 1 5 ì có diện tích là 5 (đvdt). Để cắt hình chữ nhật thành các mảnh ráp thành hình vuông, thì cạnh của hình vuông bằng 5 , bằng độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có kích thớc là 1 và 2 có diện tích bằng 1 (đvdt). + Do đó nếu cắt hình chữ nhật 1 5 ì theo đờng chéo của 2 hình chữ nhật AEFD và GBCH, và cắt theo 2 đờng EF và GH xong ráp lại thì đ- ợc hình vuông MNPQ nh hình bên. 1,0 S GIO DC V O TO THI CHN HC SINH GII CP TNH BC GIANG NM HC 2011-2012 MễN THI:TON LP 9 Cõu 1(5,0 im ): 1. Tớnh giỏ tr ca biu thc sau : 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 x x A x x + = + + + ,bit 2 9 x = . 2. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh (m+1)x 2 (2m+1)x+m-1 =0 cú hai nghim phõn bit tha món x 1 2 + x 2 2 -2009x 1 x 2 =2012 Cõu 2(4,0 im ): 1. Gii phng trỡnh : 2 (2 2 4 1)(2 3 4 9 2) 7x x x x x+ + + + + + = . 2. Gii h phng trỡnh sau : 2 4 2 2 4 2 2 4 2 x y z y z x z x y + = + = + = Cõu 3(4,0 im): 1. Tỡm giỏ tr ln nht,giỏ tr nh nht ca x bit x v y l hai s tha món ng thc y 2 =3(xy+y-x-x 2 ). 2. Tỡm cỏc s nguyờn k biu thc k 4 -8k 3 +23k 2 -26k+10 l s chớnh phng. Cõu 4 (6,0 im ): Cho ng trũn (O) ng kớnh AB.Trờn on thng AO ly im H bt kỡ khụng trựng vi A v O,k ng thng d vuụng gúc vi AB ti H,trờn d ly im C nm ngoi ng trũn,t C k hai tip tuyn CM v CN vi ng trũn (O) vi M, N l cỏc tip im ,(M thuc na mt phng b d cú cha im A).Gi P v Q ln lt l giao im ca CM,CN vi ng thng AB. 1. Chng minh HC l tia phõn giỏc ca gúc MHN a s dng x,y v z tha món x+y+z=6.Chng minh rng : x 2 +y 2 +z 2 xy-yz-xz +xyz 8. THI HC SINH GII CP TNH NM HC 2011 2012 MễN THI: TON LP 9 THCS Cõu 1.(4,0 im) 1. Rỳt gn biu thc: 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 + + + + 2. Cho hai s dng ,a b tha món 5a b+ = . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 1 1 P a b = + Cõu 2.(5,0 im) 1. Gii phng trỡnh: 4 20 4x x+ = 2. Gii h phng trỡnh: =+ =++ xyxyyx xyyx 5224412 672)1(3)4( Cõu 3.(3,0 im) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho ( 2010)( 2011)( 2012)A n n n = − − − là một số chính phương. Câu 4.(6,0 điểm) Cho tam giác ABC có · 0 60 ; ;ABC BC a AB c= = = ( ,a c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AC, P và Q nằm trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. 1. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. 2. Dựng hình vuông EFGH (E nằm trên cạnh AB, F nằm trên cạnh AC, G và H nằm trên cạnh BC ) nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó. Câu 5.(2,0 điểm) Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên dương tận cùng là 2012 chia hết cho 2011. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC : 2011 – 2012 Bài 1: ( 4,0 điểm ) a) Rút gọn biểu thức sau: A = 8 15 8 15 2 2 + − + b) Giải phương trình : 3 2 2 16 0 16 x x x + − = − Bài 2: ( 4, 0 điểm) a) Chứng minh rằng n 3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ. b) Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện : a 2 + b 2 + c 2 = (a –b) 2 + (b- c) 2 + ( c – a) 2 Chứng minh rằng nếu c ≥ a và c ≥ b thì c ≥ a + b Bài 3: ( 3, 0 điểm ) Cho phương trình x 2 +(m – 1)x – 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 sao cho biểu thức A = (x 1 2 – 9)(x 2 2 – 4) đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: (6, 0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 20 0 ; AB = AC = b và BC = a . Chứng minh rằng : a 3 + b 3 = 3ab 2 . 2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 . Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x 2 + y 2 ) + 4 x y+ ≥ 8 HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: ( 4,0 điểm ) a) A = 8 15 8 15 2 2 + − + * Cách 1: A 2 = 2 8 15 8 15 2 2   + −  ÷ +  ÷   = 8 15 2 + + 8 15 2 − + 2 8 15 8 15 . 2 2 + − = 8 + 2 49 4 = 8 + 7 = 15 Vì A > 0 nên A = 15 * Cách 2: A = 8 15 8 15 2 2 + − + = 16 2 15 16 2 15 4 4 + − + = 2 2 ( 15 1) ( 15 1) 4 4 + − + = 15 1 15 1 2 2 + − + = 15 b) 3 2 2 16 0 16 x x x + − = − . ĐK : 16 – x 2 > 0 ⇔ - 4 < x < 4 Đặt y = 2 16 x− > 0 ⇒ x 2 – 16 = - y 2 . Ta có : 3 x y - y 2 = 0 ⇒ x 3 – y 3 = 0 ⇔ (x – y)(x 2 – xy + y 2 ) = 0 ⇔ x – y = 0 ( vì x 2 – xy + y 2 > 0 ) ⇔ x = y . 2 16 x− = x . Với x > 0 thì 2 16 x− = x ⇔ 16 – x 2 = x 2 ⇔ 2x 2 = 16 ⇔ /x/ = 8 ⇔ x = ± 8 Kết hơp các điều kiện x > 0 và - 4 < x < 4 , ta có x = 8 thõa mãn . Phương trình có một nghiệm x = 8 . Bài 2: ( 4, 0 điểm) a) n 3 – n = n(n 2 – 1) = n(n – 1)(n + 1). Với n lẻ thì n – 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia hết cho 4. Do đó tích (n – 1)(n + 1) chia hết cho 8. Mặt khác, tích n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. Mà (3; 8) = 1 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.8 = 24. Vậy : n 3 – n chia hết cho 24 với n lẻ. b) Từ điều kiện : a 2 + b 2 + c 2 = (a –b) 2 + (b- c) 2 + ( c – a) 2 Suy ra : a 2 + b 2 + c 2 = 2(a 2 + b 2 + c 2 ) – 2(ab + bc + ca) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 2(ab + bc + ca) * Cách 1 : Nếu c ≥ a và c ≥ b thì a 2 + b 2 + c 2 = 2ab + 2bc + 2ca ≥ 2ab + 2b 2 + 2a 2 ⇒ c 2 ≥ ( a + b) 2 ⇒ c ≥ a + b ( vì a, b, c > 0 ) * Cách 2 : Từ a 2 + b 2 + c 2 = 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 ⇒ ( a – b + c ) 2 = 4ca . Nếu c ≥ a thì ( a – b + c ) 2 = 4ca ≥ 4a 2 ⇔ ( a – b + c ) 2 - 4a 2 ≥ 0 ⇔ (a – b + c – 2a )(a – b + c + 2a ) ≥ 0 ⇔ ( c – a – b )(3a – b + c) ≥ 0 Vì a > 0 và nếu c ≥ b thì 3a – b + c > 0 . ⇒ c – a – b ≥ 0 ⇒ c ≥ a + b . Bài 3: ( 3, 0 điểm ) Phương trình x 2 +(m – 1)x – 6 = 0 có ∆ = ( m – 1) 2 + 24 > 0 với mọi m nên luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 . Áp dụng định lý Vi-et : x 1 + x 2 = 1 – m ; x 1 .x 2 = - 6 A = (x 1 2 – 9)(x 2 2 – 4) = (x 1 .x 2 ) 2 – 4x 1 2 – 9x 2 2 + 36 = 72 - 4x 1 2 – 9x 2 2 = – (4x 1 2 + 9x 2 2 + 12 x 1 .x 2 ) = – ( 2x 1 + 3x 2 ) 2 ≤ 0 A = 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 3 0 1 . 6 2 1 3 x x x x x x m  + =  = −   + = −  . Từ (2) ⇒ x 1 = 2 6 x − , thay vào (1) có : 2 12 x − + 3x 2 = 0 ⇒ x 2 = ± 2 - Với x 2 = 2 ⇒ x 1 = - 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = - 1 ⇒ m = 2 - Với x 2 = - 2 ⇒ x 1 = 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = 1 ⇒ m = 0 - Vậy : m ∈ { 0 ; 2 } Bài 4: (6, 0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 20 0 ; AB = AC = b và BC = a . Chứng minh rằng : a 3 + b 3 = 3ab 2 . B C A D E ∆ ABC cân tại A có góc BAC = 20 0 nên ABC = ACB = 80 0 Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 60 0 , khi đó DBC = 20 0 nên BDC = 80 0 ⇒ ∆ BDC cân tại B ⇒ BD = BC = a . ∆ BDC ∆ ABC ( g – g) ⇒ DC BC BC AC = ⇒ DC = 2 a b ⇒ AD = b - 2 a b ∆ BDE vuông có EBD = 60 0 nên BE = 1 2 BD = 1 2 a và DE = BD 3 2 = a. 3 2 ; AE = b - 1 2 a. Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có : AD 2 = AE 2 + DE 2 ⇔ (b - 2 a b ) 2 = (b - 1 2 a) 2 + (a. 3 2 ) 2 ⇔ b 2 - 2a 2 + 4 2 a b = b 2 - ab + 2 4 a + 2 3 4 a ⇔ 4 2 a b = 3a 2 –ab ⇒ a 4 = 3a 2 b 2 - ab 3 ⇔ a 4 + ab 3 = 3a 2 b 2 ⇔ a 3 + b 3 = 3ab 2 . 2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. E' E M O I A D B C a) AD // BC ⇒ AB = CD ⇒ DAC = ADB ⇒ MA = MD . Lại có : OA = OD = R nên MO là đường trung trực của AD (1) Mặt khác : IA và ID là hai tiếp tuyến của (O) nên OI là đường trung trực của AD (2) Từ (1) và (2) ⇒ I, O, M thẳng hàng. b) Tứ giác CMOD có : CMD = 2. MAD ( góc ngoài của tg cân) COD = 2. MAD ( góc ở tâm và góc nội tiếp) ⇒ CMD = COD Do đó tứ giác CMOD nội tiếp. Tương tự tứ giác BMOA nội tiếp Qua M vẽ đường thẳng d song song với AD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMOA tại E , cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMOD tại E’. Do A đối xứng D qua đường thẳng OM, C đối xứng B qua OM nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMOD đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMOA qua OM. OM ⊥ ME nên OE là đường kính của đường tròn (BMOA) A, O, B cố định nên E cố định ⇒ OE không đổi ⇒ Đường tròn ngoại tiếp ∆ MCD có bán kính không đổi. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 . Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x 2 + y 2 ) + 4 x y+ ≥ 8 Ta có : (x + y + 1)(x 2 + y 2 ) + 4 x y+ = (x + y + 1)(x 2 + y 2 ) - ( x + y) + ( x + y ) + 4 x y+ = ( x + y )( x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 ) - ( x + y) + ( x + y ) + 4 x y+ = ( x + y ) (x 2 + y 2 – 1) + (x 2 + y 2 ) + ( x + y ) + 4 x y+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x + y ≥ 2 xy = 2 ( do xy = 1 ) . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = y = 1 x 2 + y 2 ≥ 2xy = 2 . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = y = 1 ( x + y ) + 4 x y+ ≥ 4 . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ (x + y) 2 = 4 ⇒ x = y = 1. Do đó : (x + y + 1)(x 2 + y 2 ) + 4 x y+ ≥ 2.(2 – 1) + 2 + 4 = 8 Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = y = 1 SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Bài 1: (5 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức : 1 1 A 2 2 3 2 2 3 = + - - + + b) Giải phương trình : 2 2 x y 11 x xy y 3 4 2 ì ï + = ï í ï + + = + ï î Bài 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có ba chữ số bất kỳ, bao giờ cũng tìm được hai số mà khi viết chúng liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7. b) Cho hai số thực x, y dương thõa mãn điều kiện x 2 + y 2 – xy = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 + y 2 . Bài 3: ( 4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = - x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 1 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thảng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biết A và B. b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B lần lượt là x 1 ; x 2 . Chứng minh rằng : | x 1 – x 2 | ³ 2. Bài 4: (3,0 điểm) Cho Δ ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB và E là trọng tâm của Δ ACD. Chứng minh rằng : OE ^ CD. Bài 5: ( 4 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đối (CD không trùng với AB). Vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O;R) tại B. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q. a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp. b) Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp Δ CDP. Chứng minh rằng khi đường kính CD thay đổi (CD không trùng với AB) thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TỈNH BÌNH DƯƠNG Năm học: 2011-2012 Môn: TOÁN Câu 1: (4 điểm): a) Chứng minh rằng a 3 – a chia hết cho 6 với mọi số nguyên a . b) Cho n số nguyên a 1 , a 2 , , a n có tổng a 1 + a 2 + + a n chia hết cho 6 ( n là số nguyên dương). Chứng minh rằng a 1 3 + a 2 3 + + a n 3 chia hết cho 6 . Câu 2: (4 điểm):Giải phương trình : 2 2 1 1 x x x   + =  ÷ +   Câu 3: (4 điểm): Cho hai phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) và cx 2 + bx + a = 0 (2) trong đó a > c > 0 . a) Chứng minh phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm hay vô nghiệm . b) Giải phương trình (1) và (2) có nghiệm tương ứng x 1 , x 2 và x’ 1 , x’ 2 sao cho x 1 + x 2 > x’ 1 + x’ 2 . Chứng minh: b > 0 . c) Giả sử phương trình (1) và (2) cùng vô nghiệm. Chứng minh b < a + c . Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, H là trực tâm của tam giác. Các đường thẳng song song với AB, AC và đi qua H cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Chứng minh AB + AC > AH + BH + CH . Câu 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Phân giác góc A của tam giác cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác cắt đường tròn (O) tại E, vẽ đường kính AOD. a) Tứ giác BEDC là hình gì ? b) Chứng minh AM là phân giác của góc EAD . Hết Giải Câu 1: (4 điểm): a) Chứng minh rằng a 3 – a chia hết cho 6 với mọi số nguyên a . a 3 – a = a(a 2 – 1) = (a – 1).a.(a + 1) là 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 và 3 ⇒ a 3 – a chia hết cho 2.3 = 6 với mọi số nguyên a . b) Cho n số nguyên a 1 , a 2 , , a n có tổng a 1 + a 2 + + a n chia hết cho 6 ( n là số nguyên dương). Chứng minh rằng a 1 3 + a 2 3 + + a n 3 chia hết cho 6 . Câu 2: (4 điểm): Giải phương trình :đk: x ≠ -1 ⇔ 1 1 2 ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 = + + + + + − x x x x x x x ⇔ 1 1 .2) 1 ( 2 2 = + + + − x x x x x ⇔ 2)1 1 ( 2 2 =+ + x x ⇔ 2 2 (1 2) (1 2) 0 (1 2) (1 2) 0 x x x x  + − + − =  + + + + =   Câu 3: (4 điểm): Cho hai phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) và cx 2 + bx + a = 0 (2) trong đó a > c > 0 . d) Chứng minh phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm hay vô nghiệm . e) Giải phương trình (1) và (2) có nghiệm tương ứng x 1 , x 2 và x’ 1 , x’ 2 sao cho x 1 + x 2 > x’ 1 + x’ 2 . Chứng minh: b > 0 . f) Giả sử phương trình (1) và (2) cùng vô nghiệm. Chứng minh b < a + c . Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, H là trực tâm của tam giác. Các đường thẳng song song với AB, AC và đi qua H cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Chứng minh AB + AC > AH + BH + CH . Câu 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Phân giác góc A của tam giác cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác cắt đường tròn (O) tại E, vẽ đường kính AOD. c) Tứ giác BEDC là hình gì ? d) Chứng minh AM là phân giác của góc EAD . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KÌ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỎ Khóa ngày : tháng năm 2012 Môn thi : TOÁN Bài 1: Cho hệ phương trình 4 10 4 mx y m x my + = −   + =  (m là tham số) a) Giải và biện luận theo m. b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x ; y) với x ; y là các số nguyên dương. Bài 2 : a) Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 2 2 2 6 a b c b c a a c b a b c + + ≥ + − + − + − b) Chứng minh: với n ∈ N thì: n 2 + 13n + 62 , 169 Bài 3: Tính giá trị biểu thức : A = (3x 3 + 8x 2 + 2) 2010 Với x = ( ) 3 5 2 17 5 38 5 14 6 5 + − + − Bài 4 : Giải các phương trình: x 3 + 1 = 2 3 2 1x − Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By của đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại điểm M cắt Ax tại D , By tại E. a) Chứng minh: ∆ DOE vuông. b) Chứng minh : AD . BE = R 2 c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ nhất. [...]... Ta cú AB AH , du = cú khi ã Q N ABC = 90 0 O A Ta cú: OM BC, OP AD, AD // BC P, O, M thng hng, do ú AH = PM = 2r SABCD = AH.BC = 2r AB 2r.AH=2r.2r 2 0 S 4r , du = xy ra khi ã r P S GD&T HI DNG Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS NM HC 2012 2013 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 27/03/2013 ( thi gm cú 01 trang ) THI CHNH THC b) Cho A= ( 0,25 Vy trong cỏc... tr nh nht ca biu thc: F= x4 y4 z4 + 2 + 2 ( x 2 + y 2 )( x + y ) ( y + z 2 )( y + z ) ( z + x 2 )( z + x) S GD&T HI DNG Kè THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 THCS NM HC 2011 2012 MễN THI: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 23/03/2012 ( thi gm cú 01 trang) THI CHNH THC Cõu 1 (2,5 im) a) Rỳt gn biu thc: A= x2 5x + 6 + 3 x2 6 x + 8 3x 12 + ( x 3) x 2 6 x + 8 a 3 + b3 + c 3... ẳ = ( sd ằ + sdCP ) = CDP = DIP 2 2 ã ã Do ú t giỏc PMIQ ni tip T PMI = 90 0 ta cú PQI = 90 0 Vỡ th PD=PI=PK+KI=MK+KQ MQ Nu PI=MQ thỡ MIQP l hỡnh ch nht hay PQ PM (iu ny khụng xy ra) Vy PD>MQ (pcm) S GIO DC V O TO H NAM K THI CHN HC SINH GII LP 9 THCS NM HC 2012-2013 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao THI CHNH THC Bi 1 (4,0 im) Cho biu thc: P = x y xy ( x + y )(1 y ) (... 1 + c2 1 + a 2 thi HSG tnh lp 9 TP H Ni nm hc 2012-2013 S GIO V O TO K THI CHN HC SINH GII TNH H TNH LP 9 THCS NM HC 2012-2013 3 Bi 1: a) Tớnh giỏ tr biu thc: M = ( x y ) + 3( x y )( xy + 1) , bit x = 3 3 + 2 2 3 3 2 2 , y = 3 17 + 12 2 3 17 12 2 b) Gii phng trỡnh: 2x x 5 2 = x x +1 x + x +1 3 2 Bi 2: a) Gii h phng trỡnh: x2 + y2 + 3 = 4 x (1) 3 3 2 x + 12 x + y = 6 x +9 (2) b) Tỡm cỏc... (B M) Gi C l giao im ca hai ng thng MN v HK 1) Chng minh HK l ng trung bỡnh tam giỏc ABC 2) Chng minh rng DH = DK 0 S GIO DC V O TO H NAM K THI CHN HC SINH GII TNH LP 9 TRUNG HC C S NM HC 2011-2012 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao THI CHNH THC Bi 1 (4,0 im) Cho biu thc A = x x2 + 2x x + x2 + 2x x + x2 + 2x x x2 + 2x 1 Tỡm iu kin ca x biu thc A xỏc nh 2 Rỳt gn biu... Gi E l giao im ca d vi na ng trũn Trong trng hp M nm trờn cung AE Tỡm v trớ ca im M chu vi t giỏc AMPO t giỏ tr ln nht S GIO DC V O TO NG NAI THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2012 2013 THI CHNH THC Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt Ngy thi: 05/4/2013 ( thi ny gm mt trang, cú nm cõu) Cõu 1 ( 4 im) Cho a thc P(x) = x3 + 3ax + 2b, vi x l bin s thc, a v b l cỏc s thc cho trc tha a 3 + b2 0 Tớnh giỏ... ME Cõu 5 (1,0 im): Cho An = 1 (2n +1) 2n 1 vi n Ơ * S GIO DC V O TO HI PHềNG CHNH THC Chng minh rng: A1 + A 2 + A 3 + + A n < 1 K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 NM HC 2011-2012 Mụn: Toỏn- BNG A Ngy thi: 06/04/2012 Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) : ( thi ny cú 1 trang) Cõu 1: (4,0 im) 1 Cho A = 3 7 + 5 2 ; B = 3 20 14 2 Tớnh A+B 2 Cho a,b,c l cỏc s khỏc 0 tha món a+b+c = 0 Chng minh... phng? Tỡm n Ht -Sở Giáo dục và Đào tạo HNG YấN Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2011-2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu I 1 Tớnh f(x) = (x4 + 2 x-7)2012 khi x = (4+ 15)( 5 3) 4 15 2 Cho (P) y = x2 v hai im A1, A2 trờn (P) sao cho gúc A1O A2 = 90 0 Gi hỡnh chiu ca A1, A2 trờn Ox ln lt l B1, B2 , chng minh OB1.OB2 = 1 Cõu... 2a ) c ( a + 2b) a (b + 2c) Du ng thc xy ra khi no? PHềNG GIO DC V O TO THNH PH V THANH HAU GIANG CHNH THC K THI CHN HC SINH GII CP THCS CP THNH PH - NM HC 2012 2013 MễN: TON Khúa ngy: 04/01/2013 Thi gian lm bi 150 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) Bi 1: (3.0 im) Thc hin tớnh: 2x + 2 x 2 9 x2 9 + x + 3 vi x = 2 6 + 2 Bi 2: (2.0 im) Gii phng trỡnh: x 2 7x + 6 + x + 3 = x 6 + x 2 + 2x 3 Bi 3: (3.0 im)... thi HSG lp 9 tnh Bỡnh Phc nm hc 2012-2013 THI HSG TNH AK NễNG NM HC 2012-2013 3 Bi 1 (3 ): Rỳt gn biu thc: x4 + 3 x2 y2 + 3 y4 3 x 2 + 3 xy + 3 y 2 vi x; y khỏc 0 Bi 2(3): Gii h phng trỡnh: 3 x + 4 3 x 3 =1 Bi 3:(2): Gii h . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. Ngày thi: 05/4/2013 (Đề thi này gồm một trang, có năm câu) Câu. VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (4,0 điểm). vuông góc với AB. b. NE = NF. UBND TỉNH Thừa Thi n Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2008 - 20 09 Môn : Toán Bài 1: (4,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: