phương pháp tọa độ trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian 79 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 e ; e ; e e e e 1 e e e e e e 0 x Ox y Oy z Oz x Ox x Ox y Oy z Oz ′ ′ ′ ′ ⊥ ⊥ ⊥    ′ ′ ′ ∈ ∈ ∈    = = =   ⋅ = ⋅ = ⋅ =              II. TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM 1. ( ) , , M x y z ⇔ ( ) 1 2 3 , , e e e OM x y z OM x y z ⇔ = ⋅ + ⋅ + ⋅      2. Tọa độ các điểm đặc biệt Cho ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , , , , , A x y z B x y z C x y z      ⇒ Trung điểm của AB có tọa độ là: 1 2 1 2 1 2 I , , 2 2 2 x x y y z z + + +       Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả mãn JA k JB =   ⇔ 1 2 1 2 1 2 , , 1 1 1 x kx y ky z kz J k k k − − −     − − −   Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 3 3 3 x x x y y y z z z G + + + + + +       III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ 1. Định nghĩa: ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , e e e , , e e e a a a a a a a a b b b b b b b b  = ⇔ = + +    = ⇔ = + +            . Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , , , A x y z B x y z      thì ( ) 2 1 2 1 2 1 , , AB x x y y z z = − − −  . 2. Phép toán: ( ) 1 1 2 2 3 3 , , ; a b a b a b a b± = ± ± ±   ( ) 1 1 2 2 3 3 , , a b a b a b a b α ⋅ ± β ⋅ = α ⋅ ± β⋅ α ⋅ ± β ⋅ α⋅ ± β ⋅   1 e  z y 2 e  3 e  O x L M M’ K H www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 80 IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI 1. ( ) cos , a b a b a b ⋅ = ⋅       ; 2. 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b ⋅ = + +   ; 3. 1 1 2 2 3 3 0 0 a b a b a b a b a b ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + =     4. 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ; a a a a b b b b = + + = + +   ; 5. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b+ = + + + + +   6 . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b− = − + − + −   ; 7. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 AB x x y y z z= − + − + −  8. ( ) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , a b a b a b a b a a a b b b + + = + + + +       ; 9. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 sin , a b a b a b a b a b a b a b a a a b b b − + − + − = + + + +       V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , ; , , ; , , a a a a b b b b c c c c = = =    1. Định nghĩa: [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a a b p b b b b b b   ⋅ = =        2. Tính chất: a p b ⊥ ⊥    ; a  cùng phương b  [ ] 0 a b ⇔ ⋅ =    [ ] ( ) 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 sin , a a a a a a a b a b a b b b b b b b ⋅ = + + = ⋅       , , a b c    đồng phẳng ⇔ [ ] 0 a b c ⋅ ⋅ =    VI. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 , , ; , , ; , , ; , , A x y z B x y z C x y z D x y z ( ) 2 2 2 1 1 , . 2 2 ABC S AB AC AB AC AB AC ∆   = = − ⋅       ; 1 , 6 ABCD V AB AC AD   = ⋅      ; , AD V AB AD AA ′   ′ = ⋅   hép    www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ trong không gian 81 BÀI TẬP Bài 1. Cho ( ) ( ) ( ) 3; 4; 1 ; 2; 0;3 ; 3;5;4 A B C− − . Tìm độ dài các cạnh của ∆ ABC. Tìm cosin của các góc A, B, C. Tìm diện tích ∆ ABC. Bài 2. Cho ( ) ( ) ( ) 2;1; 1 , 3; 0;1 , 2; 1;3 A B C− − và O D y ∈ . Biết thể tích V của ABCD là 5. Tìm tọa độ D. Bài 3. Cho ∆ ABC với ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5 A B C− − − . Tính độ dài đường phân giác trong góc B. Bài 4. Cho ( ) ( ) ( ) 2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2; 4 a b c= = = −    . CMR : , , a b c    không đồng phẳng. Cho ( ) 4;12; 3 d = −  . Hãy phân tích vectơ d  theo 3 vectơ , , a b c    . Bài 5. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;1 , 1;1; 2 , 1;1; 0 , 2; 1; 2 A B C D − − − − . CMR: A , B , C , D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính ABCD V , suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện. Bài 6. Cho ( ) ( ) ( ) 1; 2; 4 , 2; 1;0 , 2;3; 1 A B C − − − . Gọi M ( ) , , x y z ∈ (ABC). Tìm hệ thức liên hệ giữa , , x y z . Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính ABCD S . Bài 7. Cho ( ) ( ) ( ) 1;0;1 , 2;1;3 , 1; 4;0 A B C− . Gọi M ( ) , , x y z ∈ (ABC). Tìm hệ thức liên hệ giữa , , x y z . Tìm trực tâm H của ∆ ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Bài 8. Cho tứ diện ABCD với ( ) ( ) ( ) ( ) ;2;3;1 , 1;1; 2 , 2;1; 0 , 0; 1; 2 A B C D− − , đường cao AH. Tìm tọa độ H và AH. Bài 9. Cho ( ) ( ) ( ) 2; 2; 2 , 0; 3 2; 3 2 , 2;3 2; 3 2 A B C− − + − + . CMR ∆ ABC vuông tại A. Tìm điểm D sao cho ABDC là hình vuông. Tính thể tích của hình hộp đáy ABDC và cạnh bên là AO. Bài 10. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 4;1;5 , 4;6; 5 , 1;6;1 A B C D . Xác định hình dạng của tứ giác ABCD. Tính khoảng cách từ O đến (ABC) www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 82 Bài 11. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 2;3 , 1;0;2 , 1; 2; 4 , 0;5; 0 A B C D− − − . CMR: ABCD là hình tứ diện. Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên BD. Tính cosin của góc nhọn tạo bởi cạnh đối AB và CD của tứ diện ABCD. Bài 12. Cho ( ) ( ) ( ) 1; 2; 4 ,. 1;0; 2 , 1; 2;3 A B C− − , ( ) 0; 4; 2 D . CMR: ABCD là hình tứ diện trực tâm. Tìm tọa độ trực tâm của ABCD. Bài 13. Cho hình chóp SABC với ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 5; 0;3 , 7; 2; 2 A B C− , ( ) , SA ABC S Oyz ⊥ ∈ . Tính tọa độ S. Xác định tọa độ giao điểm của O x , O y với (ABC). Bài 14. Cho ( ) 1; 2; 1 A − . Tìm B đối xứng với A qua O xy , C đối xứng với A qua trục O z . Tính ABC S Bài 15. Cho ( ) 15 6; 8; 2 u = − −  . Tìm a  biết 50 a =  ; a  cùng phương u  và a  tạo với ( ) 0; 0;1 k  một góc nhọn. Bài 16. Cho ( ) ( ) 1; 2; 1 , 4; 3; 5 A B− . Xác định O m x ∈ sao cho M cách đều A, B. Bài 17. Cho ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 5;10; 1 , 4;1;1 A B C− − − − . Chứng minh: A , B , C không thẳng hàng. Tìm tọa độ trực tâm ∆ ABC Tìm tọa độ trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Bài 18. Cho ( ) ( ) 4; 1; 2 , 3;5; 1 A B − − − . Tìm C biết trung điểm AC thuộc O y , trung điểm BC thuộc O xz . Bài 19. Cho ( ) ( ) 1; 2; 7 , 5;4; 2 A B − − . AB cắt O xy tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M. Bài 20. Cho ( ) ( ) 3; 2; 2 , 18; 22; 5 a b − −   . Tìm c  biết 14, , c c a c b = ⊥ ⊥      , c  tạo với ( ) 0; 0;1 k  một góc tù. Bài 21. Cho 0 v ≠  . Gọi , , α β γ là 3 góc tạo bởi v  với , , Ox Oy Oz . Chứng minh rằng: 2 2 2 cos cos cos 1 α + β + γ = www.VNMATH.com . Phương pháp tọa độ trong không gian 79 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian 1 2 3 2 2 2 1.  hép    www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ trong không gian 81 BÀI TẬP Bài 1. Cho ( ) ( ) ( ) 3; 4; 1 ; 2; 0;3 ; 3;5;4 A B C− − . Tìm độ dài các cạnh của ∆ ABC. Tìm cosin. trực tâm. Tìm tọa độ trực tâm của ABCD. Bài 13. Cho hình chóp SABC với ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 5; 0;3 , 7; 2; 2 A B C− , ( ) , SA ABC S Oyz ⊥ ∈ . Tính tọa độ S. Xác định tọa độ giao điểm của