ứng dụng của một hệ thức hình học vào giải toán

Như vậy với mỗi buổi học ôn tập kiến thức, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi thầy và trò không cần phải giải thật nhiều bài toán, đôi khi chỉ cần một đến hai bài là đủ và bài toán đó không

Equation Chapter 1 Section 1

MỤC LỤC TRANG

Phần mở đầu……… 1

Lý do chọn đề tài……… 1

Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu……… 1

Đối tượng, phạm vi nghiêncứu……… 2

Giả thiết khoa học……… 2

Phương pháp nghiên cứu……… 2

Đóng góp về tính khoa học của đề tài……… 2

Nội dung nghiên cứu……… 2

Cơ sở lý luận……… 2

Cơ sở thực tiễn……… 3

Nội dung chính……… 3 - 13 Kết luận – Kiến nghị……… 13

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ ỨNG DỤNG CỦA MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC

VÀO GIẢI TOÁN”

A PHẦN MỞ ĐẦU:

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THCS chúng ta thường có thói quen giải các bài tập một cách đơn điệu và dừng lại ở đó mà chưa quan tâm nhiều đến kết quả Vì vậy khi học sinh gặp bài toán mới thường bị động, không biết bắt đầu từ đâu

để tìm lời giải Những kết quả đó có thể đơn giản nhưng không tầm thường Bởi đôi khi kết quả đó lại là công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán khác khó hơn hoặc làm cầu nối giữa những bài toán lạ với những bài toán đã biết

Vì vậy người thầy không nên xem nhẹ kiến thức cơ bản mà cần phát huy tính sáng tạo của học sinh trước kết quả của mỗi bài toán được giải xong Kết quả đó cần được phân tích, phát triển, tổng quát hóa, đặc biệt hóa…từ đó tạo nên một lớp bài toán

“cùng họ hàng với nhau” hoặc những bài toán có chung bài toán gốc.Biển cả bao la

cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, một bài toán dù khó đến đâu cũng có cội nguồn từ bài toán đã biết Như vậy với mỗi buổi học ôn tập kiến thức, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi thầy và trò không cần phải giải thật nhiều bài toán, đôi khi chỉ cần một đến hai bài là đủ và bài toán đó không phải ở đâu xa mà ở ngay trong sách giáo khoa hoặc sách bài tập Thực tế qua hoạt động dạy học như vậy người thầy cũng rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu cho bản thân, thậm chí học tập được từ học trò thêm những điều bổ ích

Làm như vậy là chúng ta đã tạo được sự hứng thú cho người học, phát huy được tính tích cực, độc lập, chủ động, sáng tạo của học sinh, khơi nguồn cảm hứng tự nghiên cứu tài liệu cho học sinh đó chính là tiền đề cho các em từng bước chiếm lĩnh tri thức một cách chủ động trước những vấn đề mới và khó Qua đó nhằm giáo dục tính kiên trì, bản lĩnh cá nhân góp phần giáo dục kỷ năng sống cho học sinh trong suốt quá trình học tập

Chính vì những lý do trên nên bước đầu tôi đã chọn tên đề tài nghiên cứu: “ Ứng dụng của một hệ thức hình học vào giải toán” đây chỉ là một phần kiến thức nhỏ

hẹp trong vô vàn những bài toán đơn giản nhưng có rất nhiều ứng dụng để giải các bài toán khác

II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

1 Giúp giáo viên từng bước thay đổi tư duy, phương pháp dạy – học thụ động một chiều sang dạy học chủ động, sáng tạo qua từng đơn vị kiến thức đơn giản đảm bảo tính liên thông

2 Giúp học sinh tiếp cận kiến thức mới một cách chủ động, sáng tạo thông qua các

tư duy toán học logic

1 Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu ứng dụng của một hệ thức hình học vào giải toán

2 Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu việc ứng dụng của một hệ thức hình học vào giải các bài toán có liên quan của 32 học sinh khá, giỏi học lớp 9A năm học 2012- 2013 trường THCS nơi bản thân đang công tác

IV GIẢ THIẾT KHOA HỌC:

1 Dự kiến: Đề tài sẻ được lấy ý kiến của giáo viên toán tại trường sau đó áp dụng thể nghiệm cho học sinh khá giỏi môn toán trong toàn trường

2 Dự báo: Đề tài sẻ áp dụng có hiệu quả đối với những buổi dạy nâng cao kiến thức, bồi dưởng học sinh giỏi

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1 Phương pháp điều tra

Đã tiến hành điều tra đối với 32 học sinh lớp 9A giải một số bài toán liên quan đến hệ thức có bảng số kèm theo

2 Phương pháp thực nghiệm

Đã áp dụng thực nghiệm tương đối thành công khi giảng dạy nâng cao kiến thức cho

32 học sinh lớp 9A

3 Phương pháp quy nạp

Sau khi tiến hành phương pháp điều tra và thực nghiệm bản thân đã rút ra được kết luận tương đối về sự thụ động của học sinh có năng lực khá giỏi trong việc tiếp cận

và giải quyết các bài toán có liên quan đến hệ thức đưa ra

VI ĐÓNG GÓP VỀ TÍNH KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

1 Đối với tập thể:

Phù hợp với đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Giúp cho tập thể giáo viên toán thay đổi cách nhìn khi giảng dạy các tiết luyện tập ôn tập, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi…

2 Đối với cá nhân:

Đã từng bước thay đổi phương pháp dạy học phù hợp giúp học sinh tích cực, chủ động, tự tin, sáng tạo trong học tập

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

I CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Trong khung chương trình, sách giáo khoa hiện hành của bộ GD&ĐT bậc THCS môn toán học sinh được học 4 tiết/tuần nên đa số thời gian chỉ để truyền đạt kiến thức lý thuyết cơ bản Học sinh được thực hành qua các tiết luyện tập, ôn tập chủ yếu bằng phương pháp thụ động, giải bài tập là chính Ngoài ra không ít giáo viên nhận thức chưa đúng về chuẩn KTKN, giảm tải nên chưa mạnh dạn đổi mới phương pháp dạy học Mặt khác bản thân giáo viên cũng chưa quen phát triển, tổng

quát hóa, đặc biệt hóa, khai thác sâu thêm các kết quả của những bài toán "điển hình" để phục vụ học sinh khá giỏi Vì vậy đối tượng học sinh khá giỏi thường tự hài lòng với kết quả đó

II CƠ SỞ THỰC TIỂN:

1 Thực trạng.

1.1 Thuận lợi:

Thực tế tại trường chúng tôi việc dạy học theo hướng mở cũng đã được nhà trường, tổ chuyên môn quan tâm đúng mức nhằm giúp giáo viên và học sinh nhìn nhận sâu sắc những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách bài tập Đa số giáo viên giảng dạy môn toán đã chú ý đến phương pháp dạy học, chú trọng khắc sâu kiến thức cơ bản, từ đó phân tích, khai thác thêm, phát hiện những vấn đề mới liên quan

Tỉ lệ học sinh khá giỏi ở trường nơi đang công tác tương đối cao nên thuận lợi cho công tác giảng dạy

Nguyên nhân: Được sự quan tâm của Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường và tổ

chuyên môn Giáo viên được tham gia các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học

do PGD&ĐT tổ chức hoặc tổ chuyên môn tổ chức các chuyên đề chuyên sâu

1.2 Khó khăn:

Chất lượng giáo viên toán không đồng đều nên khó khăn trong đổi mới phương pháp dạy học

Học sinh vẫn còn thói quen học theo phương pháp cũ nên lười suy nghĩ những vấn đề mới liên quan đến kiến thức cơ bản

Nguyên nhân: Một số giáo viên tuổi cao nên gặp khó khăn trong đổi mới

PPDH

Có những giáo viên không chịu khó học hỏi, tham khảo tài liệu nên kiến thức

bị mai một không theo kịp xu thế mới

Một bộ phận phụ huynh chưa thật quan tâm đến việc học ở nhà của học sinh

1.3 Kết quả điều tra.

Tôi đã tiến hành điều tra thực nghiệm 32 học sinh khá, giỏi lớp 9A trường THCS nơi tôi đang công tác việc giải bài toán 4 và bài toán 7 trong đề tài có liên quan đến hệ thức hình học đã học năm học 2012 – 2013:

Kết quả thu được như sau:

Số lượng

HS được

điều tra

Nội điều tra SL, TL học

sinh có liên hệ đến hệ thức

SL học sinh không có sự liên

hệ

SL học sinh liên tưởng đến kiến thức khác

32 Điều tra việc giải các bài toán có liên quan

đến hệ thức hình học

SL: 5 em TL: 16%

SL: 18 em TL: 56%

SL: 9em TL: 28%

Nhận xét : Nhìn vào bảng kết quả ta thấy đa số học sinh không có sự liên hệ

với hệ thức đã học để giải các bài toán có liên quan

1.4 Các giải pháp đã thực hiện.

Thay đổi phương pháp dạy học: Đối với những kiến thức, những bài tập có tính điển hình có thể áp dụng làm được nhiều bài tập khác Giáo viên nên phân tích

kỷ, nhìn nhiều góc độ khác nhau Tiếp đến có thể đề xuất các bài toán tương tự Đặc biệt là hình thành kỷ thuật phân tích bài toán để làm tái hiện các kiến thức đã học Thực tế nếu giáo viên làm được như vậy thì sẻ phát huy được tính chủ động của học sinh trong quá trình học tập

Kiến thức: Đề tài còn liên quan đến một số kiến thức về đại số như các bất đẳng thức quen thuộc

Sau đây là nội dung chính của đề tài nghiên cứu, đã áp dụng dạy nâng cao kiến thức tại Lớp 9A trường THCS nơi bản thân đang công tác

III NỘI DUNG CHÍNH.

Trước hết ta tìm hiểu bài toán gốc để có hệ thức hình học ứng dụng trong đề tài

Bài toán gốc: Cho tam giác ABC một đường thẳng bất kỳ cắt các cạnh AB , AC thứ tự tại E và F.

Chứng minh hệ thức:

.

AEF ABC

S = AB AC

Lời giải: Kẻ các đường cao EH và BK của các tam giác AEF và ABC

Do EH // BK nên AB

AE BK

EB =

Ta có:

AC AB

AF AE AC AB

AF AE AC

BK

EH AF S

S

ABC

AEF

2 1

2 1

2 1

2

1

=

=

=

Vậy:

AEE

ABC

K

H F E

C B

A

Hình 1

Nhận xét: Đến đây nếu giáo viên và học sinh chỉ dừng lại ở kết quả

.

AEF ABC

S = AB AC

mà không quan tâm những ứng dụng của nó thì thật đáng tiếc

Sau đây là một số ứng dụng của hệ thức

.

AEF ABC

S = AB AC

Một số ứng dụng của bài toán gốc

Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đường thẳng bất kỳ cắt các cạnh

AB, AC và AM thứ tự tại E, F và I.

Chứng minh:

2

Chứng minh: Ta có:

)

(

2

2

1

2

2

AB AF AC AE AI AM

AF

AE

AM AC

AI AF AM

AB

AI AE AC

AB

AF AE S

S S

S

S

S

ACM

AIF ABM

AEI

ABC

AEF

+

=

⇔











=

⇔ +

=

2

AI

AM AF

AC

AE

⇔

M

I

F E

C B

A

Hình 2

Đặc biệt khi I là trọng tâm ta có bài tập sau:

Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm

G cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.

Chứng minh:

3

AE+ AF =

Giải: Ta có thể giải bài này theo nhiều cách khác nhau:

Lời giải 1(Hình 3): Từ kết quả của bài 1 ta có ngay kết quả 3

AE + AF =

M

G F E

A

Hình 3 Lời giải 2(Hình 4):

K

I M

G F E

A

Hình 4

Kẻ BI//EF;CK//EF (I, K thuộc AM) Ta có:

;

+

Mặt khác: ∆BIM = ∆CKM ⇒MI =MK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2. 3

AE+ AF =

Lời giải 3(Hình 5):

K I

M

G F E

A

Hình 5

Kẻ BI, CK lần lượt song song với AM (I, K thuộc d)khi đó MG là đường trung bình của hình thang BCKI nên BI + CK = 2GM (*):

(1)

+

(2)

+

Từ (*), (1) và (2) suy ra:

3

+

AE + AF =

Lời giải 4(Hình 6):

Kẻ BI, AK, MP, CQ lần lượt vuông góc với d khi đó MP là đường trung bình của hình thang vuông BCQI do đó: BI + CQ = 2 PM (1)

G

Q P

K

E

C B

A

M

Hình 6

kết hợp với (1) ⇒ BI + CQ = AK

Ta có:

AE + AF =

Nhận xét: Từ kết quả của bài tập 2 ta thấy

AE+ AF

= 3 luôn không đổi khi đường thẳng d thay đổi và cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC Kết quả quan trọng này lại trở thành bài toán gốc để giải quyết một số bài toán khác.

Chẳng hạn:

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.

Chứng minh:

Chứng minh:

Lời giải1(Hình7):

Áp dụng kết quả bài 2 , bất đẳng thức Bunyacovsky và định lí Pythagore ta có:

( )

2

9

+ Vậy:

F

B

A

Hình 7

Lời giải 2(Hình 8):

F E

G H

B

A

Hình 8

Kẻ AH vuông góc với EF (H thuộc EF) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông AEF ta có: 2 2 2

(1)

(2)

BC

Từ (1) và (2) ta có: 2 2 2

Dấu đẳng thức xẩy ra khi H trùng G Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm

G cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.

Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF

Lời giải (Hình 9):

M

G F E

A

Hình 9

Áp dụng bất đẳng thức (a + b)2 ≥ 4ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b ta có:

4

ABC

AEF ABC AEF

S

Đẳng thức xẩy ra AF d BC

AC AE

AB

//

⇔

=

⇔

Vậy GTNN(S AEF) =

9

4S ABC ⇔ d // BC

Câu hỏi đặt ra là liệu có tìm được giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AEF không?

Bài 5: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm

G cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AEF

AE+ AF =

Đặt:

3

AB

AE

AC

x AF

Ta có:

(3 ) ( 1)(2 ) 2 2

ABC

AEE ABC AEF

không đổi Đẳng thức xấy ra khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 2

Vậy GTLN của

1 2

AEF ABC

Dấu bằng đạt được khi E trùng B hoặc F trùng C

Nhận xét:

Từ bài 4 và bài 5 ta có thể tìm được GTNN và GTLN của tứ giác BCFE

Bài 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm

G cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BFE và CEF

Lời giải (Hình 10):

Hình 10

Kẻ BP, MI, CN cùng vuông góc với đường thẳng EF

Khi đó: BP CN+ =2MI (Đường trung bình của hình thang)

) 1 ( 2

2 AH MI GM

AG MI

AH MIG

∆

Ta có:

(2) Do:

9

4

AEF ABC

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: S BEF +S CEF ≥94S ABC

Vậy GTNN(S BEF +S CEF) = 94S ABC

BC

d //

⇔

Tiếp tục dùng kết quả của bài toán gốc Ta có các bài tập sau:

Bài 7: Gọi AP, BF, CE lần lượt là các đường cao của tam giác nhọn ABC.

Chứng minh rằng:

1

EFP

ABC

S

cos A cos B cos C

Lời giải (Hình 11):

Ta có:

2

.

.

AEF

ABC

cos A

S = AB AC = AC AB =

Tương tự ta có:

Hình 11

P

F E

C B

A

; CFP

AEP

s s

Do đó:

1

EFP

ABC

S

cos A cos B cos C

Bài 8: Gọi AP, BF, CE lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác nhọn ABC Tìm điều kiện của tam giác ABC để GTLN của S AEF

F E

C B

A

Lời giải(Hình 12): Đặt AB = c, AC = b, BC = a

Ta có:

.

.

AEF

ABC

S = AB AC = AB AC =a b c a

+ + Tương tự ta có:

BEP

s

S =a b c b S = a c b c

⇒

ABC AEF BEP CFP EFP

S

=

⇒

2 ( )( )( )

EFP

ABC

S = a b b c c a

+ + + (1) Hình 12 Do: a+b≥2 ab;b+c≥2 bc;c+a≥2 ac ⇒(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc(2)

Từ (1) và (2) suy ra: ABC AEF ABC

S

S

4

1 4

1

≤

⇒

≤

Dấu “ = ” đạt được khi và chỉ khi a = b = c

Vậy GTLN(S AEF ) = 4S ABC

1

∆

⇔ ABC đều

Nhận xét:

Như vậy nếu biết độ dài 3 cạnh kết hợp với định lý Hêrông ta sẻ tính được diện tích

tam giác EFP

Bài 9: Trên 3 cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy M, N, P sao cho

k

MB = NC = PA =

.Tìm k để

5 8

MNP ABC

S

Lời giải (Hình 13):

AB = BC = AC = k

1 1

AB = BC = AC =k

+ (t/c tỉ lệ thức)

AMP

ABC

Từ đó ta có:

ABC AMP BMN CNP

S

=

= 1- ( )2

3 1

k

Do đó:

5 8

MNP

ABC

S

3 1

k

k+ =58 ⇔k2 – 6k + 1 = 0 Bài toán có hai nghiệm:

1 3 2 2 ; 2 3 2 2

Hình 13

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm M,

N sao cho 2

k

Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BD.

a) So sánh diện tích của PMNQ và APQ

b) Tính diện tích tam giác AMN theo k và theo diện tích của ABCD

Lời giải (hình 14): a) Ta có:

AMN

APQ

=

Theo giả thiết có:

1

1 2

k

+

Kết hợp với định lý talét ta có:

1

1

+ Thay vào (*) ta có:

AMN

APQ

S

k

   = 2 Suy ra: S MNPQ =S APQ

b) Chú ý rằng: S ABCD =2S ABC =2S ADC =2S CBD

ABM

ABC

+

ADN

ABD

+

Ta có:

1 ;

2

k

+

Suy ra:

2

1

1

ABCD ABM ADN CMN AMN

ADN CMN ABM

ABC ADC DBC

S

S

=

=

Từ đó tính được: SAMN theo k và diện tích của ABCD

Hình 14

Kết quả đạt được:

Sau khi đề tài hoàn thiện tôi đã áp dụng với lớp 9A trường THCS nơi đang công tác năm học 2013 – 2014 thấy hiệu quả khá rõ nét Không những thế khi tôi dạy những bài toán đơn giản ở sách giáo khoa học sinh từng bước hình thành được thói quen phân tích, tìm tòi, sáng tạo và tự tin tiếp cận kiến thức

Kết quả cụ thể:

Số lượng

HS được

điều tra

Nội điều tra SL, TL học

sinh có liên hệ đến hệ thức

SL học sinh không có sự liên

hệ

SL học sinh liên tưởng đến kiến thức khác

30

Điều tra việc giải các

bài toán có liên quan

đến hệ thức hình học

SL: 16 em TL: 53%

SL: 5em TL: 17%

SL: 9em TL: 30%

Nhận xét: Qua bảng số liệu ta thấy sau khi thay đổi phương pháp dạy số lượng HS có

sự liên hệ giữa kiến thức đã học với kiến thức mới chiếm tỉ lệ tương đối cao

Sau đây kết quả học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tĩnh của trường trong 3 năm học gần đây

Số lượng Tỉ lệ Thứ hạng Số lượng Tỉ lệ