PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CB

Đường tròn lượng giác: góc dương, góc âm, độ lớn của góc Đặt vấn đề: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn lượng giác, đó là đường tròn tâm O có bán kính = 1 đơn vị Điểm M của đường tròn thuộc Ox.Quy ước nếu M quay ngược kim đồng hồ thì được góc dương,như vậy ta có các góc 30o, 60o, 120o,180o,360o,720o,…, ngược lại là góc âm. Như vậy các góc có thể từ ∞ tới + ∞. Tính quãng đường điểm m di chuyển được khi quay góc bất kì

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Dạng sinx = sinα và sinx = m a. Dạng sinx = sinα Ví dụ 1: Giải phương trình sinx = sin 30 o . Biểu diễn nghiệm trên đường tròn LG Suy nghĩ: - Ta có thể suy được ra ngay x = 30 o là một nghiệm. Mặt khác, các góc x’ = bằng 30 o ± 360 o , 30 o ± 720 o , 30 o ± 1080 o cũng có sinx’ = sin 30 o ( vì cùng điểm ngọn với 30 o trên đường tròn lượng giác). Như vậy ta có một “họ nghiệm” là x = 30 o + k360 o , k ∈ Z (1) - Theo tính chất “ sin bù”, góc x =150 o cũng là nghiệm ( sin 150 o = sin 30 o , đúng ). Mặt khác, các góc 150 o ± 360 o , 150 o ± 720 o , 150 o ± 1080 o cũng là nghiệm ( vì cùng điểm ngọn với góc 150 o trên đường tròn lượng giác). Như vậy, ta có họ nghiệm nữa là x =150 o + k’360 o , k’ ∈ Z (2) Thử lại như sau: Thay (2) vào (1), ⇔ sin (30 o + k360 o )= sin 30 o , cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy tính thử, đượcVT = 0.5 = VP, đúng Thay (3) vào (1), ⇔ sin (150 o + k360 o )= sin 30 o , cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy tính thử, đượcVT = 0.5 = VP, đúng Kết luận ngắn gọn: o o o o o x 30 k360 sinx sin 30 , ' x 150 k’360 k k Z  = + = ⇔ ∈  = +  Biểu diễn nghiệm: Hình vẽ Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn trên ĐTLG: sinx = sin80 o , sin2x = sin 2 x π   −  ÷   ; Tổng quát: o 360 sinx sin , ' (180 - ) ’360 o o o o o x k k k Z x k α α α  = + = ⇔ ∈  = +  Nếu đơn vị đo là radian, ta dễ dàng suy ra công thức tương tự: 2 sinx sin , ' ( - ) 2 o x k k k Z x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = +  b. Dạng sinx = m Nếu m >1 thì phương trình vô nghiệm ( do kết luận ở phần trước) Nếu m ≤ 1 thì phương trình có nghiệm. Nếu m là giá trị đặc biệt, ta suy ngược ra góc. Ví dụ 1: GPT sin x = 3 2 . , biểu diễn nghiệm trên ĐTLG Ta biết 3 2 = sin 60 o nên viết lại phương trình thành sinx = sin60 o , giải được x =60 o + k360 o hoặc x = 120 o + k’360 o Biểu diễn nghiệm: hình vẽ: 0,866 Ta đưa m về sinα o (độ) hoặc sinα (radian) bằng cách ấn shift sin(m) trên máy. Sau đó giải tiếp Ví dụ 2: GPT sin x = 2 3 , biểu diễn nghiệm Ta đưa 2 3 về sinα o (độ) hoặc sinα (radian) bằng cách ấn shift sin(m) trên máy. ấn shift sin( 2 3 ) Có thể ghi nghiệm như sau (nếu không dùng máy tính): x = arcsin 2 3 + k2π , x = π - arcsin 2 3 + k2π 0,666 Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn trên ĐTLG: sinx = 0,7; sin 2x = 3 7 ; sin 5x = 1 3 2. Dạng cosx = cosα và cosx = m a. cosx = cosα Ví dụ 1: Giải phương trình cosx = sin 30 o (1), biểu diễn trên ĐTLG Suy nghĩ: - Ta có thể suy được x = 30 o là một nghiệm. Mặt khác, các góc x’ = bằng 30 o ± 360 o , 30 o ± 720 o , 30 o ± 1080 o cũng có sinx’ = sin 30 o ( vì cùng điểm ngọn với 30 o trên đường tròn lượng giác). Như vậy ta có một “họ nghiệm” là x = 30 o + k360 o , k ∈ Z (1) - Theo tính chất “ cos đối”, góc x =-30 o cũng là nghiệm ( cos (-30 o ) = cos 30 o , đúng ). Mặt khác, các góc -30 o ± 360 o , -30 o ± 720 o , -30 o ± 1080 o cũng là nghiệm ( vì cùng điểm ngọn với góc -30 o trên đường tròn lượng giác). Như vậy, ta có họ nghiệm nữa là x =-30 o + k’360 o , k’ ∈ Z (2) Thử lại như sau: Thay (2) vào (1), ⇔ cos (30 o + k360 o )= cos 30 o , cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy tính thử, đượcVT = 0,866 = VP, đúng Thay (3) vào (1), ⇔ cos (-30 o + k360 o )= cos 30 o , cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy tính thử, đượcVT = 0,866 = VP, đúng Kết luận: o o o o o x 30 k360 cosx cos 30 , ' x 30 k’360 k k Z  = + = ⇔ ∈  = − +  Biểu diễn nghiệm: Hình vẽ Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn nghiệm : cosx = cos 10 o ; cosx = cos 2 3 x π   −  ÷   ; Tổng quát: ( ) o cosx cos 360 o o x k k Z α α = ⇔ = ± + ∈ Nếu đơn vị đo là radian, ta có công thức tương tự: ( ) cosx os 2c x k k Z α α π = ⇔ = ± + ∈ b. Dạng cosx = m Nếu m >1 thì phương trình vô nghiệm ( giống tính chất của sinx ) Nếu m ≤ 1 thì phương trình có nghiệm. Ví dụ 1: GPT cos x = 3 2 . Ta biết 3 2 = cos 30 o nên phương trình là cosx = cos30 o , giải được x =±30 o + k360 o Ví dụ 2: GPT cos x = 3 4 , biểu diễn nghiệm - Ta đưa 3 4 về cosα o (độ) hoặc cosα (radian) - Cũng có thể ghi nghiệm như sau : x = ±arccos 3 4 + k2π, Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn nghiệm: cosx=0,1; cos(-3x) = 3 10 ; cos( 2-x) = 1 3 3. Dạng tanx = tanα và tanx =m, cotx = cotα và cotx =m a. tanx = tanα, cotx = cotα Theo tính chất hai góc hơn pi thì tan và cot bằng nhau(tan và cot pi), ta có kết luận như sau: tanx = tanα ⇔ x = α o + k180 o ( hoặc x = α + kπ) cotx = cotα ⇔ x = α o + k180 o ( hoặc x = α + kπ) Ví dụ: Giải phương trình tan3x = tan 30 o PT ⇔ 3x = 30 o + k180 o ⇔ x = o o o 30 k180 = 10 k60 3 o + + b. tanx =m, cotx =m. Ví dụ: tanx =1 ⇔ tanx =tan45 o ⇔ x = 45 o + k180 o tanx =5 ⇔ x = arctan5 + kπ ( hoặc x = arctan5 + k180 o ) Chú ý : phương trình tanx =m, cotx =m có nghiệm với mọi m Áp dụng: hãy giải các phương trình sau: tanx = tan 2 3 x π   +  ÷   ; tan3x = 1; cotx = 2 4. Các dạng đưa được về dạng cơ bản Ta hay gặp các dạng sau: sin α = - sinβ; sin α = cos β ; sin α = -cos β; tanα = cotβ ; tan α = -cotβ; tan α.tanβ = 1 Ví dụ 1. Giải phương trình sin x = - sin2x Ta có – sin2x = sin (-2x) ( theo tính chất góc đối). Do đó phương trình viết lại thành sin x = sin (-2x). Phương trình trên được giải dễ dàng Ví dụ 2. Giải phương trình sinx = cos3x Ta có cos3x = sin (90 o -3x) ( theo tính chất góc phụ). Do đó phương trình viết lại thành sin x = sin (90 o -3x) Phương trình trên được giải dễ dàng Ví dụ 3. Giải phương trình tan2x + cot3x =0 Ta có tan2x + cot3x =0 ⇔ tan2x = - cot3x ⇔ tan2x = cot(-3x) ⇔ tan2x = tan[90 o –(- 3x)] ⇔ tan2x = tan(90 o +3x). Phương trình cuối là cơ bản nên giải dễ dàng Áp dụng: Giải các phương trình: sin7x + cos5x = 0; sin x 6 x π   +  ÷   + sin 3 x π   +  ÷   = 0; sin 6 x π   −  ÷   = cos 3 2 x π   −  ÷   ; sin 2 6 x π   +  ÷   = cos 2 2 3 x π   +  ÷   ; tan 2 x π   −  ÷   + cot3x =0; tan 2 2 x π   −  ÷   - cot 2 2x =0; tan 2 x π   −  ÷   .cot2x =1; tan 2 3 x π   +  ÷   .tanx =1; 5. Sự thống nhất giữa nhiều cách giải Ví dụ 1: GPT sinx = cos2x Cách 1: PT k2 x + -x 2x +k2 6 3 2 cos -x cos2x 2 -x -2x+k2 +k2 2 2 x π π π π π π π π π   = =     ⇔ = ⇔ ⇔    ÷     = = −     Cách 2. PT k2 x -2x +k2 x + 2 6 3 sinx sin -2x 2 x - -2x +k2 +k2 2 2 x π π π π π π π π π π   = =      ⇔ = ⇔ ⇔   ÷       = = −  ÷       Cách 3: x +2x +k2 +k2 2 2 sinx sin +2x k2 2 x - +2x +k2 x + 2 6 3 x PT π π π π π π π π π π   = = −      ⇔ = ⇔ ⇔   ÷       = =  ÷       Nhận xét: ta thấy cả ba cách giải đều cho nghiệm giống nhau . Giải phương trình sin x = - sin2x Ta có – sin2x = sin (-2x) ( theo tính chất góc đối). Do đó phương trình viết lại thành sin x = sin (-2x). Phương trình trên được giải dễ dàng Ví dụ 2. Giải phương. trình sinx = cos3x Ta có cos3x = sin (90 o -3x) ( theo tính chất góc phụ). Do đó phương trình viết lại thành sin x = sin (90 o -3x) Phương trình trên được giải dễ dàng Ví dụ 3. Giải phương trình. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Dạng sinx = sinα và sinx = m a. Dạng sinx = sinα Ví dụ 1: Giải phương trình sinx = sin 30 o . Biểu diễn nghiệm trên