tính toán và đánh giá các tổng hữu hạn

[...]... kiến kinh nghiệm đã trình bày và đạt được một số kết quả sau: 1 Phân loại và trình bày các bài toán về tính toán và đánh giá các tổng hữu hạn 2 Sử dụng và phối kết hợp các phương pháp khác nhau như phương pháp đạo hàm, số phức, nhị thức Newton hay phương pháp sử dụng tổng của các cấp số v.v để nhận được các tổng hữu hạn về lũy thừa của số tự nhiên, số Bernulli, tổng đan dấu, tổng giai thừa, tổ hợp, mà... thiệu hay chưa nói nhiều trong các tài liệu Tiếng việt ở bậc THCS - THPT 3 Sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày được một số mệnh đề và bài tập mới chỉ được giới thiệu qua các nghiên cứu của các nhà chuyên môn Bên cạnh đó còn giới thiệu và đánh giá được một số bài toán tính tổng trong các kì thi vào trường chuyên, tuyển sinh vào đại học, học sinh giỏi quốc gia, Olimpyad và thi vô định quốc tế 33 Tài liệu... S= n (1)n 2n C2000 = x0 (1 2)2000 = x0 = 2000 2 xn = x0 n=0 n=0 Chương 2 Tổng hữu hạn liên quan đến tổ hợp Chương này trình bày các bài toán và mệnh đề liên quan đến tổ hợp, trong đó sử dụng phương pháp đạo hàm, nhị thức Newton, phương pháp sai phân và một số tính chất để giải 2.1 Tổ hợp và nhị thức Newton 2.1.1 Tổ hợp và các tính chất 2.1 Cho E n phần tử (n 1) k N, 0 k n Một tổ chập k của n phần... (2007), 370 (2008), 375 (2008), Nhà xuất bản Giáo Dục [5] Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1998), Nhà xuất bản Giáo Dục [6] Tuyển tập 5 năm tạp trí toán học và tuổi trẻ (2003), Nhà xuất bản Giáo Dục [7] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ ( 2010), Nhà xuất bản Giáo Dục [8] Các đề thi vô địch toán 19 nước trong đó có Việt Nam (Tập 1, 2) (2002), Nhà xuất bản trẻ Việt yên, tháng... Khải (2000), Toán nâng cao giải tích tích phân và giải tích tổ hợp, Nhà xuất bản Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo Dục [4] Tạp trí toán học và tuổi trẻ số: 186 (1992), 336 (2005), 346 (2006), 349 (2006), 359 (2007), 370 (2008), 375 (2008), Nhà xuất bản Giáo Dục [5]... Vậy số (n + m)! m m m! = (1)m Cn+m m! chia hết cho m! vì Cn+m N n!m! Với n = 2, m = 3 thì số Sm,n = 60 không chia hết cho m!(n + 1) = 18 Sm,n = (1)m Bài toán được chứng minh 1.5 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm luỹ thừa và hàm mũ Bài toán 1.10 Tính tổng n (a + kd)q k Sn = k=0 6Lời giải Ta có n n k (a + kd)q = a k=0 n k kq k , q +d k=0 k=1 18 trong đó n q k = a(1 + q + q 2 + + q n ), a k=0 n kq k =... , ta được 2 3 5 7 2n + (1)n+1 (6n + 1) n1 2n 1 1 + + + (1) = 2 4 8 2n1 9.2n1 5 7 9 (1)n+1 (6n + 7) + 3.2n n1 2n + 1 3 + + + (1) = 2 4 8 2n1 9.2n1 1.4 Tổng hữu hạn liên quan đến lũy thừa và giai thừa Trong mục này trình bày cách tính tổng có dạng n p N j!j p , Fp (n) = (1.59) j=1 n Định lý 1.2 Cho j!j p , với p N , m, n 0 Chứng minh rằng Fp (n) = j=1 p+1 Fp (n) = 1 n!(n + 1) p+1 m Cp+1... Bài toán 1.8 Tìm tổng của tất cả 7! số nhận được từ hoán vị các chữ số của số 1234567 ( Đề thi vô địch nước Bỉ năm 1979 ) 6Lời giải Với mọi giá trị i, j ở hàng thứ i là {1, 2, , 7} số các chữ số mà trong chữ số j đứng 6! do đó S = (6!.1 + + 6!.7) + (6!.1 + + 6!.7)10 + + (6!.1 + + 6!7)106 = 6!(1 + 2 + + 7)(1 + 10 + + 106 ) = 720.28.1111111 = 22399997760 17 Bài toán 1.9 Chứng minh rằng với các. .. Trong bất đẳng thức (1.53) lần lượt cho (j = 1, 2 , n) (1.53) j = 1, 2, , n rồi cộng từng vế của các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh 1.3 Tổng đan dấu về lũy thừa của số tự nhiên Trong mục này trình bày cách tính tổng có dạng n p N (1)k k p , Tp (n) = (1.54) k=1 n Định lý 1.1 Cho (1)k k p Tp (n) = là tổng của một chuỗi đan dấu k=1 với p N , m, n 0 Chứng minh rằng p n p m Cp Tm (n) Tp (n) =... thức (2.14) - (2.16) suy ra k k Cm+n p kp 0 k 1 k1 m kn Cm Cn = Cm Cn + Cm Cn + + Cm Cn = p=0 (2.16) 23 Bài toán 2.3 Tính tổng gồm 2n số hạng 1 2 1 k1 1 1 1 2 C2n n, S = C2n C2n + + (1)k C2n + + (1)2n+1 2 3 k 2n + 1 trong đó k Cn là hệ số của khai triển nhị thức Newtơn ( Tạp trí Toán học và tuổi trẻ số 336 năm 2005) 6Lời giải k = 2, 3, , 2n + 1 ta có k C2n+1 1 k1 1 (2n)! 1 (2n + 1)! C = = = k