LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 3) Các công thức về logarith (tiếp theo) Công thức 5: log .log = m a a b m b , (5) Ch ứ ng minh: Theo công th ứ c (2) ta có ( ) log log .log = ⇒ = = a a a m b b m b m b a b a a Khi đ ó .log log log .log = = ⇒ a m b m a a a b a m b dpcm Ví dụ 1: ( ) 3 2 2 2 2 5 5 5 1 4 4 2 2 2 log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6 1 5 log 32 log 32 log 32 4 4 = = = = = = = Ví dụ 2: 4 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 6 .45 1 2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81 log 4. 2 20 3 − − + = − + = = = = − Ví dụ 3: 5 5 5 5 5 5 5 5 1 50 3 log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2. 2 2 3 − + = − + = = = Ví dụ 4: Cho bi ế t 1 3 log ;log 2 4 a a b c = = Tính giá tr ị c ủ a log a x với a) 3 2 2 3 4 a b c x a bc = b) 3 3 3 ab a bc x bc = Công thức 6: 1 log log = n a a b b n , (6) Chứng minh: Đặt ( ) log = ⇒ = ⇔ = n y n ny a b y a b a b Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : 1 log log log log = ⇔ = ⇒ = ny a a a a a b ny b y b n hay 1 log log= ⇒ n a a b b dpcm n Ví dụ 1 : 1 2 5 1 5 2 2 2 2 2 2 1 log 16 log 16 log 16 2.4 8. 1 2 1 log 64 log 64 log 64 5.6 30. 1 5 = = = = = = = = Hệ quả: T ừ các công th ứ c (5) và (6) ta có : log log = n m a a m b b n Ví dụ 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 3 1 11 3 4 4 5 2 2 2 5 2 5 3 9 11 11 4 log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 . 1 4 3 3 3 = = = = = = Tài li ệ u bài gi ả ng: 02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức 1 3 3 5 3 4 1 3 3 27 log 27 log 9 . 1 1 log log 81 3 + = + A H ướ ng d ẫ n gi ả i: ( ) 2 3 3 3 3 log 27 log 3 3 2 = = 1 2 13 3 5 1 3 2 5 3 3 5 27 3 1 13 26 log log log 3 2. . 1 5 5 9 3 2 − = = = − = − − 1 2 1 3 3 5 4 3 3 4 3 3 1 3 3 27 26 log 27 log 2 9 1 4 5 log log 3 4.2log 3 8 . 81 8 4 5 1 1 log log 81 3 − + − = = − = − → = = = − + + A Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log log log = c a c b b a , (7) Chứng minh: Theo công thức (2) ta có ( ) log log log log log log .log log log = ⇒ = = ⇒ = ⇒ a a b b c c c a c a c b b a b a b a b dpcm a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau log log .log = a a c b c b + Khi cho b = c thì (7) có dạng log 1 log . log log = = b a b b b b a a Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho: a) Cho 2 2 log 14 log 49 ? = → = = a A b) Cho 15 25 log 3 log 15 ? = → = = a B H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Ta có ( ) 2 2 2 2 log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1. = ⇔ = = + ⇒ = − a a a Khi đ ó ( ) 2 2 log 49 2log 7 2 1 . = = = − A a b) Ta có 3 15 3 3 5 1 1 log 5 1 1 1 log 3 log 15 1 log 5 log 3 1 − = − = = ⇔ = = → + = − a a a a a a a ( ) ( ) 3 25 3 3 1 1 log 15 1 1 log 15 . 1 log 25 2log 5 2 1 2 1 2 = = = = = → = − − − a a B B a a a a Ví dụ 2: Cho log 3. a b = Tính a) log . = b a b A a b) log . = ab b B a H ướ ng d ẫ n gi ả i: T ừ gi ả thi ế t ta có 1 log 3 log . 3 = ⇒ = a b b a a) 1 1 1 1 log log log log log log log log log = = − = − = − = − − b b b b b a a a a a b a b A b a a b a b a b b a a LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 1 1 1 1 3 1 3 1 . 2 1 2log log 2 3 2 3 2 3 2 1 3 − − = − = − = → = − − − − − − b a A a b Cách khác: Ta có đượ c 2 2 2 2 log log 1 3 1 log log log log 2 3 2 log a a b b b a a a a a b b b b b a A b a b a a a − − = = = = = = − − b) 1 1 1 1 log . log log log log log log log log = = − = − = − = + + ab ab ab b b b a a a b B b a a ab ab a b a b 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 . 1 1 1 1 1 log 1 3 3 1 3 1 log 2 2 2 2 3 − − = − = − = → = + + + + + + a b B b a Cách khác: Ta có ( ) 2 2 2 2 log 2log 1 2 3 1 log log log . log 1 log 1 3 a a ab ab ab a a b b b b b a B a ab b a a − − = = = = = = + + Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau : a) 9 125 7 1 1 log 4 log 8 log 2 4 2 81 25 .49 − + b) 2 5 4 1 log 3 3log 5 1 log 5 2 16 4 + + + c) 7 7 3 1 log 9 log 6 log 4 2 72 49 5 − − + d) 6 9 log 5 log 36 1 lg 2 36 10 3 − + − Hướng dẫn giải: a) ( ) 3 9 3 9 125 7 5 7 1 1 1 1 log 4 2log 2 4 log 4 log 8 log 2 2log 2 4 2 4 2 81 25 .49 3 5 7 − − + = + 5 3 7 1 2 .3log 2 1 log 4 log 4 3 3 3 5 7 4 4 19 4 − = + = + = b) ( ) 2 5 4 2 54 1 log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 5 1 log 5 6 2 16 4 4 2 16.25 3.2 592 + + + + + = + = + = c) ( ) 7 7 5 7 7 5 1 log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 4 2 9 1 72 49 5 72 7 5 72 18 36 16 − − − − + = + = + = + 4,5=22,5 d) 6 9 6 log 5 log 36 log 25 1 lg2 log5 36 10 3 6 10 25 5 30 − + − = + = + = Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau : a) 9 9 9 log 15 log 18 log 10 A = + − b) 3 1 1 1 3 3 3 1 2log 6 log 400 3log 45 2 B = − + c) 36 1 6 1 log 2 log 3 2 C = − d) ( ) 1 3 2 4 log log 4.log 3 D = H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) 3 3 9 9 9 9 9 3 15.18 1 3 log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3 10 2 2 A = + − = = = = b) 2 4 3 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 36.45 2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4 2 20 B = − + = = = − = − c) 36 1 6 6 6 6 1 1 1 1 1 log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3 2 2 2 2 2 C = − = + = = d) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 4 2 3 4 2 2 4 1 1 log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2 2 2 D = = − = − = − = − Ví dụ 5: Hãy tính : a. ( ) 2 3 4 2011 1 1 1 1 2011! log log log log A x x x x x = + + + + = b. Chứng minh : + ( ) ax log log log 1 log a a a b x bx x + = + LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 + ( ) 2 1 1 1 1 log log log 2log k a a a a k k x x x x + + + + = H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) 2 3 4 2011 1 1 1 1 log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2 011 log 2011! log log log log x x x x x A x x x x = + + + + = + + + = = Nếu x = 2011! Thì A= ( ) 2011! log 2011! 1 = b) Chứng minh : ( ) ax log log log 1 log a a a b x bx x + = + Ta có ax log log log log log ax 1 log a a a a a bx b x bx x + = = ⇒ + đpcm. Chứng minh : ( ) 2 1 1 1 1 log log log 2log k a a a a k k x x x x + + + + = ( ) ( ) 2 1 log log log 1 2 3 log 2log k x x x x a k k VT a a a k a VP x + = + + = + + + + = = Ví dụ 6: Chứng minh rằng : a) Nếu : 2 2 2 ; 0, 0, 0, 1 a b c a b c c b + = > > > ± ≠ , thì log log 2log .log c b c b c b c b a a a a + − + − + = b) Nếu 0<N 1 ≠ thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là : ( ) log log log , , 1 log log log a a b c b c N N N a b c N N N − = ≠ − c) Nếu log ,log ,log x y z a b c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì 2log .log log log log a c b a c x z y x z = + d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : 2 2 7 a b ab + = . Chứng minh : ln ln ln 3 2 a b a b + + = Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log log a a a c b c b c b c b c b = − = − + ⇒ = − + + 1 1 2 2log .log log log log log c b c b c b c b c b c b a a a a a a − + + − − + ⇔ = + ⇔ = + b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2 b ac = Lấy logarith cơ số N hai vế ta được 1 1 1 1 2log log log log log log log N N N b a c b b a c N N N N = + ⇔ − = − log log log log log log log log .log log .log log log log a b b c a a b a b c b c b c N N N N N N N N N N N N N N − − − ⇔ = ⇔ = − . ( đpcm ) c) Nếu log ,log ,log x y z a b c tạo thành cấp số cộng thì log log 2log x z y a c b + = 2log .log 1 1 2 log log log log log log a c b a c b a c x z y x z y x z ⇔ + = ⇔ = + d) Nếu : ( ) 2 2 2 2 ln ln 7 9 ln 3 3 2 a b a b a b a b ab a b ab ab + + + + = ⇒ + = ⇔ = ⇒ = . Ví dụ 7: Tính a. 6 log 16 A = . Biết : 12 log 27 x = b. 125 log 30 B = . Biết : lg3 ;lg2 a b = = c. 3 log 135 C = . Biết: 2 2 log 5 ;log 3 a b = = d. 6 log 35 D = . Biết : 27 8 2 log 5 ;log 7 ;log 3 a b c = = = e. Tính : 49 log 32 . Biết : 2 log 14 a = Hướng dẫn giải: a) 6 log 16 A = . Từ : 3 12 3 3 3 3 log 27 3 3 3 3 log 27 log 4 1 log 2 log 12 1 log 4 2 x x x x x x x − − = ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ = + (*) LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 5 Do đó : 4 3 3 6 3 3 log 2 4log 2 log 16 log 6 1 log 2 A = = = + . Thay t ừ (*) vào ta có : A= ( ) ( ) 2 3 .2 12 4 3 3 x x x x x x − − = + + c) T ừ : 3 2 3 3 3 2 log 5 3 log 135 log 5.3 log 5 3 3 3 log 3 a a b C b b + = = = + = + = + = d) Ta có : 27 3 3 8 2 2 1 1 log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3 3 3 a a b b = = ⇒ = = = → = (*) Suy ra : ( ) 2 3 2 2 2 2 6 2 2 2 3 1 log 3.log 5 log 7 log 5.7 log 5 log 7 .3 3 log 35 log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1 b a b a b D b b + + + + = = = = = = + + + + e) Ta có : 2 2 2 log 14 1 log 7 log 7 1 a a a = ⇔ + = ⇒ = − Vậy : ( ) 5 2 49 2 2 2 log 2 5 5 log 32 log 7 2log 7 2 1 a = = = − Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức a) ( ) ( ) log log 2 log log log 1 a b a ab b A b a b b a = + + − − b) ( ) ( ) 2 log log 1 2 2 4 2 2 2 1 log 2 log log 2 x x B x x x x + = + + c) ( ) log log 2 log log log a p a ap a C p a p p p = + + − Hướng dẫn giải: a) ( )( ) ( ) 2 log 1 log log 2 log log log 1 1 log 1 log a a b a ab b ab a b A b a b b a a b + = + + − − = − − = 2 2 2 log 1 log log 1 log 1 log 1 1 1 1 1 1 log log log 1 log log 1 log a a a a a a a a a a a b a b b b b ab b b b b + + + − − = − − = − + + log 1 1 1 log log log a b a a b a b b + = − = = b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 log log 1 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 log 2 log log 1 2log log log 1 4log 2 2 x x B x x x x x x x x + = + + = + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3log log 8 log 9 log 3log 1 x x x x x = + + + = + + c) ( ) ( ) 2 2 log 1 log log log 2 log log log log log log 1 log a a a p a ap a a a a a p p C p a p p p p p p p + = + + − = − = + ( ) ( ) 2 3 log 1 log log log log 1 log a a a a a a p p p p p p + = = + Ví dụ 9: Ch ứ ng minh r ằ ng a) ( ) ( ) 1 log 3 log2 log log 2 a b a b − − = + v ớ i : 2 2 3 0; 9 10 a b a b ab > > + = b) Cho a, b, c đ ôi m ộ t khác nhau và khác 1, ta có : + 2 2 log log a a b c c b = + log .log .log 1 a b c b c a = + Trong ba s ố : 2 2 2 log ;log ;log a b c b c a c a b b c a luôn có ít nh ấ t m ộ t s ố l ớ n h ơ n 1 H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) T ừ gi ả thi ế t ( ) 2 2 2 2 2 3 0; 9 10 6 9 4 3 4 a b a b ab a ab b ab a b ab > > + = ⇔ − + = ⇔ − = Ta l ấ y log 2 v ế : ( ) ( ) ( ) 1 2log 3 2log2 log log log 3 log2 log log 2 a b a b a b a b − = + + ⇔ − − = + b) Ch ứ ng minh : 2 2 log log a a b c c b = . * Th ậ t v ậ y : 1 2 2 2 log log log log log log a a a a a a b c c b c c c b b c b b − = = − ⇒ = − = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 6 * log .log .log 1 log .log log 1 a b c a b a b c a b a a = ⇔ = = * Từ 2 kết quả trên ta có 2 2 2 2 log log log log .log log 1 a b c a b c b c a b c a c a b b c a b c a c a b = = Ch ứ ng t ỏ trong 3 s ố luôn có ít nh ấ t m ộ t s ố l ớ n h ơ n 1 Ví dụ 10: Tính giá tr ị các bi ể u th ứ c sau: a) 3 6 log 3.log 36 = b) 4 3 log 8.log 81 = c) 3 2 25 1 log .log 2 5 = Ví dụ 11: Cho log 7. a b = Tính a) 3 log . = a b a A b b) 3 2 log . = b a B ab Ví dụ 12: Tính các bi ể u th ứ c sau theo ẩ n s ố đ ã cho: a) Cho 3 25 2 5 49 log 7 ; log 5 log ? 8 = = → = = a b P b) Cho log 2 log ? = → = = ab ab b a Q a Công thức 8: log log = b b c a a c , (8) Ch ứ ng minh: Theo công th ứ c (7): ( ) log log log .log log log log log log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒ b b b a b a b a c a c c c a b b a c a c a a a a c dpcm Ví dụ 1: ( ) 2 7 7 2 1 log 27 log 2 log 49 log 2 2 2 49 2 2 4; 2 27 27 3 3 = = = = = = Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 3 6 9 log 4 log 5 log 36 36 3 3 A = + − = b) 2 3 3 log 3 2 log 2 log 4 3 .4 27 B − = = c) 3 9 9 log 5 log 36 4log 7 81 27 3 C = + + = . b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 log log 1 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 log 2 log log 1 2log log log 1 4log 2 2 x x B x x x x x x x x + = + + = + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3log log 8 log 9 log. ) 2 7 7 2 1 log 27 log 2 log 49 log 2 2 2 49 2 2 4; 2 27 27 3 3 = = = = = = Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a) 3 6 9 log 4 log 5 log 36 36 3 3 A = + − = b) 2 3 3 log 3 2 log. dụ 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 3 1 11 3 4 4 5 2 2 2 5 2 5 3 9 11 11 4 log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 . 1 4 3 3 3 = = = = = = Tài li ệ u bài gi ả ng: 02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2 Thầy