Đề thi thử đại học môn Toán Vĩnh Phúc

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 3x + 1 x + 1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại điểm M (−2; 5). Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình 4(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4x + sin 2x = 0. 2. Giải bất phương trình (x + 1)(x − 3) √ −x 2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1) 2 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng d : x − 1 1 = y − 1 2 = z −2 1. Tìm tọa độ giao điểm của d với (α); tính sin của góc giữa d và (α). 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và Oxy. Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân I = 1 R 0 µ xe 2x − x √ 4 − x 2 ¶ dx. 2. Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x, y ≤ π 3 . Chứng minh rằng cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy) PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM 1 TRONG 2 CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương n.2 n .C n + (n − 1)2 n−1 c 1 n + . . . + 2C n−1 n = 2n.3 n−1 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 4) 2 + y 2 = 4 và điểm E(4; 1). Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB qua E. Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải bất phương trình 2 2x 2 −4x−2 − 16.2 2x−x 2 −1 − 2 ≤ 0. 2. Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượ

1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán 12. Khối B − D Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm) Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số 3 2 3 4 y x x = − − + ( ) 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( ) 1 . 2. Vớ i nh ữ ng giá tr ị nào c ủ a m thì đườ ng th ẳ ng n ố i hai c ự c t r ị đồ th ị c ủ a hàm s ố ( ) 1 ti ế p xúc v ớ i đườ ng tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 C x m y m − + − − = Câu II. (2,5 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0 x x x x + − + − = 2. Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 8 12 2 12 0 x y x xy y + =   + + =  ( , ) x y ∈ ℝ Câu III. (1,0 điểm) Tìm giới hạn: 2 3 1 7 5 lim 1 x x x L x → + − − = − Câu IV. (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , 3 ; 2 ; 4 , AD a AB a AC a = = =  0 60 BAC = .Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD . Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E .Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a. Câu V. (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 4 1 2 x x y x x − − + = + − + PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có ( 2 ; 1 ) B − , đường thẳng chứa cạnh AC có phương trình: 2 1 0 x y + + = , đường thẳng chứa trung tuyến AM có phương trình: 3 2 3 0 x y + + = . Tính diện tích của tam giác ABC . Câu VII.a. (1,0 điểm) Tính tổng: 0 1 2 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2 3 4 2013 S C C C C C = + + + + + B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm ( ) 1 ; 0 E − và đường tròn ( ) 2 2 : 8 4 16 0 C x y x y + − − − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt đường tròn ( ) C theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. Câu VIIb. (1,0 điểm) Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) 2 Cho khai triển Niutơn ( ) 2 2 2 2 * 0 1 2 1 3 , n n n x a a x a x a x n − = + + + + ∈ ⋯ ℕ .Tính hệ số 9 a biết n thoả mãn h ệ thức: 2 3 2 14 1 . 3 n n C C n + = Hết ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán; Khối:B+ D (Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang) Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) 3 2 3 4 y x x = − − + + Tập xác định: D = ℝ + Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 2 ' 3 6 , ' 0 0 x y x x y x = −  = − − = ⇔  =  Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 2 −∞ − và ( ) 0 ; +∞ , đồng biến trên khoảng ( ) 2 ; 0 − . 0,25 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại C (0) 0 ; 4 Đ x y y = = = Hàm số đạt cực tiểu tại CT ( 2) 2 ; 0 x y y − = − = = - Giới hạn: l i m ; li m x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ 0,25 - Bảng biến thiên: x −∞ -2 0 +∞ , y − 0 + 0 − y +∞ 0 4 −∞ 0,25 + Đồ thị 0,25 2. (1,0 điểm) I (2,0 điể m) Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu ( ) 2 ; 0 A − ,cực đại ( ) 0 ; 4 B .Phương trình đường 0,50 3 th ẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là: ( ) : 1 2 4 x y AB + = − ( ) :2 4 0 AB x y ⇔ − + = ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 C x m y m − + − − = có tâm ( ) ; 1 I m m + bán kính 5 R = Đường thẳng ( ) AB tiếp xúc với đường tròn ( ) ( ) ( ) ; C d I AB R ⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 1 4 8 5 3 5 2 2 1 m m m m m − + + = −  ⇔ = ⇔ + = ⇔  =  + − 0,50 Đáp số : 8 m = − hay 2 m = Câu II 1.( 1,25điểm) (2,5điểm ) Pt: ( ) ( ) 2 3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0 x x x x + − + − = ( ) 2 2 3 1 sin 3cos 2 3 3sin 2sincos 0 x x x x x ⇔ − + − + − = ( ) ( ) 3sin 3 2sin co s 3 2sin 0 x x x x − + − = 0,50 ( )( ) 3 2sin 0 3 2sin 3sincos 0 3sincos 0 x x x x x x  − = − + = ⇔  + =   0,25 2 3 3 sin 2 2 2 3 1 tan 3 6 x k x x k x x k π  = + π    =  π   ⇔ = + π   = −   π   = − + π   ( ) k ∈ Z 0,25 Phương trình có ba họ nghiệm 2 2 ; 2 ; 3 3 6 x k x k x k π π π = + π = + π = − + π ( ) k ∈ Z 0,25 2.( 1,25 điểm) Hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 3 2 8 12 * 2 12 0 ** x y x xy y + =    + + =   Thế (*) vào (**) ta được: ( ) 3 2 2 2 2 8 0 x xy x y y + + + = 0,25 ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 8 2 0 2 2 4 0 x y xy x y x y x xy y xy ⇔ + + + = ⇔ + − + + = 0,25 Trường hợp 1: 2 0 2 x y x y + = ⇔ = − thế vào (*) ta được 2 2 12 12 1 1 2 y y y x = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ∓ 0,25 4 Trường hợp 2: 2 2 2 2 0 15 4 0 0 2 4 0 2 y y y x x y y x y x =     − + = ⇔ − + = ⇔    − =     0 x y ⇒ = = không thoả mãn (*) hệ vn 0,25 Đáp số: ( ) ( ) ( ) ; 2 ; 1 , 2 ; 1 x y = − − 0,25 Câu III (1,0 điểm) 2 2 3 3 1 1 1 7 5 7 2 2 5 li m li m li m 1 1 1 x x x x x x x L x x x → → → + − − + − − − = = + − − − 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 1 3 3 2 5 7 2 lim lim 1 2 5 1 7 2 7 4 x x x x x x x x x → → − − + − = +   − + − − + + + +     0,25 ( ) ( ) 22 1 1 3 3 1 1 1 1 7 lim lim 12 2 12 2 5 7 2 7 4 x x x x x x → → + = + = + =   + − + + + +     0,25 Vậy : 7 12 L = 0,25 Câu IV (1,0 điểm) Vì ( ) ; BH AC BH AD BH ACD BH CD ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà ( ) BK CD CD BHK CD BE ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 Từ gt ta có 0 2 2 1 1 3 sin60 8 2 3 2 2 2 ABC S AB AC a a ∆ = ⋅ ⋅ = = 0 1 cos 60 2 . 2 AH AB a a = = = 0,25 Vì ( ) CD BHK CD KE AEH ACD ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ ∆ ∼ do đó 4 4 13 3 3 3 3 AE AH AH AC a a a AE DE a AC AD AD ⋅ = ⇒ = = ⇒ = + = 0,25 3 2 . . 1 1 13 26 3 2 3 2 3 3 9 BCDE D ABC E ABC ABC a a V V V DE S a ∆ ⋅ = + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 0,25 Câu V (1,0 điểm) 2 1 4 1 2 x x y x x − − + = + − + Tập xác định của hàm số là [ ] 0 ; 1 D = Đặ t c os 0 ; 2 1 sin x t t x t  = π      ∈          − =   0,25 Khi đ ó ( ) 2cos sin 4 c os sin 2 t t y f t t t − + = = + + v ớ i 0 ; 2 t π   ∈     0,25 5 xét hàm số ( ) 2cossin 4 cos sin 2 t t f t t t − + = + + với 0 ; 2 t π   ∈     ( ) ( ) ' 2 3 6cos 0 0 ; 2 sin cos 2 t f t t t t − − π   = < ∀ ∈   + +   vậy hàm số ( ) f t liên tục và nghịch biến trên đoạn 0 ; 2 π       0,25 do đó ( ) ( ) ( ) 0 0 ; 1 2 0 ; 2 2 2 f f t f t f t t π π π       ≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ∀ ∈             giá trị lớn nhất của ( ) ( ) m a x 0 2 0 0 y f t f t x = = = ⇔ = ⇔ = giá trị nhỏ nhất của ( ) m i n 1 1 2 2 y f t f t x π π   = = = ⇔ = ⇔ =     0,25 câu VIA (1,0 điểm) Do : C dt ∈ 2 2 1 0 ( , 2 1 ) , 2 a x y C a a M a −   + + = ⇒ − − ⇒ −     : M dt∈ 3 2 3 0 0 (0, 1 ) x y a C + + = ⇒ = ⇒ − . Toạ độ A là nghiệm h ệ 3 2 3 0 ( 1 , 3 ) ( 1 , 2 ) 5 2 1 0 x y A AC AC x y + + =  ⇒ − ⇒ − ⇒ =  + + =      0,50 Kẻ ( ) BH AC H AC⊥ ∈ 4 1 1 2 1 ( , ) . 1 2 5 5 ABC BH d B AC S AC BH − + + = = = ⇒ = = (dvdt). Vậy 1 ABC S = (dvdt). 0,50 Câu 7A (1,0điểm ) 0 1 2 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2 3 4 2013 S C C C C C = + + + + + Ta có ( ) ( ) 1 2012 2012 2012 2012 2011 2012 2012! 1 2012 ! 2012 ! k k k k k k k C kC C k C C C k k − + = + = + = + − với 0,1,2, ,2012 k ∀ = 0,25 6 ( ) ( ) 0 1 2011 0 1 2012 2011 2011 2011 2012 2012 2012 2012S C C C C C C= + + + + + + +⋯ ⋯ 0,25 ( ) ( ) 2011 2012 2011 2012 2012 2012 1 1 1 1 2012 2 2 1007 2 S = + + + = ⋅ + = ⋅ 0,25 Vậy 2012 1007 2 S = ⋅ 0,25 Câu VI B (1,0 điểm) Đường tròn ( )C có bán kính 6 R = và tâm (4;2) I Khi đó: 29 6 , IE R = < = suy ra điểm E nằm trong hình tròn ( )C . Giả sử đường thẳng ∆ đi qua E cắt ( ) C tại M và N . Kẻ IH ⊥ ∆ . Ta có ( , ) IH d I IE = ∆ ≤ . 0,50 Như vậy để MN ngắn nhất IH ⇔ dài nhất H E ⇔ ≡ ⇔ ∆ đi qua E và vuông góc với IE 0,25 Ta có (5; 2) EI =    nên đường thẳng ∆ đi qua E và vuông góc với I E có phương trình là: 5( 1 ) 2 0 5 2 5 0 x y x y + + = ⇔ + + = . Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: 5 2 5 0 x y + + = . 0,25 Câu 7B (1,0 điểm ) …. ( ) 2 2 2 2 * 0 1 2 1 3 , n n n x a a x a x a x n − = + + + + ∈ ⋯ ℕ . Tính hệ số 9 a biết n thoả mãn hệ thức: 2 3 2 14 1 . 3 n n C C n + = Điều kiện * , 3 n n ∈ ≥ℕ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 14 1 4 28 1 ! ! 1 1 2 3 2! 2 ! 3 ! 3 ! GT n n n n n n n n n n n ⇔ + = ⇔ + = − − − − − 0,50 2 3 9 7 18 0 n n n n ≥  ⇔ ⇔ =  − − =  0,25 Từ đó ( ) ( ) 18 18 2 18 0 1 3 1 3 k k k k k x C x = − = − ∑ Do đó hệ số của 9 9 18 81 3 3938220 3 a C= − = − 0,25 Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. 7 -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Hết . ∆ ∼ do đó 4 4 13 3 3 3 3 AE AH AH AC a a a AE DE a AC AD AD ⋅ = ⇒ = = ⇒ = + = 0,25 3 2 . . 1 1 13 26 3 2 3 2 3 3 9 BCDE D ABC E ABC ABC a a V V V DE S a ∆ ⋅ = + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 0,25 Câu V (1,0. 3 2 14 1 . 3 n n C C n + = Hết ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012 -2013 Môn: Toán; Khối:B+ D (Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang) Câu Đáp án Điểm. Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) 3 2 3 4 y x x = − − + + Tập xác định: D = ℝ + Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: 2 2 ' 3 6 , ' 0 0 x y x x y x = −  = − − = ⇔  =  Hàm số đã cho nghịch