Vai_loigiai_hay_cho_mot_bai_toan_dep-[Toanhoc-BDT].pdf

hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ Vài lời giải hay cho một bài toán đẹp I .Bài toán Đề bài: Cho ,, xyzR + Î và 1 xyz ++£ .C/m: 222 222 111 82 Axyz xyz =+++++³ (câu 5 đề thi đại học khối A năm 2003) Lý do chọn bài toán: · Có thể giải bởi hầu hết các BĐT quen thuộc tử cổ điển đến hiện đại. · Ẩn chứa nhiều điều khi tổng quát hóa. · Cần sử dụng các kĩ thuật hay như: điểm rơi, tách-nhóm-ghép-tạo, · Thể hiện rõ đặc tính của BĐT quen thuộc. Nhận xét: · Dấu bằng của BĐT xảy ra tại 1 3 xyz === · Gt là 1 xyz ++£ nên xu hướng ta sẽ dùng BĐT cộng mẫu (xem mục IV) và tạo mẫu dạng ,(1), aaa xyzxyza++< II .Các lời giải 1.AM-GM(côsi) Ta có: 2 22 82 222281281 828140 41 1111821 82 81818181.() 81 AMGM x xx xxxxx x - +=++++³= C 1 : → 222 222 4141 82814040408281404040 4141 4141 11182111829 .(). 8181 Svac Axyz xyz xyzxyz - =+++++³++³ ++ Khi này ta đã bắt gặp dạng (1) aaa xyza ++< và sẽ xử lý như sau: 4040 41 41 41 1 40 11 3 41. 33 1 41. 3 x xxxxx + ++++³®£ → 41404040 41 41 414141 111 404040 333 111 41.41.41. 333 xyz xyz +++ ++£++£ Chắc các bạn đã ra ? C 2 : → 3 222222 3 3 222222 41 8281404040 41 41 11111182111 3.()()()3 81 AMGM Axyzxyz xyzxyz xyz - =+++++³+++³ Khi này ta đã bắt gặp dạng xyz và sẽ xử lý như sau: 3 1 13 27 xyzxyzxyz ³++³®³ Chắc các bạn đã ra ? hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ Bình: Cách giải trên mang đậm tính AM-GM: hạ bậc ,điểm rơi ,tách. 2.B.C.S(Bunhiacopxki) Ta có 222 222 113193 ()(3)() 33823 BCS xx xx xxxx ++³+®+³+ → 222 222 1119333 () 82333 xyz Axyz xyzxyz =+++++³+++++ Ta sẽ chỉ cần chú ý tới: 3331111 ()3() 3333 xyz Bxyz xyzxyz =+++++=+++++ Cũng gần giống như các cách giải với AM-GM. Ta có 2 lựa chọn: a/Mẫu xyz: 3 3 111111?? ()3().33.3? 33 AMGMAMGM xyzxyz xyzxyz xyz +++++³+³+ Chắc các bạn đã ra ? b/Mẫu xyz ++ .Đến đâu tiếp tục có 2 cách b 1 / 111119?? ()3()()3? 33 AMGM xyzxyz xyzxyzxyz - +++++³+++³+ ++++ Chắc các bạn đã ra ? b 2 / 111111180111?? ()3()()()()()? 332732732727 AMGM xyz xyz xyzxyzxyzxyz - +++++=++++++++³+ ++ Chắc các bạn đã ra ? Bình: Vẻ đẹp đã phần nào lộ rõ: trái với AM-GM , BCS giúp tăng bậc 3.Mincopxki(pp tọa độ) Chọn 111 (,),(,),(,) axbycz xyz rrr .Ta có: abcabc ++³++ rrrrrr Û 22222 222 111111 ()() Axyzxyz xyzxyz =+++++³+++++ Qua việc xử lý B của mục 2 chắc chúng ta cũng đã định hướng được cho mình cách giải: 222 22 11181?? ()()()? ()() xyzxyz xyzxyzxyz +++++³+++³+ ++++ Chắc các bạn đã ra ? Nếu tinh ý hơn 1 chút thì ta còn có 2222 111111 ()()(19)9() BCS xyzxyz xyzxyz éù éù ++++++³+++++ êú ëû ëû và dạng này y như B rồi. Chắc các bạn đã ra ? Bình: Bạn có thấy tuyệt diệu ? Hãy ghi nhớ Mincop khi có 22 + 4.Holder Dạng m=n=3: Với a,b,c,x,y,z là các số thực dương: 3333333333 ()()()(axm+byn+czp) abcxyzmnp++++++³ 222222 3 222222 111111 3.()()() AMGM Axyzxyz xyzxyz - =+++++³+++ Có: hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ 222222222 3 33 222222222222222 11111111111 ()()()()()() 22222288 xyzxxzxyz xyzxxyyzzxyzxyz ổử +++=++++++++ ỗữ ỗữ ốứ = 222 3 3 222 222 3 1?? 2? 8 AMGM xyz xyz xyz - ++ Chc cỏc bn ó ra ? Bỡnh: Li gii ny cú v hi gng ộp nhng hóy c ghi nh nú. III. M rng 1.T nhng gỡ ó cú Sau khi thng thc 4 li gii trờn bn cú cm nhn gỡ ? Nu thy nú ra ra nh nhau thỡ ta hóy phõn tớch tớnh hiu qu ca cỏc cỏch gii qua m rng nho nh: ã Thay i bc: 3 đ ã Thay i tớnh ng nht 22 22 11 xx xy +đ+ Ta s cú BT sau: 222 3 33 3 222 11182 3 9 Axyz yzx =+++++ Gi ta quay li th Thay i bc Thay i tớnh ng nht AM-GM khụng sao cht ngay BCS ch bc 2,4,16, thỡ c mc bay Mincop cht luụn khụng h gỡ Holder vn hiờn ngang vn hiờn ngang **Holder nố : 222222 3 3 3 33 222222 111111 3()()() AMGM Axyzxyz yzxyzx - =++++++++ 222222222 3 33 222222222222222 11111111111 ()()()()()() 22222288 xyzxyzxyz yzxyyzzxxxyzxyz ổử +++=++++++++ ỗữ ỗữ ốứ **Bn nhỡn vo bng so sỏnh s thy nu song kim hp bớch cho AM-GM & BCS thỡ tht tuyt vi. Tớnh ng nht ó lm khú AM-GM khi x lý tng cn m õy Mincop cng pú tay trong vic hp cn. Do ú cụng vic hp cn hoc phỏ cn s cn AM-GM & BCS cựng lm.Da vo li bỡnh ta thy BCS giỳp tng bc >< AM-GM: h bc. V thc t thỡ BCS ch tng lờn bc 2,4,16 cũn AM-GM h t cao xung õu cng chi. phỏ cn ta s lờn 4 xung 3: 1.Lờn 4 2 22 4 22 2 2 2 113 ()(3) 33 13.9 ()? 3.9 313.9 (9) 39 3.9 x x yx x x y x xx x x ỡ ổử +++ ù ỗữ ốứ ổử ù đ++ ỗữ ớ ỗữ ổử ốứ ùổử +++ ỗữ ỗữ ù ỗữ ốứ ốứ ợ hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ 2.Xuống 3 4443 4 3.93.93.9823.9 ()? 9 3.93.93.93.9 xxxx xxxx æöæöæöæö ++++++³+ ç÷ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø Làm xong 2 quá trình trên là ta đã đưa được từ 2 3 2 1 x y + ra. Vấn đề cần giải quyết tại đây chỉ còn là 1111 ()3.9() 3.9 xyz xyz +++++ tôi xin dành cho bạn đọc. 2.Sử dụng hệ quả dạng trung bình nhân của AM-GM Với 123123 ,,, ,,,, 0 nn aaaabbbb > có 112233123123 ()()() () nnn nnnn ababababaaaabbbb ++++³+ Sử dụng kết quả n=3 ta có : 22 22 33 3333 2222 2 3 111811181 ()(9)(9)()() 998181 1 (9) 9 xx xx yyyy +++³+®+³+ + → 222 222 333 33 33 33 222222 2 3 1111818181 () 818181 1 (9) 9 xyz Axyz yzxxyz =+++++³+++++ + Chắc các bạn đã ra ? IV. Phụ lục Phần này sẽ trình bày cho các bạn các BĐT được nói tới trong bài viết và một vài cách chứng minh 1.AM-GM(côsi) · Cho 123 ,,, 0 n aaaa ³ có 123123 n nn aaaaaaaa ++++³ · Dấu bằng xảy ra 123 n aaaa Û==== · CM với n=3. Có 4 3333 ()()22.4.3 abcabcabcabcabcabcabcabc +++³+³®++³ →đpcm 2.B.C.S(Bunhiacopxki) · Cho 123123 ,,, ,,,, 0 nn aaaabbbb > có 2222222 12121122 ( )( )( ) nnnn aaabbbababab ++++++³+++ · Dấu bằng xảy ra 12 12 n n a aa bbb Û=== 3.Mincopxki Thực ra BĐT này có rất nhiều dạng. Ở đây tôi chỉ lấy tới căn bậc 2 để cách chứng minh dễ dàng · Cho 123123 ,,, ,,,, nn aaaabbbb có 22222222 1212123123 ( )( ) nnnn aaabbbaaaabbbb +++++++³+++++++++ · Dấu bằng xảy ra 12 12 n n a aa bbb Û=== · CM:tương tự như cách làm ở mục I hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ 4.Holder BT ny rt mnh nhng ta hóy ch quan tõm ti m=n=3 ã Vi a,b,c,x,y,z l cỏc s thc dng: 3333333333 ()()()(axm+byn+czp) abcxyzmnp++++++ ã Du bng xy ra abc xyz abc mnp ỡ == ù ù ớ ù == ù ợ ã CM: Dựng AM-GM cú: 333 333333333 333333333 3 3 ()()() axmaxm abcxyzmnp abcxyzmnp ++ ++++++ ++++++ Lm tng t cho (b,y,n) v (c,z,p) ri cng li-kh-nhõn chộo l c pcm 5.H qu dng trung bỡnh nhõn ca AM-GM ã Vi 123123 ,,, ,,,, 0 nn aaaabbbb > cú 112233123123 ()()() () nnn nnnn ababababaaaabbbb +++++ ã Du bng xy ra 12 12 n n a aa bbb === ã CM: Cú 123123 12 1122331122331122 12 112233123 1122 ()()() ()()()() () 1()()() () nnn nn AMGM nnnnnn n nn nnn nn aaaabbbbaaa ababababababababababab bbb ababababaaaab ababab - +Ê+++ +++++++++++ +++=+++++ +++ 123 n n bbbdpcm đ 6. BT cng mu õy ch l cỏch gi quen thuc ca tụi cho BT S-vac: ã Cho 123 ,,, n aaaa v 123 ,,, 0 n bbbb > cú 22 22 1212 1212 ( ) nn nn aaaa aa bbbbbb +++ +++ +++ ã Du bng xy ra 12 12 n n a aa bbb === ã CM: Dựng BCS cú 222 2222 12 1212 12 ()() () ( ) n nn n aaa bbbaaadpcm bbb ộự ộự +++++++++đ ờỳ ờỳ ởỷ ờỳ ởỷ ã H qu: 2 1212 111 nn n xxxxxx +++ +++ vi x i >0 V. Kt thỳc tng hp li bi vit tụi mun a ra 1 vi li khuyờn khi hc toỏn: ã Hóy nhỡn bi toỏn di nhiu gúc ã Hóy phõn tớch v ỏnh giỏ sc mnh ca tng cỏch gii ã Phi tng quỏt húa hay m rng hiu sõu hn . m rng nho nh: ã Thay i bc: 3 đ ã Thay i tớnh ng nht 22 22 11 xx xy +đ+ Ta s cú BT sau: 222 3 33 3 222 11182 3 9 Axyz yzx =+++++ Gi ta quay li th Thay i bc Thay i tớnh ng nht AM-GM. hieuvghy@gmail.com http://mathisthinking.tk/ Vài lời giải hay cho một bài toán đẹp I .Bài toán Đề bài: Cho ,, xyzR + Î và 1 xyz ++£ .C/m: 222 222 111 82 Axyz xyz =+++++³ . bạn đã ra ? IV. Phụ lục Phần này sẽ trình bày cho các bạn các BĐT được nói tới trong bài viết và một vài cách chứng minh 1.AM-GM(côsi) · Cho 123 ,,, 0 n aaaa ³ có 123123 n nn aaaaaaaa ++++³