Đề thi Môn Giải tích 2005-2007 (ĐH Huế)

bộ giáo dục và đào tạo đại học huế Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. a. Cho dãy số thực (a n ) n mà chuỗi n=1 a 2 n hội tụ. Chứng minh các chuỗi sau đây cũng hội tụ: n=1 a n n 3/4 ; n=1 a n + 1 n 2 . b. Chứng minh rằng nếu hàm f(x, y) liên tục theo từng biến x, y và đơn điệu theo biến y thì sẽ liên tục theo hai biến. Câu II. Cho (X, F, à) là không gian độ đo, f là hàm đo đợc và g là hàm khả tích trên A F. Chứng minh rằng với , là hai số thực cho trớc, nếu f hầu khắp A, thì có một số thực [, ] sao cho a f|g|dà = A |g|dà Câu III. Cho (X, d) là không gian metric. a. Giả sử K 1 , K 2 là các tập con compact của X. Chứng minh rằng tồn tại x 1 K 1 , x 2 K 2 sao cho d(x 1 , x 2 ) = d(K 1 , K 2 ), với d(K 1 , K 2 ) := inf{d(x, y)/x K 1 , y K 2 }. b. Giả sử K là tập compact, F là tập đóng trong X sao cho K F = . Chứng minh rằng d(K, F) > 0. Kết quả còn đúng không nếu thay K bằng tập đóng ? c. Giả sử K là tập compact và F là tập đóng của X = R k . Chứng minh rằng tồn tại x K, y F sao cho d(x, y) = d(K, F). Câu IV. Giả sử L và M là hai không gian con tuyến tính đóng của không gian Banach X. Chứng minh rằng nếu mỗi phần tử x X đều đợc biểu diễn một cách duy nhất dới dạng: x = y + z, x L, z M thì tồn tại số K sao cho: y + z Kx, x X. Câu V. Giả sử {e n } là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert H, { n } là một dãy số bị chặn. Chứng minh rằng: a. Chuỗi n=1 n x, e n e n hội tụ với mọi x H. b. Toán tử Ax = n=1 n x, e n e n , x H là toán tử tuyến tính liên tục và tính A. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh : Đại Học Huế Số báo danh: Tr-ờng Đại học S- phạm kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Xét chuỗi hàm n=1 u n với u n (x)= x 2 n 1 x 2 n+1 , |x| < 1. a) Với mỗi a :0<a<1, chứng minh |u n (x)| a n 1 a x [a, a]. Từ đó suy ra n=1 u n hội tụ đều trên [a, a]. b) Tính tổng S của chuỗi hàm n=1 u n trên (1, 1). Câu 2. Cho hàm hai biến: f(x, y)= 1 nếu y<x 2 0 nếu y = x 2 1 nếu y>x 2 Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D =[1, 2] ì [0, 5] và tính D f(x, y)dxdy. Câu 3. Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x 0 X và x 0 / A. Đặt d(x 0 ,A) = inf aA d(x 0 ,a). a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x 0 ,A) > 0. b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y 0 A sao cho d(x 0 ,A)=d(x 0 ,y 0 ). c) Giả sử X = R n với mêtric Euclide thông th-ờng và A R n là tập đóng. Chứng minh tồn tại y 0 A sao cho d(x 0 ,A)=d(x 0 ,y 0 ). Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x n ) C[0, 1] với x n (t)= 2nt n 4 + t 2 , t [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi: Ax(t)= t 0 x(s)ds, với x C[0, 1],t [0, 1]. a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục. b) Chứng minh (Ax n ) hội tụ về 0 trong C[0, 1]. Câu 5. Giả sử {e n } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach. Giả sử A L(H, X ) sao cho chuỗi n=1 Ae n 2 hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.comTran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.comTran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com bộ giáo dục và đào tạo đại học huế Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. a. Chứng minh : n=1 1 (n + 1) n < 2. b. Tìm miền hội tụ và xét sự hội tụ đều trên miền đó của chuỗi n=0 x(1 x) n . Câu II. a. Xét dãy hàm số (f n ) nN xác định bởi f n (x) = e (xn) 2 , x R. Chứng minh rằng dãy hàm (f n ) n hội tụ điểm khắp nơi (trên R) nhng không hội tụ theo độ đo Lebesgue trên R. b. Cho không gian độ đo (X, A, à). Giả sử f : X R sao cho cả f và f 2 đều khả tích trên X. Chứng tỏ rằng nếu 1 p 2 thì |f| p khả tích trên X. Câu III. ChoX là một không gian Banach và F là một tập con đóng của X có tính chất sau: với mọi x X đều tồn tại một số > 0 (phụ thuộc vào x) sao cho x F, [0, ]. Chứng minh rằng F phải chứa một hình cầu mở B(x 0 , r) nào đó. Câu IV. Chứng minh rằng: f(x) = 0 1 x(t)dt 1 0 x(t)dt, x C [1,1] là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C [1,1] với chuẩn "max". Tính f. Câu V. a. Giả sử H là không gian Hilbert, A : H H là một toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện: Ax, y = x, Ay, x, y H. Chứng minh rằng A liên tục. b. Khi H là một không gian Hilbert phức, A L(H) và Ax, x = 0, x H. Chứng minh rằng A = 0. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com D - ˆ E ` THI TUY ˆ E ’ N SINH SAU D - A . IHO . C Chuyˆen ng`anh TO ´ AN, Mˆon thi : GIA ’ IT ´ ICH Th`o . i gian l`am b`ai: 180 ph´ut Cˆau I. Cho ha`m hai biˆe ´ nsˆo ´ f xa´c d¯i . nh trˆen R 2 nhu . sau: f(x, y)=  xy √ x 2 +y 2 nˆe ´ u x 2 + y 2 =0 0nˆe ´ u x 2 + y 2 =0 1. Kha ’ o sa´t tı´nh kha ’ vi cu ’ a ha`m sˆo ´ trˆen ta . id¯iˆe ’ m(0, 0). 2. Ch ´u . ng minh r˘a ` ng ca´c d¯a . o ha`m riˆeng cu ’ a ha`m sˆo ´ f tˆo ` nta . iva`bi . ch˘a . n trˆen R 2 nhu . ng khˆong liˆen tu . cta . id¯iˆe ’ m(0, 0). Cˆau II. Cho A, B l`a c´ac tˆa . p con d¯´ong cu ’ a khˆong gian mˆetric X thoa ’ m˜an A ∩B = ∅. V´o . imˆo ˜ i x ∈ X ta d¯˘a . t ϕ(x)= d(x, A) d(x, A)+d(x, B) 1. Ch´u . ng minh ϕ l`a mˆo . t ´anh xa . liˆen tu . ct`u . X → R thoa ’ m˜an d¯iˆe ` ukiˆe . n ϕ(x) ∈ [0, 1] v´o . imo . i x ∈ X. 2. D - ˘a . t G 1 = ϕ −1 (−∞, 1 2 ),G 2 = ϕ −1 ( 1 2 , +∞). Ch´u . ng minh G 1 ,G 2 l`a hai tˆa . pmo . ’ thoa ’ m˜an A ⊂ G 1 ,B⊂ G 2 v`a G 1 ∩ G 2 = ∅. Cˆau III. K´yhiˆe . u X = C 1 0 [0, 1] l`a khˆong gian vecto . gˆo ` m c´ac h`am sˆo ´ x(t) kha ’ vi liˆen tu . co . ’ trˆen [0, 1] thoa ’ d¯ i ˆe ` ukiˆe . n x(0) = 0. V´o . imˆo ˜ i x ∈ X ta d¯˘a . t x = max t∈[0,1] |x  (t)| Kiˆe ’ m tra r˘a ` ng ·l`a mˆo . tchuˆa ’ n trˆen X v`a ch´u . ng minh (X, ·) l`a mˆo . t khˆong gian Banach. Cˆau IV. Cho {e 1 ,e 2 , ,e n } l`a hˆe . c´ac vecto . d¯ ˆo . clˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh trong khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n X. 1. Ch ´u . ng minh r˘a ` ng tˆo ` nta . i c´ac phiˆe ´ m h`am f i ∈ X ∗ ,i=1, ,n sao cho f i (e j )=δ ij , o . ’ d¯ˆay δ ij l`a k´y hiˆe . u Kronecker. 2. K´yhiˆe . u M = {e 1 ,e 2 , ,e n } v`a d¯˘a . t A : X → X, Ax = n  i=1 f i (x)e i v´o . i c´ac f i d¯ u . o . . c x´ac d¯i . nh bo . ’ i cˆau 1. Ch´u . ng minh A l`a mˆo . t ´anh xa . tuyˆe ´ n t´ınh liˆen tu . cv`a X = M ⊕ Ker A. 3. Cho Y c˜ung l`a mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ nv`a(A α ) α∈I l`a mˆo . tho . c´ac ´anh xa . tuyˆe ´ n t´ınh liˆen tu . ct`u . X v`ao Y. D - ˘a . t Q = {x ∈ X | sup α∈I A α x≤1} v`a gia ’ su . ’ intQ = ∅. Ch´u . ng minh r˘a ` ng sup α∈I A α  < +∞. T b A S-T X Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.comTran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com bộ giáo dục và đào tạo đại học huế Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. a. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm : n=1 1 n ln n x . b. Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm n=1 1 (x + n)(x + n + 1) trên miền (0; +). c. Tính tích phân: D (x 2 + y 2 )dxdy trong đó: D = {(x; y) R 2 /2ax x 2 + y 2 2bx}, 0 < a < b. Câu II. Cho X là tập gồm tất cả các tập con compact khác của R. a. Với mọi x R, đặt d(x, A) = inf{|x y| : y A}. Chứng minh rằng, với mọi x R, A X, tồn tại x 0 A sao cho |x x 0 | = d(x, A). b. Gọi d : X ì X R là ánh xạ đợc xác định nh sau: d(A, B) := inf{ : A B , B A }, trong đó, A = {x R : d(x, A) }. Chứng minh rằng d là một metric trên X. Câu III. Ký hiệu X = C [0,2] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0, 2] với chuẩn: x = max{|x(t)| : t [0, 2]} và không gian con Y = x X : x(0) = 0 của X. Cho ánh xạ A : X Y, x Ax xác định bởi: Ax(t) = t 0 x(s)ds; t [0, 2] a. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . b. Tính A. ánh xạ A có phải là một toàn ánh không ? Câu IV. Cho không gian Hilbert phức H và tập hợp { n |n N} H thỏa mãn n = 1 với mọi n N và sao cho với mọi f H, ta có: f 2 = n=1 |f, n | 2 . Chứng minh rằng: a. { n |n N} là một cơ sở trực chuẩn của H. b. Dãy ( n ) nN hội tụ yếu đến 0. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com BO GIAO DAI VA DAO TAO HUE Ho vd, ten thi sinh: 56 b6o danh: DVC HQC KV Sv THI TUYEN SrNH SAU DAr HOC NAM 2AO7 M6n thi: Giai tich (dd,nh cho Cao hp r) Thdi gi,an ld,m bd,i,; 180 phirt CAu I. 1. Cho hdm hai bi6n f (r,a) KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm / 1x ', A2f lr6n hsp d;N(O,0) khong tbn n6u (*,y) + (0,0), n6u (*,a) - (0,0). Chirng minh rHng dao hA"m riOng cia R. hoi tu vb 0 -I -I 2ra ,2 + a'' 0, tai didm (0,0) tai (huu hat) 2 F_{i 1I I P' ^ tz'J')4)s)" Cdu III. Kj' liiOu X : co z. KhAo s6,t su hoi tu dbu cria chu6i hd,m f ," .i" ,,fu tr6n c6,c tAp sau: fl':L ,) A: lp,+-), p ) 0i ii) B - (0, +oo). Cdu II. Trong khong gian metric IR. v6i khoAng c6ch thong thulng, chitng minh rXng, 1. E - {t,2, 1, 1, 1, . !.u-L^'-,2,3)4) 1n' ).*^^^Y""7 . , 1, . . . . ) U.Ong phai th, mot t6,p con compact ) th, khong gian dinh chudn gbm c6c day s6 thuc llrll - sup lrnl,, Yr - (r.)n e co chudn Euclide rL llsll - WiZ, va - (ar,. . .,un) eY. V6i m6i s6 tu nhien k ta x6t 5nh x? An : X * Y x6"c dinh bdi Anr - ("n+r, fr1xa2t'' ) rk+n), Yr : (rt)zeN € X. 1. Chirng minh Ap lit" c6,c 6nh xa tuy6n tinh lien tuc tri X vh,o Y. 2. Chirng td rXng J* Ann - 0 € R.' v6i moi z e X. CAu IV. Tren khong gian Hilbert phitc 12 vsi tich vo hu6ng / \ S @,il :2*^y,, *ong d6 ,: (r,-)n e {2, U : (Un)- e 12. '"_ : Cho o - (a), ie mQt duy c5,c s6 phric bi ch5,n vA, ,4. : 12 - t2 Ib" mot to5,n trl ducvc x6c dinh bdi Ar - (onrn)n, Yr e !2. 1. Chirng minh rXng ,4 th mQt to6n trl tuy6n tinh lien tuc vd, tinh chudn c:d:a A. 2. Tim to6n trl liOn hiep A* cia A. Khi nb,o thi A ld mQt to6n tr] tu lien hiep? v6i chudn vb,Y-lR'v6i Ghi chri z Cd,n bo coi, thi, khong gi,d,i, thi,ch gi, th€m Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com Bˆo . Gi´ao du . cv`aD - `ao ta . oK ` Y THI TUY ˆ E ’ N SINH SAU D - A . IHO . CN ˘ AM D - a . iho . cHuˆe ´ D - ˆe ` thi tuyˆe ’ n sinh Cao ho . c Mˆon thi : Gia ’ it´ıch Th`o . i gian l`am b`ai: 180 ph´ut. Cˆau 1. 1. Cho (x n ) n l`a mˆo . t d˜ay t˘ang, bi . ch˘a . n trˆen v`a x n > 0v´o . imo . i n ∈ N. Ch´u . ng minh chuˆo ˜ isˆo ´ sau d¯ˆay hˆo . itu . : ∞  n=1  1 − x n x n+1  2. T`ım miˆe ` nhˆo . itu . v`a t´ınh tˆo ’ ng cu ’ a chuˆo ˜ i h`am ( biˆe ’ udiˆe ˜ nb˘a ` ng h`am sˆo ´ so . cˆa ´ p) cu ’ a chuˆo ˜ i lu˜y th`u . a: ∞  n=1 x 2n 2n − 1 . Cˆau 2. Cho (X, d X ), (Y,d Y ) l`a hai khˆong gian mˆetric trong d¯´o X l`a compact. K´y hiˆe . u C(X, Y ) l`a tˆa . pho . . p c´ac ´anh xa . liˆen tu . ct`u . X v`ao Y . Gia ’ su . ’ f, g ∈C(X, Y ). 1. D - ˘a . t ϕ(x)=d Y (f(x),g(x)). Ch´u . ng minh ϕ(x) l`a mˆo . t h`am sˆo ´ liˆen tu . ctrˆen X. 2. V´o . i f, g ∈C(X, Y ) ta d¯˘a . t d(f,g) = max x∈X ϕ(x). Ch´u . ng minh d l`a mˆo . t mˆetric trˆen C(X, Y ). 3. Gia ’ su . ’ Y l`a mˆo . t khˆong gian d¯ˆa ` yd¯u ’ .Ch´u . ng minh C( X, Y )c˜ung l`a mˆo . t khˆong gian d¯ˆa ` yd¯u ’ . Cˆau 3. Cho X l`a mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n thu . . c. 1. Gia ’ su . ’ x 1 ,x 2 , ,x n l`a c´ac vecto . d¯ ˆo . clˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh trong X. Ch´u . ng minh r˘a ` ng tˆo ` nta . i c´ac phiˆe ´ m h`am tuyˆe ´ n t´ınh liˆen tu . c x ∗ 1 , ,x ∗ n ∈ X ∗ sao cho x ∗ i (x j )=  1, nˆe ´ u i = j 0, nˆe ´ u i = j 2. Cho M l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ a X v`a x 0 ∈ X. K´yhiˆe . u Y = M l`a khˆong gian con cu ’ a X sinh bo . ’ i M. Ch´u . ng minh r˘a ` ng x 0 ∈ Y khi v`a chı ’ khi v´o . imo . i x ∗ ∈ X ∗ thoa ’ d¯ i ˆe ` u kiˆe . n x ∗ (M)={0} th`ı x ∗ (x 0 )=0. Cˆau 4. Cho {e n ,n∈ N} l`a mˆo . thˆe . tru . . c chuˆa ’ n trong khˆong gian Hilbert H v`a (λ n ) n l`a mˆo . t d˜ay sˆo ´ bi . ch˘a . n. Ch´u . ng minh 1. V´o . imo . i x ∈ H, chuˆo ˜ i ∞  n=1 λ n x, e n e n hˆo . itu . trong H. 2. D - ˘a . t Ax = ∞  n=1 λ n x, e n e n v´o . imo . i x ∈ H. Ch´u . ng minh A l`a to´an tu . ’ tuyˆe ´ n t´ınh liˆen tu . ctrˆen H. T´ınh A. Cˆau 5. Cho X l`a mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ nv`aM l`a mˆo . ttˆa . p con cu ’ a X. Gia ’ su . ’ v´o . imo . i f ∈ X ∗ ta c´o sup x∈M |f(x)| < +∞. Ch´u . ng minh r˘a ` ng M l`a mˆo . ttˆa . pbi . ch˘a . n trong X. Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com Bˆo . Gi´ao du . cv`aD - `ao ta . oK ` Y THI TUY ˆ E ’ N SINH SAU D - A . IHO . CN ˘ AM D - a . iho . cHuˆe ´ D - ˆe ` thi tuyˆe ’ n sinh Cao ho . c Mˆon thi : Gia ’ it´ıch Th`o . i gian l`am b`ai: 180 ph´ut. Cˆau 1. 1. Kha ’ o s´at su . . hˆo . itu . cu ’ a chuˆo ˜ isˆo ´ sau d¯ˆay: ∞  n=1 ln(1 + n) n α ,α>1. 2. Kha ’ o s´at su . . hˆo . itu . d¯ ˆe ` ucu ’ a chuˆo ˜ i h`am: ∞  n=1 2 n sin 1 3 n x ,x>0. Cˆau 2. K´yhiˆe . u N = {1, 2, 3, ,} l`a tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen tu . . nhiˆen. D - ˘a . t d(m, n)=  0nˆe ´ u m = n 1+ 1 m + n nˆe ´ u m = n. 1. Ch´u . ng minh d l`a mˆo . t mˆetric trˆen tˆa . p N v`a (N,d) l`a mˆo . t khˆong gian mˆetric d¯ ˆa ` yd¯u ’ . 2. K´yhiˆe . u B  n l`a c´ac h`ınh cˆa ` u d¯´ong c´o tˆam l`a n v`a b´an k´ınh l`a 1 + 1 2n trong N. Ch´u . ng to ’ r˘a ` ng ∞  n=1 B  n = ∅. Cˆau 3. K´yhiˆe . u X = C [0,1] l`a khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n c´ac h`am sˆo ´ liˆen tu . c trˆen [0, 1] v´o . i chuˆa ’ n “max”. D - ˘a . t M = {x ∈ C [0,1] : x(0) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}. 1. Ch ´u . ng minh r˘a ` ng M l`a mˆo . ttˆa . p d¯´ong v`a bi . ch˘a . n trong C [0,1] . 2. X´et h`am sˆo ´ f : C [0,1] → R x´ac d¯i . nh b o . ’ i cˆong th´u . c f(x)=  1 0 x 2 (t)dt. Ch´u . ng minh r˘a ` ng f liˆen tu . c trˆen tˆa . p M nhu . ng f khˆong d¯a . td¯u . o . . c gi´a tri . nho ’ nhˆa ´ ttrˆen M. Tˆa . p M c´o pha ’ i l`a tˆa . p compact khˆong? Cˆau 4. Cho H l`a mˆo . t khˆong gian Hilbert v`a M l`a mˆo . ttˆa . p con lˆo ` i, d¯´ong v`a kh´ac trˆo ´ ng trong H v`a x 0 ∈ H. Ch ´u . ng minh r˘a ` ng tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ tmˆo . t phˆa ` ntu . ’ y ∈ M sao cho x 0 − y = inf u∈M {x 0 − u}. Cˆau 5. Cho X l`a mˆo . t khˆong gian d¯i . nh chuˆa ’ n thu . . cv`af : X → R l`a mˆo . t phiˆe ´ m h`am tuyˆe ´ n t´ınh. Ch´u . ng minh r˘a ` ng f ∈ X ∗ khi v`a chı ’ khi tˆa . p M = {x ∈ X : f(x) ≥ 1} l`a mˆo . ttˆa . p d¯´ong trong X. Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com bộ giáo dục và đào tạo đại học huế Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi: đại số (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. Cho G = a là một nhóm xiclic cấp n sinh bởi phần tử a và b = a k . Ký hiệu d là ớc chung lớn nhất của n và k. Chứng minh rằng: a. Cấp của b bằng n d và G = b khi và chỉ khi d = 1. Suy ra các phần tử sinh của G. b. Nếu q là ớc của n thì trong G tồn tại một nhóm con cấp q và nhóm con này là xiclic. Câu II. a. Cho Z là vành số nguyên và R là vành tùy ý với phần tử đơn vị e. Chứng minh rằng ánh xạ : Z R m m.e là một đồng cấu vành. Xác định ảnh Im của đồng cấu . b. Tìm ví dụ về một vành R có đơn vị e = 0 sao cho tồn tại phần tử x R thỏa điều kiện Rx xR và Rx = xR. Câu III. Cho K là một trờng và cho hai hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất theo n biến x 1 , x 2 , . . . , x n : AX = 0 (1) BX = 0 (2) với X = x 1 . . . x n , và A = (a ij ), B = (b ij ) là các ma trận m hàng, n cột có số hạng trong K. Chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1) và nghiệm của hệ (2) là trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại ma trận không suy biến C M mìn (K) sao cho A = CB. Câu IV. Với mỗi ma trận A, ta định nghĩa hạng của A là số các cột độc lập tuyến tính của A, ký hiệu r A . Chứng minh rằng: a. Nếu f : V W là một ánh xạ tuyến tính của các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trờng K có ma trân đối với cặp cơ sở của V và W là A thì r A =dim(Imf). b. Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp và C = A + B thì r C r A + r B . Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com bộ giáo dục và đào tạo đại học huế Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 Môn thi: đại số (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. 1. Cho G là một nhóm hữu hạn. Một phần tử x G đợc gọi là không sinh nếu tính chất sau đợc thỏa mãn: với mọi tập con S của G, đẳng thức G = S, x kéo theo G = S. Một nhóm con thực sự K của G đợc gọi là cực đại nếu không tồn tại nhóm con L nào của G chứa K sao cho L = K, L = G. Đặt: (G) = {x G|x là không sinh} M = {K G|K là nhóm con cực đại của G} Chứng tỏ rằng (G) = KM K. Suy ra (G) là một nhóm con của G. 2. Chứng minh rằng nếu G là nhóm chỉ có 2 nhóm con tầm thờng là {e} và G thì G là xiclic hữu hạn cấp nguyên tố. Câu II. Cho R là một vành có nhiều hơn một phần tử. Chứng minh các khẳng định sau: 1. Nếu R hữu hạn có đơn vị thì mọi phần tử của R không phải là ớc của 0 đều khả nghịch. 2. Nếu với mọi a R, a = 0, tồn tại duy nhất b R (phụ thuộc a) thỏa aba = a thì R là một thể. Câu III. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n trên trờng số thực R có dạng: 1 1 0 . . . 0 2 0 1 . . . 0 . . . . . . . n1 0 0 . . . 1 n 0 0 . . . 0 1. Hãy chỉ ra một vectơ x R n sao cho các vectơ x, Ax, A 2 x, A n1 x độc lập tuyến tính. 2. Chứng minh rằng nếu ma trận A chéo hóa thành ma trận có 1 , 2 , . . . , n trên đờng chéo chính thì tất cả các số 1 , 2 , . . . , n đều khác nhau từng đôi một. Câu IV. Gọi V n+1 là không gian vectơ các đa thức hệ số phức, bậc bé hơn hoặc bằng n. Xét ánh xạ : V n+1 V n+1 xác định bởi: [(g)](x) = g(x + 1) g(x), g V n+1 . Chứng tỏ: 1. Hệ u 0 = 1, u 1 (x) = x, u 2 (x) = x(x 1), . . . , u n (x) = x(x 1) . . . (x n + 1) là một cơ sở của không gian vectơ V n+1 . 2. ánh xạ là một tự đồng cấu tuyến tính. Xác định Im() và Ker(). Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com [...]... thuc CAu 4 Chtnrg minh rang ndu da thrlc 13+ arz + br * c c6 3 nghiOmthuc, phAnbiet thi da thrlc 13+ ar2 + i@' + b)r + # phAn bigt cflng c6 3 nghigm th1rc, Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com bộ giáo dục và đào tạo đại học huế Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 Môn thi: đại số (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I 1 Cho x1 , x2 , ,... iđêan tối đại của vành R thì mọi phần tử khác không của R/I đều khả nghịch 2 Chứng minh rằng tập hợp các số hữu tỷ dạng thành một miền nguyên chính m với mẫu số là một số nguyên lẻ tạo n Tran Mau Quy - http://quyndc.blogspot.com e0 ctao DIJcvA DAoT4.o Hg ud,tn tht s'inh: danh: Sd bd"o f DAI HQC HUE KV rHr ruYiN srNH sAU D+r HQC NAnn 2oo7 M6n thi: D'F:'I56 (dd,nh cho Cao hpr) 180 phft g'ianlam bd,i,:... m6t kh6ng gian (vectcr)Euclid CAU III Kf hiOu G lb nh6m nhan c6,cma trq,n vu6ng cdp n khA nghich tr6n trubng s6 thuc Goi /J th,tap con cta G chfra cd,cma trAn c6 dinh thitc bXng t hay -1 Goi /( Ii, t6,p con cta G gbm c6c ma trA,n c6 dinh thitc ducrng Chirng minh rXng' 1 H vit"/{ Ie c6c nh6m con chudn tic ctja G; 2 nh6m thucrng G I H dXng cdu vdi nh6m nh6,n cdc s6 thuc ducrng; 3 nh5m thucrng GIK d8ng...e0 ctRo DUcvA DAorAo { Tran Mau Quy - HUE DAI HOC http://quyndc.blogspot.com Hq vd tn thf sinh Sd bdo danh KV rHr ruydN srNHsAUDAr Hoc NAM 2006 Mdn thi: Dai sd (ddnh cho: Cao hgc) Thdi gian ldm bdi: 180phut Cflu 1 a Cho n1,r2, ,r, id cr{cvectokhr{ckhOngctia m6t khOnggian vecto,cbn A le mQt ph6p bidn ddi tuydn tinh cfia khOnggian vectd d6 sao cho A... cho = Chứng minh rằng và có chung một vectơ riêng 2 Cho E là một không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều và (v1 , v2 , , vn ) là một hệ trực chuẩn trong E Chứng minh rằng nếu với mọi v E ta đều có: n 2 |v| = v, vi 2 i=1 thì (v1 , v2 , , vn ) là một cơ sở của E Câu III Cho G là một nhóm nhân hữu hạn sao cho G có một tự đẳng cấu thỏa (a) = a, a = 1G Chứng minh rằng: 1 Với mọi G tồn tại... vhnh mot vh,nhv6i 2 Chring minh rXng mQt vh,nh (R, +, ) bdt kj, c6 dcvnvi 1 cfrng cbn 14, hai ph6p toSn a @ b - a - l b - l , v b a * b : a * b - a b , Y a , b R th,fuhgi tlt'm Ghi chri: Cd,n b6 coi ,thi, klt}ng gi,d,i, . Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. a. Chứng minh : n=1 1 (n + 1) n < 2. b. Tìm miền hội tụ và xét sự hội tụ đều. Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. a. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm : n=1 1 n ln n x . b. Khảo sát sự hội tụ đều. giáo dục và đào tạo đại học huế Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Kỳ thi tuyển sinh sau đại học năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180phút Câu I. a. Cho dãy số