SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 04/7/2011 Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,5 điểm) Cho biểu thức ( ) + − − − + = − + ⋅ − − + 2 3 3 a x a x a a x x 7 5 2 7 5 2 A : a x 8 8 a x a a x x 1) Rút gọn A. 2) Trong trường hợp A có nghĩa hãy so sánh (có giải thích) A với A 2011 . Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 4 2 2 x x 4y 8y y 1 5x+6 2y 7 7. + = + + + = Câu 3. (2,5 điểm) Cho các số a = 111 11 (gồm 2012 chữ số 1), b = 1000 005 (trong đó có 2011 chữ số 0) và T ab 1 = + . Chứng minh rằng T là số nguyên. Hãy tìm số dư trong phép chia T cho 7. Câu 4. (6,0 điểm) Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn C. Lấy điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ AB . Gọi H, K, I lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống AB, Ax và By. 1) Chứng minh rằng MH 2 = MK⋅MI. 2) Giả sử AM cắt KH tại E, BM cắt HI tại F. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI. 3) Gọi D là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác MEK và MFI. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (2,0 điểm) Cho hai đa thức 4 3 2 4 3 2 P(x) x ax bx cx 1; Q(x) x cx bx ax 1 = + + + + = + + + + với a ≠ c. Biết rằng các phương trình P(x) = 0 và Q(x) = 0 có hai nghiệm chung. Hãy tìm tất cả các nghiệm của hai phương trình đó. Câu 6. (2,0 điểm) Cho các số thực a 1 , a 2 , , a 2011 cùng thuộc đoạn [1 ; 3] và thỏa mãn 3 3 3 1 2 2011 S a a a 12307 = + + + = ⋯ . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 2011 P a a a a . = + + + + ⋯ Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! H ọ và tên thí sinh Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) www.MATHVN.com 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGÀY THI 04/7/2011 MÔN THI: TOÁN Bản hướng dẫn chấm có 03 (ba) trang Câu Hướng dẫn chấm Điểm • Điều kiện x ≥ 0, a ≥ 0, x ≠ a. (*) 0,25 đ • Với điều kiện (*), đặt A = P:Q. Rút gọn ax P a- ax x = ⋅ + 1,25 đ Câu 1. Phần 1. 2, 50 điểm • Rút gọn Q = 1. Kết luận ax A a- ax x = + với điều kiện (*). 1,00 đ www.MATHVN.com • Từ điều kiện để A có nghĩa suy ra ax ≥ 0, x ≠ a. 0,25 đ • Xét ax = 0, x ≠ a x 0,a 0 a 0,x 0 = > ⇔ = > thì A = 0 ⇒ A 2011 = A. 0,25 đ • Xét ax > 0, x ≠ a. Chứng minh được A > 0. 0,50 đ • Chứng minh được A < 1. Từ 0 < A < 1 suy ra A 2011 < A. 0,75 đ Câu 1. Phần 2. 2, 00 điểm • Kết luận 2011 2011 A A khi a 0,x 0 x 0,a 0 A A khi a 0, x 0,x a. = = > ∨ = > < > > ≠ 0,25 đ www.MATHVN.com • Điều kiện 6 x 5 ≥ − (**). Gọi phương trình (p/t) thứ nhất là (1), p/t thứ hai là (2). 0,25 đ • Biến đổi ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 x 2y 0 (1) x 2y x y y 3y 4 0 0. − = ⇔ − + + + = ⇔ = ⋯ 0,75 đ • Xét x = 2y 2 . Thay vào (2) được 5x+6 x 7 7 + + = . (3) 0,25 đ • Giải (3) được x = 2 (thỏa mãn điều kiện (**)), suy ra y = ±1. 1,00 đ Câu 2. 3, 00 điểm • Xét ( ) ( ) 2 2 2 2 x y y 3y 4 0 + + + = được x = y = 0 không thỏa mãn (2). 0,50 đ • Kết luận nghiệm (x;y) = (2;1) ; (x;y) = (2;-1). 0,25 đ www.MATHVN.com • Đặt n = 2012, ta có ( ) ( ) 2 2 n n n n 2012 n 10 1 10 5 9 10 1 10 2 10 2 a ,b 10 5 ab 1 9 9 3 3 − + + − + + = = + ⇒ + = = = ⋅ 1,00đ • Suy ra 2012 10 2 T 333 34 3 + = = (trong đó có 2011 chữ số 3) suy ra T∈ Z. (⊠) 0,50 đ • Có 10 6 chia cho 21 dư 1 ⇒ 10 2012 = (10 6 ) 335 ⋅100 chia cho 21 dư 16. 0,50 đ Câu 3. 2,50 điểm • Vậy 21m 16 2 T 7m 6 3 + + = = + với m ∈ Z, suy ra T chia cho 7 dư 6. 0,50 đ www.MATHVN.com ĐỀ CHÍNH THỨC 2 Câu 4. Hình vẽ y x Q C M D F E I K H R O B A 0,50đ • Hai tam giác MHA và MIB đồng dạng (g ; g), suy ra = ⋅ MH MA MI MB 0,75 đ Câu 4. Phần 1 1.,50 điểm • Tương tự, = ⇒ = ⇒ = ⋅ 2 MK MA MH MK MH MI MK MH MB MI MH . (⊠) 0,75 đ www.MATHVN.com • T/giác MHBI nội tiếp ⇒∠MBI=∠MHI. Mà ∠MBI=∠BAM ⇒ ∠BAM=∠MHI. 0,50 đ • Tương tự, ∠KHM =∠ABM⇒∠EHF + ∠EMF = 180 0 ⇒ T/giác MEHF nội tiếp. 0,50 đ • Suy ra ∠EHM = ∠EFM. Mà ∠EHM =∠HBM=∠HIM⇒∠EFM=∠FIM. Từ đó suy ra EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ MFI. 0,50 đ Câu 4. Phần 2. 2.,00 điểm • Tương tự cũng có EF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ MEK. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nói trên. (⊠) 0,50 đ www.MATHVN.com • ∠MFE =∠MHE =∠MBH ⇒ ∠MFE =∠MBH ⇒ EF//AB. 0,50 đ • Gọi (DM) cắt EF tại C, cắt AB tại Q. Ta có = ⋅ ⇒ = = ⋅ 2 2 CE CM CD CE CF CF CM CD . 0,50 đ • Mà = = ⇒ = CE CF MC cïng QA QB QA QB MQ . 0,50 đ Câu 4. Phần 3. 2,00 điểm • Vậy Q là trung điểm của đoạn AB cố định nên Q là điểm cố định. (⊠) 0,50 đ www.MATHVN.com u 5. 2,0 0 đi ể • Các nghiệm chung là nghiệm của phương trình P(x) - Q(x) = (a-c)x(x 2 - 1) = 0. 0,25 đ 3 • Tìm được nghiệm chung là x = 1 hoặc x = -1. 0,25 đ • Tìm được điều kiện cần b = −2, c = − a, a ≠ 0. 0,50 đ • Tìm được tập nghiệm của P(x) = 0 là 2 2 P a a 4 a a 4 T 1; 1; ; 2 2 − − + − + + = − ⋅ 0,50 đ • Tìm được tập nghiệm của Q(x) = 0 là 2 2 Q a a 4 a a 4 T 1; 1; ; 2 2 − + + + = − ⋅ 0,50 đ www.MATHVN.com • Từ giả thiết có a j + 4 > 0, (a j −1)(a j − 3) ≤ 0 ⇒ ( ) 3 j j 1 a a 12 , j 1;2; ;2011. 13 ≥ + ∀ = 0,50 đ • Cộng các vế của 2011 bất đẳng thức trên suy ra được P ≥ 2803. 0,50 đ • Dấu "=" xảy ra ⇔ a j ∈ {1 ; 3}. Giả sử có m số bằng 3, 2011- m số bằng 1. 0,50 đ Câu 6. 2,00 điểm • Tìm được 396 số a j bằng 3 và 1615 số a j bằng 1. Kết luận min P = 2803. 0,50 đ Điểm toàn bài: 20.00 điểm Các lưu ý khi chấm bài: 1) Các cách làm bài khác với hướng dẫn chấm này nếu đúng phải cho điểm tối đa. 2) Các bước giải phải được lập luận chi tiết, đầy đủ và chính xác. Nếu thiếu lập luận hoặc lập luận chưa chính xác thì phải trừ điểm thích hợp. 3) Trong một phần nhỏ, nếu thí sinh bỏ hoặc làm sai một bước thì: • Nếu kết quả của bước đó không ảnh hưởng đến lập luận của các bước sau thì chỉ trừ điểm của bước sai đó. • Nếu kết quả của bước sai đó ảnh hưởng trực tiếp đến lập luận của các bước sau thì các bước sau không cho điểm, kể cả khi thí sinh làm đúng. 4) Trong lời giải của Câu 4 thí sinh có thể sử dụng kết quả của phần trước để giải phần sau ngay cả khi thí sinh không làm được phần trước. 5) Nếu thí sinh sử dụng những kiến thức không có trong chương trình Toán THCS thì: • Trường hợp thí sinh chứng minh kiến thức đó trong bài làm và có lời giải đúng thì cho điểm tối đa theo biểu điểm trên. • Trường hợp thí sinh không chứng minh kiến thức đó trong bài làm nhưng áp dụng kiến thức đó để có được lời giải đúng thì chỉ cho một nửa số điểm của phần có lời giải đúng ấy. www.MATHVN.com . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 04/7/2011 Thời gian. www.MATHVN.com 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGÀY THI 04/7/2011 MÔN THI: TOÁN Bản hướng dẫn chấm có 03 (ba) trang Câu Hướng dẫn. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! H ọ và tên thí sinh Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) www.MATHVN.com 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG