Dạng Jordan và đa tuyến tính

Bài giảng Trường hè Sinh viên 2009 DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH PHÙNG HỒ HẢI Viện Toán học 1. CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH 1.1. Trường hợp chiều 2. V là không gian véc tơ thực chiều 2, f : V → V tự đồng cấu tuyến tính. Cố định một cơ sở e 1 , e 2 của V . Khi đó f được xác định duy nhất bởi ảnh của e 1 , e 2 . Ba dạng cơ bản của f: • Phép quay • Phép co dãn • Phép “xô nghiêng” Một tự đồng cấu tuyến tính bất kỳ là tích của các biến đổi dạng trên. Nhận xét 1.1.1. Một đường thẳng qua gốc tọa độ được gọi là bất biến đối với f nếu f biến đường thẳng đó vào chính nó (không nhất thiết đơn ánh). Ta có các nhận xét sau: • Phép quay không có đường thẳng bất biến • Phép co dãn có 2 đường thẳng bất biến • Phép “xô nghiêng” có 1 đường thẳng bất biến Để đơn giản bài toán ta sẽ không xét phép quay. Nói cách khác ta chỉ xét các phép biến đổi mà có ít nhất một đường thẳng bất biến. Định lý 1.1.2. Giả sử f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính có ít nhất một đường thẳng bất biến. Khi đó tồn tại một cơ sở e 1 , e 2 của V sao cho ma trận của f theo cơ sở đó có một trong 2 dạng sau: a)  λ 1 0 0 λ 2  (λ 1,2 chính là các hệ số “co dãn”) b)  λ 1 0 λ  1 2 PHÙNG HỒ HẢI Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại véc tơ v = 0 sao cho f(v) = λv. Điều này tương đương với việc hệ phương trình (f − λ)(x) = 0 có nghiệm không tầm thường. Từ đó det(f −λ) = 0. Đa thức P f (t) := det(f −t) được gọi là đa thức đặc trưng của ánh xạ f 1 . Đây là đa thức bậc 2 có đủ 2 nghiệm thực. Nếu hai nghiệm của đa thức P f (t) là phân biệt, ký hiệu λ 1,2 thì ký hiệu v 1,2 là nghiệm khác 0 nào đó của hệ (f − λ 1,2 )(x) = 0 Dễ kiểm tra rằng v 1 , v 2 là độc lập tuyến tính và do đó là một cơ sở của V . Nếu đa thức P f (t) có nghiệm kép λ và hệ (f − λ)(x) = 0 có không gian nghiệm với chiều bằng 1, thì ánh xạ f − λ có hạng khác 0 và do đó bằng 1. Giả sử v 1 là một nghiệm khác 0 của hệ và v là một véc tơ độc lập tuyến tính với v 1 . Giả thiết f(v) = γv + µv 1 khi đó ma trận của f theo cơ sở (v 1 , v) là  λ µ 0 γ  . Theo giả thiết ở trên ta suy ra γ = λ, µ = 0. Trong cơ sở v 1 và v 2 = v/µ ma trận của f có dạng thứ hai nói trên.  Nhận xét rằng trong mọi trường hợp, ánh xạ (f − λ 1 )(f − λ 2 ) (hoặc (f − λ) 2 ) luôn là ánh xạ 0. 1.2. Trị riêng và véc tơ riêng, đa thức đặc trưng. Cố định một không gian véc tơ thực V có chiều ít nhất bằng 1 và một tự đồng cấu tuyến tính f : V → V . Định nghĩa 1.2.1. Số thực λ được gọi là trị riêng của f nếu tồn một véc tơ v = 0 sao cho f(v) = λv Khi đó v được gọi là véc tơ riêng của f ứng với trị riêng λ. Định nghĩa 1.2.2. Đa thức đặc trưng của f, ký hiệu là P f (t), được định nghĩa là định thức của ánh xạ f − t · id. 1 Nhắc lại rằng định thức của một ánh xạ tuyến tính được định nghĩa thông qua định thức của ma trận biểu diễn của nó theo một cơ sở nào đó. Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở. DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 3 Để đơn giản ký hiệu, từ này trở đi phép vị tự λ · id sẽ được ký hiệu là λ. Định lý 1.2.3. Số thực λ là trị riêng của f khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trưng P f (t). Chứng minh. Giả thiết P f (t) = 0. Cố định một cơ sở (e) = {e 1 , . . . , e n } của V và ký hiệu A là ma trận của f, [x] là tọa độ của x theo cơ sở này. Khi đó det(A − λ) = 0. Từ đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A − λI n )[x] = 0 có nghiệm không tầm thường. Nghiệm của hệ này chính là véc tơ riêng của f ứng với trị riêng λ. Khẳng định ngược lại cũng được chứng minh tương tự.  Để đơn giản bài toán, từ nay trở đi ta sẽ giả thiết đa thức đặc trưng của f có đủ các nghiệm thực. Khó khăn duy nhất mà chúng ta sẽ phải đối mặt là đa thức này có thể sẽ có nghiệm bội. Trong trường hợp P f (t) không có nghiệm bội, ánh xạ f có thể được mô tả rất đơn giản thông qua các véc tơ riêng của nó. Định lý 1.2.4. Giả thiết P f (t) có đủ n nghiệm thực khác nhau λ i . Khi đó với mỗi i, tồn tại duy nhất một véc tơ riêng v i (sai khác một hệ số khác 0) ứng với λ i . Các véc tơ v i là độc lập tuyến tính và do đó lập thành cơ sở của V . Theo cơ sở này ma trận của f là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo là các số λ i . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh các véc tơ v i là độc lập tuyến tính. Giả sử trái lại, khi đó không mất tính tổng quát có thể giả thiết tồn tại các số a 1 , . . . , a n , với a 1 = 0, thỏa mãn a 1 v 1 + . . . + a n v n = 0 Tác động liên tiếp các ánh xạ f − λ i , i > 1 vào đẳng thức này ta thu được a 1  i>1 (λ 1 − λ i )v 1 = 0 mâu thuẫn với các giả thiết. Vậy các véc tơ v i độc lập tuyến tính.  Định nghĩa 1.2.5. Ánh xạ f được gọi là nửa đơn (hoặc chéo hóa được), nếu tồn tại một cơ sở mà ứng với nó ma trận biểu diễn của ánh xạ là ma trận đường chéo. Đa số các ánh xạ là nửa đơn. Tương tự như trong trường hợp các đa thức bậc 2, ta cũng có khái niệm biệt thức để xác định tính chất này. 4 PHÙNG HỒ HẢI Định nghĩa 1.2.6. Biệt thức ∆(P ) của một đa thức P được xác định như sau: ∆(P ) =  i=j (λ i − λ j ) 2 trong đó (λ i ) là tập các nghiệm kể cả bội của đa thức P . Có thể chứng minh được rằng ∆(P) là một đa thức theo các hệ số của P dựa vào tính chất: ∆(P ) như một đa thức theo các nghiệm λ i là một đa thức đối xứng. Ví dụ 1.2.7. a) Nếu P = ax 2 + bx + c thì ∆(P ) = b 2 − 4ac b) Nếu P = ax 3 + bx 2 + cx + d thì ∆(P ) = b 2 c 2 − 4ac 3 − 4b 3 d − 27a 2 d 2 + 18abcd Mệnh đề 1.2.8. Đa thức P có nghiệm bội khi và chỉ khi đa thức ∆(P ) triệt tiêu. Như vậy nếu xét tập tất cả các đa thức bậc n thì tính chất có nghiệm bội hay không của một đa thức P được một tả thông qua việc biệt thức, là một đa thức theo n + 1 biến có triệt tiêu tại các hệ số của P hay không. Rõ ràng đối với một đa thức khác 0 thì tập các nghiệm của nó “ít hơn” rất nhiều so với tập các điểm không phải là nghiệm. Tuy “ít hơn” nhưng tập các ánh xạ tuyến tính mà đa thức đặc trưng của nó có nghiệm bội lại có cấu trúc phức tạp hơn và chúng sẽ là đối tượng nghiên cứu chính của chúng ta. Mặt khác nhận xét rằng ánh xạ với đa thức đặc trưng có nghiệm bội vẫn có thể chéo hóa được. Dưới đây là một điều kiện để một ánh xạ tuyến tính chéo hóa được. Định lý 1.2.9. Tự đồng cấu f chéo hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) Đa thức P f (t) có đủ các nghiệm thực, (ii) Nếu λ i là nghiệm với bội s i thì hệ phương trình (f − λ i )(x) = 0 có s i nghiệm độc lập tuyến tính, hay phát biểu một cách tương đương, ánh xạ f − λ i có hạng bằng n − s i . Chứng minh. Chứng minh định lý này tương tự Định lý 1.2.4 với sai khác duy nhất là: thay vì với mỗi λ i chọn một véc tơ riêng ta chọn một hệ đầy đủ các véc DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 5 tơ riêng độc lập tuyến tính, hay nói cách khác một cơ sở của không gian nghiệm của hệ (f − λ i )(x) = 0.  Không gian nghiệm của hệ (f − λ i )(x) = 0 được gọi là không gian riêng của f ứng với trị riêng λ i , ký hiệu là V λ i . Như vậy, nếu ánh xạ f chéo hóa được thì V được khai triển một cách duy nhất thành tổng trực tiếp V =  i V λ i sao cho khi hạn chế lên mỗi không gian V λ i , f là một phép vị tự. 1.3. Không gian con bất biến. Khái niệm không gian con bất biến mở rộng khái niệm được thẳng bất biến đã giới thiệu trong mục đầu. Ta tiếp tục xét một không gian véc tơ thực V chiều lớn hơn hoặc bằng 1 và một tự đồng cấu tuyến tính f của V . Định nghĩa 1.3.1. Không gian con U ⊂ V được gọi là bất biến đối với f (hoặc ổn định đối với f) nếu f(U) ⊂ U. Ví dụ 1.3.2. a) Không gian 0 và toàn bộ V là các không gian con bất biến tầm thường. b) Giả sử λ là một trị riêng của f. Khi đó không gian riêng ứng với trị riêng λ là một không gian con bất biến đối với f. c) Ta cũng có hạch và ảnh của f là các không gian con bất biến. d) Tổng quát hơn, ta có thể xét một đa thức theo f: A(f) := a 0 f k + a 1 f k−1 + . . . + a k id a i là các hệ số thực. A(f) được gọi là một ánh xạ đa thức theo f. Hạch và ảnh của A(f) là các không gian con bất biến đối với f. e) Ngược lại, cố định một véc tơ v ∈ V . Tập tất cả các véc tơ có dạng A(f)(v), A ∈ R[t] cũng là một không gian véc tơ con của V . Không gian con này được gọi là không gian con sinh bởi v dưới tác động của f và v được gọi là véc tơ sinh của không gian nay. Ý nghĩa của không gian con bất biến nằm ở chỗ, khi tìm được một không gian con bất biến ta sẽ thu được một mô tả đơn giản hơn về ánh xạ f. Mệnh đề 1.3.3. Giả thiết U là không gian con bất biến đối với ánh xạ f. Khi đó ta có các mệnh đề sau. 6 PHÙNG HỒ HẢI (i) Tồn tại một cơ sở của V để ma trận của ánh xạ f có dạng đường chéo khối  A B 0 D  với A, B, D là các ma trận khối trong đó A, D là các ma trận vuông và A có kích thước bằng số chiều của U. (ii) Ký hiệu W là không gian thương của V theo U. Khi đó f cảm sinh một ánh xạ f W trên W bởi công thức f W (¯v) := f(v) (¯v ký hiệu lớp ghép v + U trong W ). (iii) Ký hiệu f U là hạn chế của f lên U. Khi đó đa thức đặc trưng của f là tích các đa thức đặc trưng của f U và f W P f (t) = P f U (t)P f W (t) Chứng minh. (i): Chọn một cơ sở (u) = (u 1 , u 2 , . . . , u r ) của U và mở rộng thành một cơ sở của V bằng cách bổ sung các phần tử (w) = (w 1 , . . . , w s ). Theo giả thiết f(u i ) ∈ U nên có thể biểu diễn được theo các véc tơ u j bởi một ma trận A. Vì (u, w) là một cơ sở của V nên các véc tơ f(w k ) có thể biểu diễn theo cơ sở đó bởi một ma trận dạng  B D  . Vậy theo cơ sở (u, w) f có ma trận với dạng đã khẳng định. (ii) Trước hết ta chứng minh rằng ánh xạ f W được định nghĩa đúng. Thật vậy, nếu v 1 và v 2 có hiệu thuộc U, nghĩa là cũng xác định một phần tử trong W, thì theo giả thiết f(v 1 ) − f(v 2 ) = f(v 1 − v 2 ) cũng thuộc U, do đó f(v 1 ) và f(v 2 ) cũng xác định một phần tử trong W . (iii) Xét cơ sở của V như trong (i). Khi đó ma trận của f U theo cơ sở (u) là A và P f U (t) = det(A − t) Mặt khác, ( ¯w) = ( ¯w 1 , . . . , ¯w s ) là cơ sở của W . Từ (i) dễ thấy ma trận của f U theo cơ sở này là D. Do đó P f U (t) = det(D − t) Theo công thức đã biết về định thức ma trận ta có det  A B 0 D  − t  = det(A − t) det(D − t) = P f U (t)P f W (t) Vế trái chính là P f (t).  DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 7 Chú ý 1.3.4. Ta biết rằng một không gian véc tơ thương có thể được đồng nhất (bằng nhiều cách khác nhau) với một không gian con. Tuy nhiên, trong mệnh đề trên ta không thể coi W như là một không gian véc tơ con của V (khi xét cùng với ánh xạ f). Nói cách khác với một không gian con bất biến U đã cho, nói chung không tồn tại một không gian con bất biến U  để tổng trực tiếp của nó với U là cả không gian V . Điều này tương đương với ta có chọn được cơ sở sao cho ma trận B ở trên triệt tiêu. Tương tự như trong trường hợp không gian 2 chiều, việc tìm các không gian con bất biến sẽ giúp chúng ta hiểu về cấu trúc của ánh xạ f. Trong đa số các trường hợp, V sẽ là tổng trực tiếp 2 của các không gian riêng của f (Định lý 1.2.9). Tuy nhiên trong những trường hợp đặc biệt điều đó có thể không xảy ra. Bằng phép chứng minh tương tự như đối với Định lý 1.2.4 ta có thể chứng minh rằng tổng của các không gian riêng là một tổng trực tiếp 3 . Tuy nhiên tổng của các không gian riêng có thể nhỏ hơn toàn bộ không gian như ví dụ ở Mục 1 đã chỉ rõ. Thay vì xét các không gian riêng, ta sẽ xét các không gian lớn hơn, gọi là các không gian nghiệm hoặc không gian riêng suy rộng. Định nghĩa 1.3.5. Giả thiết λ là một trị riêng của f. Véc tơ v ∈ V được gọi là véc tơ nghiệm của f nếu tồn tại r > 0 sao cho (f − λ) r (v) = 0. Tập hợp các véc tơ nghiệm lập thành một không gian con của V , gọi là không gian nghiệm ứng với trị riêng λ, ký hiệu là V λ . Hiển nhiên các véc tơ riêng là véc tơ nghiệm tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng. Ngoài ra đối với các véc tơ nghiệm ta không đòi hỏi chúng khác 0. Các không gian nghiệm thỏa mãn đòi hỏi của chúng ta. Định lý 1.3.6. Giả thiết đa thức đặc trưng của tự đồng cấu tuyến tính f có đủ nghiệm thực λ i (có thể có bội). Với mỗi λ i , ký hiệu V (λ i ) là không gian nghiệm của f ứng với λ i . Khi đó V là tổng trực tiếp của các không gian con V (λ i ): V =  i V (λ i ) Chứng minh. Ý tưởng chứng minh của định lý này tương tự như đối với Định lý 1.2.4. Trước tiên ta sẽ chứng minh rẳng tổng của các không gian V (λ i ) là một 2 Nhắc lại rằng V là tổng trực tiếp của các không gian con V i nếu mỗi phần tử của V biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổng các phần tử trong V i . 3 Nghĩa là nếu một véc tơ biểu diễn được thành tổng các véc tơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì biểu diễn đó là duy nhất. 8 PHÙNG HỒ HẢI tổng trực tiếp, nói cách khác, giả thiết (1) 0 =  i v i , v i ∈ V (λ i ) thì v i = 0 với mọi i. Thật vậy, nhận xét rằng với j = i, ta có (f − λ j )(v i ) = (λ i − λ j )v i = 0 và là một phần tử của V (λ i ). Từ đó, bằng cách tác động liên tục (f − λ 1 ) lên hai vế của khai triển của 0 ở (1) ta thu được một khai triển có độ dài ngắn hơn. Phương pháp quy nạp sẽ cho ta điều phải chứng minh. Trong phần thứ hai ta sẽ chứng minh rằng V bằng tổng các không gian V (λ i ). Ý tưởng chứng minh tương tự như trong chứng minh của Định lý 1.1.2. Ký hiệu U là tổng các không gian V (λ i ), khi đó U là một không gian con bất biến. Ký hiệu W là không gian thương của V theo U. Theo Mệnh đề 1.3.3 (iii), đa thức đặc trưng của ánh xạ cảm sinh f W là ước của đa thức P f (t) và đo đó cũng có các nghiệm là λ i với một số số i nào đó. Giả sử λ 1 là nghiệm của P f W (t) và ¯w là một véc tơ riêng của f W ứng với λ 1 , ¯w ∈ W , w ∈ V . Vì ¯w = 0 nêu w ∈ U. Mặt khác theo giả thiết (2) (f W − λ 1 )( ¯w) = 0 nghĩa là (f − λ 1 )(w) ∈ U. Theo giả thiết về U (3) (f − λ 1 )(w) =  v i , v i ∈ V (λ i ) Bằng cách tác động liên tiếp d i lần ánh xạ (f − λ i ), i = 1, lên hai vế của đẳng thức trên ta thu được (với các d i đủ lớn) (4) (f − λ 1 )    i=1 (f − λ i ) d i (w)   =  i=1 (f − λ i ) d i (v 1 ) Nhận xét rằng phần tử w 1 :=  i=1 (f − λ i ) d i (w) không nằm trong U vì phần tử  i=1 (f W − λ i ) d i ( ¯w) khác 0, theo (2). Tuy nhiên điều này mâu thuẫn vì vế phải của (4) nằm trong V (λ 1 ) dẫn tới w 1 cũng nằm trong V (λ 1 ) theo định nghĩa của V (λ 1 ). Vậy ta phải có W = 0 nghĩa là U = V . Định lý được chứng minh hoàn toàn.  Như vậy bằng cách chọn một cơ sở của V bao gồm các cơ sở của các không gian nghiệm V (λ i ) ta thu được một ma trận biểu diễn của f có dạng đường chéo DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 9 khối: (5)      A 1 A 2 . . . A r      Với A i là ma trận của f V (λ i ) trên V (λ i ). Vấn đề tiếp theo là tìm mô tả đơn giản nhất của f V (λ i ) . Nhận xét 1.3.7. Từ đẳng thức P t (t) =  i P f V (λ i ) (t) (theo Mệnh đề 1.3.3 (iii)), ta thấy rằng đa thức đặc trưng của f V (λ i ) có dạng P f V (λ i ) (t) = (λ i − t) s i với s i là bội của của λ i trong đa thức P f (t). Từ đó ta cũng có ngay tính chất: dim V (λ i ) = s i 1.4. Dạng chuẩn Jordan. Trong mục này ta sẽ tìm dạng đơn giản nhất có thể của ma trận của ánh xạ f V (λ i ) mà ta đã xét ở mục trước. Nói cách khác, ta sẽ tìm hiểu cấu trúc một ánh xạ f : V → V với tính chất: đa thức đặc trưng của f có dạng P f (t) = (λ − t) n . Theo 1.3.6 ta biết rằng V = V (λ) nói cách khác, mọi véc tơ của V bị triệt tiêu bởi một lũy thừa nào đó của (f −λ). Từ đó ta có nhận xét sau: Bổ đề 1.4.1. Giả thiết đa thức đặc trưng của ánh xạ f có dạng (λ − t) n (nghĩa là đa thức đặc trưng chỉ có 1 nghiệm duy nhất). Khi đó ánh xạ (f − λ) n là ánh xạ 0. Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của V . Với dim V = 1 khẳng định là hiển nhiên. Trong trường hợp tổng quát ta nhận xét rằng ánh xạ f − λ : V → V có hạch khác 0 và do đó ảnh của nó là không gian con thực sự của V . Không gian này là không gian bất biến đối với f và theo giả thiết quy nạp, ánh xạ (f − λ) n−1 triệt tiêu trên không gian này. Từ đó (f − λ) n triệu tiêu trên toàn bộ V .  Bổ để này sẽ dùng để chứng minh định lý Cayley-Hamilton, một trong những định lý quan trọng nhất của đại số tuyến tính. 10 PHÙNG HỒ HẢI Quay trở lại với bài toán, ta có thể giả thiết λ = 0 vì trường hợp tổng quát sẽ sai khác trường hợp này bởi ma trận λI n . Khi đó ánh xạ f có tính chất f n = 0. Một ánh xạ với tính chất này được gọi là lũy linh. Xét các không gian F i xác định như sau: F i := Ker(f i ) Giả thiết k là số bé nhất mà f k = 0. Ta có 0 = F 0 ⊂ F 1 ⊂ . . . ⊂ F k = V Bổ đề 1.4.2. Ta có với mọi 1 ≤ i ≤ k, F i−1 = F i . Từ đó r i := dim F i − dim F i−1 = 0 Chứng minh. Thật vậy, nếu F i = F i−1 , nghĩa là từ f i (x) = 0 suy ra f i−1 (x) = 0, ta cũng có F i+t = F i+t−1 với mọi t > 1, suy ra F i−1 = F n , mâu thuẫn.  Chọn các véc tơ v k 1 , . . . , v k r k độc lập tuyến tính ở trong F k \ F k−1 và là cơ sở của của một không gian bù với F k−1 trong F k 4 . Tác động f lên các véc tơ này thu được các véc tơ v k−1 i = f(v k i ) Các véc tơ v k−1 i nằm trong F k−1 và không nằm trong F k−2 . Ta sẽ chứng minh chúng độc lập tuyến tính và các tổ hợp tuyến tính khác 0 của chúng không nằm trong F k−2 . Từ đó r k−1 := dim F k−1 − dim F k−2 ≥ r k Bổ sung vào các véc tơ này các véc tơ v k−1 r k +1 , . . . , v k−1 r k−1 để chúng là cơ sở của một không gian bù với F k−2 và lại xét ảnh của chúng trong F k−2 , Quá trình này có thể được một tả bằng sơ đồ dưới đây: các đỉnh là các véc tơ mà ta chọn ở trên còn các mũi tên là tác động của f lên chúng 4 Không gian bù với không gian con U trong không gian V là một không gian con U  sao cho U ∩ U  = 0 và U + U  = V , nói cách khác U ⊕ U  = V . [...]... Jordan cho một tự đồng cấu tuyến tính là cơ sở này không duy nhất Mặt khác nếu nhìn vào dạng Jordan của ánh xạ tuyến tính ta thấy nó bao gồm 2 phần, phần đường chéo ứng với một ánh xạ nửa đơn và phần đường chéo trên ứng với một ánh xạ lũy linh Hơn thế nữa, có thể dễ dàng kiểm tra rằng hai ánh xạ này giao hoán với nhau Trong mục này ta sẽ chứng minh rằng một khai triển như DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN... 1.3.6 và 1.4.4, ta dễ dàng suy ra cấu trúc của một tự đồng cấu bất kỳ với đa thức đặc trưng có đủ các nghiệm thực DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 13 Định lý 1.4.5 Giả thiết f : V → V là một tự đồng cấu tuyến tính với đa thức đặc trưng có đủ các nghiệm thực Khi đó tồn tại một cơ sở mà theo đó ma trận của f có dạng đường chéo khối chính (xem (5)) Trong đó mỗi ma trận đường chéo khối là một ô Jordan. .. khai triển Jordan của A Khi đó exp(A) = exp(As ) exp(An ) Mệnh đề 1.8.2 Giả thiết A và B là các ma trận giao hoán nhau Khi đó exp(A + B) = exp(A) exp(B) Chứng minh Xét các khai triển Jordan của A và B Vì A và B giao hoán nhau nên theo Hệ quả 1.7.4 các ma trận As , An , Bs , Bn đôi một giao hoán nhau và A + B = (As + Bs ) + (An + Bn ) DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 21 là khai triển Jordan của A... là ma trận đường chéo Hệ quả 1.7.4 Giả sử f và g là hai tự đồng cấu tuyến tính giao hoán nhau Khi đó ta có f + g = (fs + gs ) + (fn + gn ) là khai triển Jordan- Chevalley của ánh xạ tổng f + g Tương tự với tích ta có f g = (fs gs ) + (fs gn + fn gs + fn gn ) DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 19 Chứng minh Vì fs , fn là các đa thức theo f còn gs , gn là các đa thức theo g mà f giao hoán với g nên tất...DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH k v1 k v2 • k−1 v3 k−1 v4 • k−2 v5 11 k−4 v6 • •  •  •  •  •  •  •  •  •  •  •   • •  •  •  •  •  •  •  •  • •  •  • • Tập các véc tơ nhận được sẽ lập thành một cơ sở mà ở đó ma trận của f có dạng đơn giản nhất có thể, gọi là dạng Jordan của f Định nghĩa 1.4.3 Cho f là một tự đồng cấu lũy linh Dạng Jordan của f là ma trận biểu diễn có dạng. .. Ta có các tính chất sau của đa thức cực tiểu Mệnh đề 1.6.3 Cho f : V → V là một ánh xạ tuyến tính, U ⊂ V là một không gian con bất biến đối với f , fU ký hiệu hạn chế của f lên U và fW ký hiệu ánh xạ cảm sinh bởi f trên W = V /U Khi đó ta có: i) Đa thức cự tiểu tồn tại và duy nhất ii) Một đa thức bất kỳ P (t) thỏa mãn P (f ) = 0 khi và chỉ khi P chia hết cho đa thức cực tiểu Πf iii) Các đa thức cực... cơ sở này sẽ là ma trận dạng Jordan, mỗi ô Jordan sẽ ứng với các véc tơ trong một cột ở trên Trước hết ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng các véc tơ ở bảng trên là độc lập tuyến tính Theo cách xây dựng, các véc tơ ở hàng thứ nhất là độc lập tuyến tính Ngoài ra nếu bổ sung vào chúng một cơ sở của Fk−1 ta sẽ được một cơ sở của Fk = V Điều đó có nghĩa, không có một tổ hợp tuyến tính khác 0 nào của các... 2, tồn tại đa thức Bi thỏa mãn Bi ≡ 0 mod Qj , Bi ≡ 1 mod Qi j=i Khi đó có thể chọn P = Ri Bi Định lý 1.7.2 (Khai triển Jordan- Chevalley) Cho f : V → V là ánh xạ tuyến tính, trong trường hợp ánh xạ thực ta sẽ giả thiết Pf (t) có đủ nghiệm thực Khi đó i) Tồn tại các ánh xạ tuyến tính fs , fn trong đó fs nửa đơn và fn lũy linh thỏa mãn f = fs + fn và fs giao hoán với fn ii) Hơn thế nữa, fs và fn đều... phức hoặc f là ánh xạ thực và đa thức đặc trưng của f có đủ các nghiệm thực Đa thức cực tiểu Πf có dạng (λi − t)ti Πf (t) = i trong đó λi là các trị riêng của f và ti là cấp cao nhất của ô Jordan ứng với λi v) Không gian nghiệm V (λi ) được xác định bởi V (λi ) = Ker(f − λi )ti vi) Ánh xạ f là nửa đơn khi và chỉ khi đa thức cực tiểu của f không có nghiệm bội 1.7 Khai triển Jordan- Chevalley Ta có nhận... chứng minh rằng một khai triển như DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 17 vậy đối với một ánh xạ tuyến tính bất kỳ (nếu là ánh xạ thực thì ta giả thiết thêm là đa thức đặc trưng của nó có đủ nghiệm thực) là duy nhất: f = fs + fn hơn thế nữa phần nửa đơn fs và phần lũy linh fn của f là các đa thức theo f và do đó giao hoán với mọi ánh xạ tuyến tính giao hoán với f Trước tiên ta sẽ cần kết quả sau từ số . 2009 DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH PHÙNG HỒ HẢI Viện Toán học 1. CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH 1.1. Trường hợp chiều 2. V là không gian véc tơ thực chiều 2, f : V → V tự đồng cấu tuyến. chứng minh rằng một khai triển như DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 17 vậy đối với một ánh xạ tuyến tính bất kỳ (nếu là ánh xạ thực thì ta giả thiết thêm là đa thức đặc trưng của nó có đủ nghiệm. vì với mỗi λ i chọn một véc tơ riêng ta chọn một hệ đầy đủ các véc DẠNG JORDAN VÀ ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH 5 tơ riêng độc lập tuyến tính, hay nói cách khác một cơ sở của không gian nghiệm của hệ (f