Loi giai toan lop 12 Toàn quoc 2011

[...]... u 2 012 = 2k C 2011 32011 2k 14k = 32011 + 1005 k=0 2k C 2011 32011 2k 14k k=1 Do 1 < 2k < 2011 với 1 k 1005 và 2011 là số nguyên tố nên 2k C 2011 = 2011 2k−1 C 2010 2011 2k Mặt khác, theo định lý Fermat nhỏ thì 32011 ≡ 3 (mod 2011) Do vậy, kết hợp các lập luận lại với nhau, ta được u 2 012 ≡ 3 (mod 2011) (2) Tương tự với vn , ta cũng sử dụng khai triển Newton và thu được 1006 v2 012 = 2k−1 C 2011. .. 32 012 2k 14k−1 = 141005 + k=1 1005 2k−1 C 2011 32 012 2k 14k−1 k=1 Đến đây, cũng bằng cách sử dụng tính nguyên tố của 2011, ta thấy 2k−1 C 2011 2k−2 C 2010 2011 = 2011 2k − 1 LỜI GIẢI VMO 2011 23 với k ∈ {1, 2, , 1005} Vì vậy v2 012 ≡ 141005 (mod 2011) Do 14 = 2025 − 2011 = 452 − 2011 ≡ 452 (mod 2011) nên áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có 141005 ≡ 452010 ≡ 1 (mod 2011) Suy ra v2 012 ≡ 1 (mod 2011) ... n (mod 2011) , ∀ n ∈ N Theo đó, ta chỉ cần chứng minh b2 012 + 1 ≡ 0 (mod 2011) nữa là xong Ta có b 2 012 + 1 = 41 · 482 012 + 49 · (−42)2 012 + 90 90 Do 2011 là số nguyên tố, và 2011, 90 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ta chỉ cần chứng minh 41 · 482 012 + 49 · (−42)2 012 + 90 ≡ 0 (mod 2011) (1) Mà theo định lý Fermat nhỏ, ta có 41 · 482 012 + 49 · (−42)2 012 + 90 ≡ 41 · 482 + 49 · 422 + 90 (mod 2011) =... Dirichlet, có một đỉnh của ngũ giác có khoảng cách không lớn hơn 1 đến ít nhất 2011 = 403 điểm Từ đó ta có điều phải chứng minh 5 20 d DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC MATH.VN BÀI SỐ 5: DÃY SỐ CÓ TÍNH CHẤT SỐ HỌC Bài 5 Cho dãy số nguyên {a n } xác định bởi a 0 = 1, a 1 = −1 và a n = 6a n−1 + 5a n−2 với mọi n 2 Chứng minh rằng a 2 012 − 2010 chia hết cho 2011 Lời giải 1 Xét dãy {b n } được xác định như sau b 0 = 1, b 1 = −1... phải có một góc không nhỏ hơn 120 ◦ Giả sử ∠ X IY 120 ◦ thì trong tam giác I X Y , theo định lý cosin ta có 3 X Y 2 = I X 2 + IY 2 − 2 I X · IY cos ∠ X IY I X 2 + IY 2 + I X · IY Từ đây đưa đến min{ I X , IY } 3 min{ I X 2 , IY 2 } 1 Bổ đề được chứng minh Quay trở lại bài toán Theo giả thiết thì các tam giác ABC, ACD, ADE đều có cả ba cạnh nhỏ hơn 3, mà mỗi điểm trong 2011 điểm gieo trong ngũ giác ABCDE... TOÁN RỜI RẠC Bài 4 Cho ngũ giác lồi ABCDE có các cạnh và hai đường chéo AC, AD có độ dài không vượt quá 3 Trong ngũ giác lồi lấy 2011 điểm phân biệt bất kì Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi ABCDE và chứa ít nhất 403 điểm trong số 2011 điểm đã cho Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề Cho điểm I nằm trong tam giác X Y Z có độ dài các cạnh nhỏ hơn... ≡ 0 (mod 2011) (1) Mà theo định lý Fermat nhỏ, ta có 41 · 482 012 + 49 · (−42)2 012 + 90 ≡ 41 · 482 + 49 · 422 + 90 (mod 2011) = 90 b 2 + 90 = 90 6 · (−1) + 2016 · 1 + 90 = 90 · 2010 + 90 = 90 · 2011 ≡ 0 (mod 2011) Vì vậy, (1) đúng Bài toán được chứng minh xong 22 DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC MATH.VN Lời giải 2 Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là x2 − 6 x − 5 = 0 có hai nghiệm là 3 − 14 và 3 + 14, do đó ta... (mod 2011) Do 14 = 2025 − 2011 = 452 − 2011 ≡ 452 (mod 2011) nên áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có 141005 ≡ 452010 ≡ 1 (mod 2011) Suy ra v2 012 ≡ 1 (mod 2011) Từ (2) và (3), ta có a 2 012 − 2010 ≡ −3 + 2 · 1 − 2010 ≡ 0 (mod 2011) Bài toán được chứng minh xong (3) 24 d DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC MATH.VN BÀI SỐ 6: HÌNH HỌC PHẲNG Bài 6 Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc ABC, ACB là các góc nhọn Xét một... +n+1 là hàm phân thức theo n với n2 + n + 1 là đa n3 3 thức bậc 2 và n là đa thức bậc 3 Từ đây ta chợt có một ý tưởng là đánh giá xn với hàm đa thức bậc nhất theo n (chiều ) vì khi đó yn sẽ LỜI GIẢI VMO 2011 15 bị chặn trên bởi một hàm phân thức với tử là đa thức bậc 3 và mẫu cũng là đa thức bậc 3, và như thế theo tính chất vừa nhắc lại ở trên, ta biết chắc rằng yn sẽ bị chặn trên bởi một hằng số Với... trên [0, 1) Từ lý luận này, ta suy ra g( x) g(0) = 2, ∀ x ∈ [0, 1) Bổ đề được chứng minh Quay trở lài bài toán Theo (4), ta có (ab) k( k−1) 2 k k (a + b ) a+b 2 2 k2 , ∀a, b > 0, k 1, (5) 11 LỜI GIẢI VMO 2011 suy ra a+b 2(ab) ak + bk 2 k−1 2k 1 k2 (6) Trong (6), cho a = x n , b = 1 và k = n+1 > 1, ta được n xn + 1 2x x n 2( n+1) n+1 +1 n2 ( n+1)2 2 Từ đó suy ra x n ( x n+1 + 1) xn + 1 x n ( x n+1 + 1) . BIÊN TẬP DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC MATH.VN LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2010 – 2011 d THÁNG 01 – 2011 d LỜI NÓI ĐẦU Diễn đàn toán học Math.vn chưa đầy hai tuổi, nhưng những đóng góp của. nhất. Phát huy tinh thần đó, nhân kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam 2011, diễn đàn tổ chức giải đề VMO 2011. Chúng tôi tin tưởng đây là một tài liệu tốt cho các bạn học sinh đang và. Trong ngũ giác lồi lấy 2011 điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi ABCDE và chứa ít nhất 403 điểm trong số 2011 điểm đã cho. Lời