VIII.TÍCH PHÂN 106) Cho f(x)= 3 2 )1x( 3xx , tìm A, B và C sao cho: f(x)= 1x C )1x( B )1x( A 23 . Kq: A= -1; B=3 và C=1 2) Từ đó tính dx )1x( 3xx 3 2 107) Tính dx )2x( 2xx 3 3 108) Tính 2x3x dx)3x2( 2 109) Tính 1x dxx3 3 2 110) Tìm A, B , C để sinxcosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx2sinx) +C Kq: A= 5 1 ; B= 5 3 và C= 5 8 111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả a) y= x 1x b) y=2 2 x sin 2 )1 3 x (x2 +C xsinx+C c) y= xcos.xsin 1 22 d) y= xsinxcos x2cos tgxcotgx+C sinx+cosx+C 112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x 3 x 2 +2x1 biết rằng F(0) = 4. Kết qua: F(x) = 3 x 4 x 34 +x 2 x+4 113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx. Kết qua: F(x) = x. l nx-x+C 114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , ta có: 1x B 2x A 2x3x 1x 2 Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số: 2x3x 1x )x(f 2 Kết qua: A=3; B= 2. F(x) = 3 l nx22 l nx1+ C= l n 2 3 )1x( 2x +C 115) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) dx.gxcot b) dx.xgcot 2 c) xdxcos.xsin 2 l nsinx+C cotgxx+C d) dx xln.x 1 e) 3xcos2 e .sinxdx f) xsin dx l n l n x+C 3xcos2 e 2 1 +C 3 1 sin 3 x+C l n 2 x tg +C 116) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) 2 1 2 2 dx x2 2x b) 3 1 2 dx x x4x c) 2 2 2 dx|1x| d) 4 0 2 xdxtg 1 12 4 4 4 e) 3 4 2 2 dx xcos xgcot23 f) 4 6 2 3 dx xsin xsin1 g) 2 0 2 xdxcosxsin 3 15311 2 223 3 1 117) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) 1 0 1x dx b) 2 1 2 )1x2( dx ln2 g) dx xcos31 xsin 2 0 3 2 ln2 c) dx 1xx 2x4 1 0 2 d) 4 0 tgxdx e) 2ln 0 x x 3e dxe f) 2 0 3 dx.xcos 3 1 2ln3 ln 2 ln 4 5 3 2 h) 2 6 2 3 dx. xsin xcos i) 2 3 dx. xcosxsin xcosxsin j) 1 0 2 dx.1xx)1x2( k) e 1 2 dx x xln 2 1 ln( 3 +1) 0 3 1 118) Chứng minh rằng: a) 2xsin23 dx 4 4 3 4 2 b) 108dx)x117x(254 11 7 119) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả a) 4 0 dx.x2sin b) dx x x e 1 ln1 2 1 c) 3 3 2 0 sin cos xdx x d) 4 0 4 xdxtg e) 2 4 4 sin dx x f) 1 3 0 1 xdx g) dx1xx 1 0 2 h) 1 0 2 1xx dx k) 1 0 1 x x e dx e l) 2 0 3 dxxcos xsin )122( 3 2 2 1 12 83 3 4 4 3 )122( 3 1 33 )21e(2 4 3 120) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả m) 2 2 2 1xx dx n) 3 2 3 9 x dx o) 1 0 2 x4 dx p) 1 0 22 dxx1x q) 3 0 2 1x dx r) 1 2 2 1 2 1 x dx x s) 1 0 x e1 dx t) 2 0 xcos1 dx u) 3 0 2 xcos xdxsin v) 2 0 2 dx xcos1 xsin Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq: 12 2 9 6 x=sint. Kq: 16 )32ln( 2 1 3 3 33 TS+e x e x .Kq:l n 1e e2 w) e 1 4 dx x xln 1 1 4 5 1 121) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) 1 0 2 dxxe x b) 2 0 ( 1)cos x xdx 4 1e 2 2 2 c) e 1 xdxln d) 4 2 0 cos xdx x 1 2ln 4 Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả e) 2 0 sin .cos x x xdx f) e 1 2 dx)x(ln g) 1 0 2 dx)x1ln( 8 e2 h) 1 2 0 ln(1 ) x x dx i) cos 0 ( )sin x e x xdx ln2 2 1 ln22+ 2 j) 2 0 sin x e xdx e 1e 2 2 1e 2 122) Chứng minh rằng: a) 2 0 2 0 dx)x(cosfdx)x(sinf Hd: x= 2 t b) b 0 b 0 dx)xb(fdx)x(f Hd: x=bt c) 2 a 0 a 0 23 dx)x(xf 2 1 dx)x(fx (a>0) Hd: t=x 2 d) 2 0 2 0 dx)gx(cotfdx)tgx(f Hd: x= 2 t e) 2 00 dx)x(sinfdx)x(sinxf . Áp dụng, tính: 0 2 dx xcos1 xsin.x Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t. Lần 2, để tính 2 dx)x(sinf ta đặt x= 2 +s và kết quả bài 118a). Tính 0 2 dx xcos1 xsin.x = 0 2 dx xcos1 xsin , đặt t=cosx, kq: 4 2 123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [a;a] (a>0) thì: a 0 a a dx)x(f2dx)x(f . Hd: t=x 124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [a;a] (a>0) thì: 0dx)x(f a a . Hd: t=x 125) Chứng minh rằng: 0xdxsinx 8 8 76 . Áp dụng bài 124). 126) Chứng minh rằng: 1 0 xcos 1 1 xcos dxe2dxe . Áp dụng bài 123). 127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: x a x a dt)t(fdt)t(f . Hd: t=x 128) Chứng minh rằng 0dx)x(cosf.xsin a a . Áp dụng bài 124) 129) Chứng minh rằng a 0 2 a a 2 dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos . Áp dụng bài 123). 130) Chứng minh rằng 1 0 mn 1 0 nm dx)x1(xdx)x1(x . Hd:x=1t 131) Tính các tích phân sau: Tích phân Kết quả a) 2 2 2 dx)1xxln( Hs lẻ: 0 b) 2 6 dx xcos1 xsinx c) 2 1 5 dx x xln d) 2ln 0 x dxe.x e) e e 1 dx|xln| f) 1 0 2 3 dx 1x x g) 2 0 6 dx .sinxcosx-1 )31( 6 64 2ln 256 15 2 e ln e )1e(2 2 e ln 7 6 Tích phân Kết quả h) 3ln 0 3x x )1e( dxe k) 0 1 3 x2 dx)1xe(x l) 4 0 dx x2cos1 x m) 4 0 2 dx x2sin1 xsin21 12 7 4 e4 3 2 )2ln 2 ( 4 1