1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÔNG MẪU MỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS I. Bài toán tổng quát: Bài toán: Cho hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất (có chứa tham số) e dx cbxax xFy 2 )( (1) (ad 0) Tìm điều kiện để: 1. Hàm số (1) đồng biến (hay nghịch biến) trên mỗi khoảng xác định của nó. 2. Hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu. 3. Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục hoành. 4. Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về cùng một phía của trục hoành. Phân tích sơ lược cách giải: Với bài toán quen biết này thì đường lối (phương pháp) giải rất rõ ràng Để giải quyết cả 4 ý trên chúng ta đều phải tính đạo hàm ) ( ' ' x F y + ý 1. điều kiện là: F'(x) > 0 x d e ( hay F'(x) < 0 x d e ) + ý 2. điều kiện là phương trình F'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. + ý 3. điều kiện là phương trình F'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0. CTCĐ yy Ở ý 4. điều kiện là phương trình F'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0. CTCĐ yy 2 Nhận xét : Khi giải theo phương pháp truyền thống trên thì với hai ý 1 và 2 không có khó khăn gì. Tuy nhiên với hai ý 3 và 4 thì nói chung gặp rất nhiều khó khăn khi tính CTCĐ yy . (tính toán rất dài và cồng kềnh) thậm chí không kiên trì sẽ không đi đến kết quả. Liệu có phương pháp nào khác dễ hơn để giải bài toán trên ? Ở bài viết này qua kinh nghiệm của bản thân, tôi sẽ đưa ra phương pháp giải ngắn gọn hơn, không phải tính đạo hàm và sẽ không gặp khó khăn gì. Trước khi giải bài toán trên, ta nói qua về cơ sở khoa học của phương pháp tôi sẽ giải. + Xét hàm số e dx cbxax xFy 2 )( (1) Với các điều kiện (ad 0) và 0)( 0 xf (với cbxaxxf 2 )( ; d e x 0 ) Trong chương trình giải tích lớp 12 ta đã khảo sát hàm số (1) và đồ thị của hàm số (1) sẽ là 1 trong 4 dạng sau: (tùy theo các dữ kiện a, b, c, d, e) * Đồ thị sẽ có dạng hình 1 khi a.d > 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. * Đồ thị sẽ có dạng hình 2 khi a.d < 0 và y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. * Đồ thị sẽ có dạng hình 3 khi a.d > 0 và y' = 0 vô nghiệm. * Đồ thị sẽ có dạng hình 4 khi a.d < 0 và y' = 0 vô nghiệm. Các hình 1 và 2 minh họa đồ thị hàm số có điểm cự đại và điểm cực tiểu. Các hình 3 và 4 minh họa hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên mỗi khoảng xác định của nó. 3 (Chú ý: Ở đây tùy theo các số a, b, c, d, e mà hệ trục Oxy có thể tịnh tiến lên xuống hay sang trái sang phải) x y O x 0 Hình 1 y x O x 0 Hình 2 x y O x 0 Hình 3 y O x x 0 Hình 4 4 Từ 4 dạng đồ thị của hàm số (1) ta có nhận xét sau: a) Trường hợp 1 hàm số (1) luôn đồng biến hay luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó (hình 3, 4) khi và chỉ khi đồ thị của nó cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía khác nhau của tiệm cận đứng x = x 0 tức là phương trình F(x) = 0 hay phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiêm phân biệt x 1 , x 2 sao cho x 1 < x 0 < x 2 .Vậy trường hợp 1 này xảy ra khi và chỉ khi af(x 0 ) > 0 b) Trường hợp 2 hàm số (1) sẽ có cực đại và cực tiểu (hình 1, 2) khi và chỉ khi đồ thị của nó không cắt trục hoành hoặc cắt trục hoành tại hai điểm (có thể hai điểm không phân biệt) nằm cùng bên trái hoặc cùng bên phải đường thẳng tiệm cận đứng x = x 0 tức là phương trình phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x)= ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm hoặc có hai nghiêm x 1 , x 2 đều lớn hơn hoặc đều nhỏ hơn x 0 . Vậy trường hợp 2 này xảy ra khi và chỉ khi af(x 0 ) > 0 c) Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm (hình 1, 2) d) Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về cùng một phía của trục hoành khi và chỉ khi đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ở hai điểm phân biệt cùng nằm bên trái hay cùng nằm bên phải đối với đường thẳng tiệm cận đứng x = x 0 tức là phương trình F(x)=0 hay phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiêm x 1 , x 2 đều lớn hơn hoặc đều nhỏ hơn x 0 . Lưu ý: từ các nhận xét trên ta còn rút ra được kết luận. Đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng có phương trình y = k khi và chỉ khi đồ thị của nó không cắt đường thẳng 5 y = k hay phương trình F(x) = k vô nghiệm tức là phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = k(dx + e) vô nghiệm (hình 5, 6) Từ các nhận xét trên ta rút ra phương pháp mới để giải bài toán tổng quát ban đầu đó là: 1. Để hàm số (1) luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì điều kiện là 0)(. 0. 0 xfa da * Để hàm số (1) luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì điều kiện là 0)(. 0. 0 xfa da (Trường hợp f(x 0 ) = 0 hàm số (1) suy biến, không phải là hàm phân thức ta xét riêng thêm, trường hợp này đơn giản) 2. Để hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì điều kiện là af(x 0 ) > 0 x y y = k O x 0 Hình 5 x O y x 0 Hình 6 y = k 6 3. Điều kiện để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục hoành là phương trình F(x) = 0 hay phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm. 4. Điều kiện để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về cùng một phía của trục hoành là phương trình F(x) = 0 hay phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn hoặc đều nhỏ hơn x 0 tức là phải có điều kiện 0)( 04 0 2 xaf acb II. Một vài ví dụ cụ thể để minh họa: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số m x mmxmx y 2)2( 22 (2) luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó Giải: *Cách1: (theo phương pháp truyền thống) Khoảng xác định của hàm số ( ; m) (m; ) hàm số (2)có đạo hàm 2 22 , )( 222 mx mmmxx y ta thấy g(x) = x 2 - 2mx + 2m 2 + m + 2 > 0 x (vì a=1>0 ; 0 2 2 m m ) suy ra mxy 0 , Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. *Cách 2: Ta thấy hàm số đã cho là hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất thật sự 7 (vì x 0 = m không là nghiệm của tử thức f(x) = x 2 - (m + 2)x - m 2 + m - 2 với mọi m) Theo kết quả ở phần trước ta tính: a.d = 1.1 = 1 > 0 af(x 0 ) = af(m) = 1.[m 2 - (m + 2)m - m 2 + m - 2] = -m 2 - m - 2 < 0 m Chứng tỏ hàm số (2)đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Bài 2: Tìm m để hàm số 1 2 2 x xmx y (3) Có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Giải: Bằng phương pháp dùng đạo hàm ta đi đến kết quả m < 0 hoặc m > 3. Bây giờ ta dùng kiến thức đã trình bày ở phần đầu để giải Đặt tử thức là f(x) = mx 2 + x - 2; x 0 = 1 (nghiệm của mẫu thức) ta thấy hàm số (3) triệt tiêu khi f(-1) = 0 hay m = 3. Dễ thấy khi m = 0 hoặc m = 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét m 0 và m 3 hàm số (3) là hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất. Để hàm số (3) có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì điều kiện là af(x 0 ) > 0 hay m[m.(-1) 2 + (-1) - 2] > 0 m(m - 3) > 0 m < 0 hoặc m > 3. Ta vẫn đi đến đáp số m < 0 hoặc m > 3. Bài 3: Cho hàm số 1 123 2 x mmxmx y (4) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (4) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành. Giải: + Xét trường hợp m = 0 và 6 1 m ( 6 1 m thì hàm số suy biến) dễ thấy không thỏa mãn yêu cầu bài toán 8 + Xét trường hợp m 0 và 6 1 m hàm số (4) thực sự là hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, khi đó điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox là: phương trình y = 0 hay phương trình mx 2 + 3mx + 2m + 1 = 0 vô nghiệm suy ra điều kiện là = (3m) 2 - 4m(2m + 1) < 0 0 < m < 4 Vậy các giá trị của m phải tìm là 0 < m < 4. Nhận xét: Rõ ràng phương pháp giải này rất đơn giản, ngắn gọn. Nếu bài tập này ta giải theo phương pháp truyền thống thì rất khó khăn, đặc biệt ở khâu tính CTCĐ yy . rất cồng kềnh phức tạp, tất nhiên vẫn đi đến kết quả 0 < m < 4. Đối với hàm số (4) bằng phương pháp tương tự, ta cũng giải rất nhanh câu hỏi: tìm m để đồ thị hàm số (4) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2 (theo lưu ý ở phần I). Qua một vài kinh nghiệm nhỏ tôi đã đưa ra ở trên, chúng ta thấy việc dùng tính chất của đồ thị hàm số kết hợp với kĩ năng toán học nói chung vào giải toán đã đem lại một số kết quả thật tốt đẹp, nó giúp học sinh biết sáng tạo trong học tập và đã đưa các công việc giải toán đáng lẽ rất khó khăn, phức tạp trở nên đơn giản hơn. Nói chung pp không mẫu mực khi giải toán nhiều khi ngắn gọn và hay hơn phương pháp mẫu mực . 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÔNG MẪU MỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS I. Bài toán tổng quát: Bài toán: Cho hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất (có chứa tham số) e dx cbxax xFy 2 )(. đã đưa các công việc giải toán đáng lẽ rất khó khăn, phức tạp trở nên đơn giản hơn. Nói chung pp không mẫu mực khi giải toán nhiều khi ngắn gọn và hay hơn phương pháp mẫu mực . giải ngắn gọn hơn, không phải tính đạo hàm và sẽ không gặp khó khăn gì. Trước khi giải bài toán trên, ta nói qua về cơ sở khoa học của phương pháp tôi sẽ giải. + Xét hàm số e dx cbxax xFy 2 )(