ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ BÍCH CHÂU ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 15/12/2011 Bài 1. Giải các phương trình sau a) 4 2 12 36 x x x − = − + b) 3 2 3 1 2 4 x x x − = + Bài 2. a) Giải hệ phương trình : ( ) ( ) 2 2 1 4 ( 1) 2 x y y x y x y x y  + + + =   + + − =   b) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 1 2 1 x y m y x m  + − =   + − =   Bài 3. Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn xyz = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 x y z P x y z + + = + + . _________ Hết ________ Họ và tên thí sinh: Số báo danh: TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ BÍCH CHÂU ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 15/12/2011 Bài Đáp án Điểm a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 12 36 12 36 0 6 0 6 6 0 6 0 2 3 6 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = − + ⇔ − − + = ⇔ − − = ⇔ + − − + =  + − = =  ⇔ ⇔   = − − + =    2,0 Bài 1 b) Điều kiện 1 x ≤ Nhận thấy rằng: ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 2 1 x x x x x + = + + − − Đặt 2 3 1 , 1 , 0 , 2 a x b x x a b= − = + + ≥ ≥ PT đã cho trở thành 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 0 2 2 3 2 0 1 2 ab b a a ab b a a a b a b b b = − ⇔ + − =  = −      ⇔ + − = ⇔           =   *) Với 2 a b = − ( loại) *) Với 1 2 a b = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 37 1 4 4 5 3 0 2 a b a x x x b x x x x x x = ⇔ = ⇔ + + = − − ± ⇔ + + = − ⇔ + − = ⇔ = Đối chiếu điều kiện phương trình đã cho có nghiệm 5 37 2 x − ± = . 2,0 Bài 2 a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 1 ( 1) 2 2 x y y x y x y x y  + + + =   + + − =   Ta thấy y = 0 không thõa mãn PT(1) nên HPT ( ) 2 2 1 4 1 2 1 x y x y x y x y  + + + =   ⇔    +  + − =       Đặt 2 1 , 2 x u v y x y + = = + − , ta có hệ 2 1 u v uv + =   =  2,0 Giải hệ trên ta được u = v = 1, từ đó ta có hệ 2 1 2 1 3 2 5 x y x y x y x y  =    =  + =   ⇔   + = = −     =    Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm (x ; y ) là (1 ; 2 ) , (-2 ; 5 ). b) Đặt 1 0, u x = − ≥ thì 2 1 x u = + và 1 0, v y = − ≥ thì 2 1 y v = + HPT đã cho trở thành 2 2 2 2 2 2 2 2 u v m v u m  + + =   + + =   Do , 2 u v ≥ nên điều kiện cần để hệ có nghiệm là 2 m ≥ Với 2 m ≥ xét hệ trên ta có ( ) ( ) 2 2 1 0 u v u v − − − = ( nhờ trừ tùng vế của hai phương trình ). Hệ tương đương với tuyển mà trong đó có hệ 2 0 2 2 2 u v u v m − =   + + =  Do u = v nên 2 2 2 0 v v m + + − = . Ta có 2 0 2 c m P a − = = ≤ nên PT luôn có nghiệm 0 v ≥ . Suy ra hệ ban đầu có nghiệm. Tóm lại hệ có nghiệm khi và chỉ khi 2 m ≥ . 2,0 Bài 3 Theo BĐT Cô-si ta có 3 3 3 3 2 1 1 3 .1.1 3 . x x x x + = + + ≥ = Tương tự ta có 3 3 2 3 ; 2 3 y y z z + ≥ + ≥ Cộng từng vế của các BĐT trên ta được ( ) 3 3 3 6 3( ) * x y z x y z+ + + ≥ + + Mà theo BĐT Cô-si ta có ( ) ( ) 3 3 3 2 2.3 6 ** x y z xyz+ + ≥ = Cộng từng vế của các BĐT (*) và (* *) ta được ( ) ( ) 3 3 3 3 6 3 6 x y z x y z + + + ≥ + + + 3 3 3 1 x y z x y z P ⇒ + + ≥ + + ⇒ ≥ P = 1 chẳng hạn khi x = y = z = 1. Vậy min P = 1. 2,0 . TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ BÍCH CHÂU ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN Thời gian làm bài:. và tên thí sinh: Số báo danh: TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ BÍCH CHÂU ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2011 –