Tong hop BDHSG 1 cua Hieu( Be khóa)

Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 Ngày soạn : 18/09/09 Ngày dạy : 22/09/09 Chủ đề 1 <t1> A/Mục tiêu Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản. Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức Thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán. B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Nghiên cứu kĩ giáo án - HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức II. Kiểm tra bài cũ - HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ? - HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ? III. Bài mới A Lí thuyết 1) Định nghĩa bất đẳng thức. a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0. a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a b > 0. a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. Ví dụ: VD1: 7 5 7 6 > vì ( 7 5) ( 7 6) 1 0 = > VD2: 1 3 1 1 3 4 3 4 < vì 1 3 1 1 1 0 3 4 3 4 2 = < ữ ữ VD3: a 2 + 1 < a 2 + 2 vì (a 2 + 1) - (a 2 + 2) = -1 < 0 2) Các tính chất của BĐT. + Tính chất 1: a > b b < a. + Tính chất 2: a > b và b > c a > c + Tính chất 3: a > b a + c > b + c + Tính chất 4: a > b, c > d a + c > b + d a > b, c < d a - c > b - d + Tính chất 5: a> b, c > 0 ac > bc ; a> b, <0 ac < bc + Tính chất 6: a > b 0, c > d 0 ac > bd + Tính chất 7: a > b > 0 a n > b n với mọi n * N ; a > b a n > b n (n lẻ) a b> a n > b n (n chẵn) Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với 2 số dơng a , b ta có : ab ba + 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra <=> y b x a = c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : baba ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa Phơng pháp chứng minh A > B : - Bớc 1: Xét hiệu A B - Bớc 2: Chứng minh A B > 0 - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . Bài tập: *) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 a b ab 2 + ữ Bài làm : (Bất đẳng thức Côsi) Xét hiệu 2 2 2 a b a 2ab b 4ab ab 2 4 + + + = ữ 2 a b 0 2 = ữ Vậy: 2 a b ab 2 + ữ dấu = xảy ra khi a = b. *) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by)+ + + (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Bài làm : Xét hiệu 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by)+ + + = a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 - a 2 x 2 - b 2 y 2 2byax = (ay bx) 2 0 Vậy: 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by)+ + + dấu = xảy ra khi ay = bx hay a b x y = *) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 a b c d e a(b c d e)+ + + + + + + Bài làm : Xét hiệu 2 2 2 2 2 (a b c d e ) a(b c d e)+ + + + + + + Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 = 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 4 4 4 4 + + + + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ = 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 + + + ữ ữ ữ ữ Vậy: 2 2 2 2 2 a b c d e a(b c d e)+ + + + + + + dấu = xảy ra khi a b c d e 2 = = = = *) Bài tập 4: Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Bài làm : Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. *) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x 4 + y 4 xy 3 + x 3 y Bài làm : Xét hiệu : x 4 + y 4 ( xy 3 + x 3 y ) = ( x 4 xy 3 ) + ( y 4 x 3 y ) = x( x 3 y 3 ) + y( y 3 x 3 ) = ( x y )( x 3 y 3 ) = ( x y ) 2 ( x 2 + xy + y 2 ) = ( x y ) 2 ( ) 2 2 3 1 x y y 2 4 + + 0 Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y . *) Bài tập 6: Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Bài làm : Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8 ab 1 4 ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b ) 2 4 ab ( a b ) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, các phép biến đổi là tơng đơng. Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b IV. Hớng dẫn về nhà *) Giải bài tập 7: Chứng minh bất đẳng thức : 2 22 22 + + baba Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 Hớng dẫn: Xét hiệu : H = 2 22 22 + + baba = 4 )2()(2 2222 bababa +++ = 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . ******************************* Ngày soạn : 20/09/09 Ngày dạy : 23/09/09 Chủ đề 1 <t2> A/Mục tiêu Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản. Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức Thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán. B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Nghiên cứu kĩ giáo án - HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức II. Kiểm tra bài cũ - HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ?. Giải bài tập 46/SBT - HS2: Giải bài tập 7 (tiết trớc) - HS3: Giải bài tập 45/SBT III. Bài mới Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức *) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh x 4 + y 4 2 Bài làm : - Ta có: (x 2 y 2 ) 2 0 (với mọi x, y) x 4 + y 4 2x 2 y 2 x 4 + y 4 + x 4 + y 4 x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 2(x 4 + y 4 ) (x 2 + y 2 ) 2 (1) dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y. - Mặt khác, ta có: (x y) 2 0 (với mọi x, y) x 2 + y 2 2xy 2(x 2 + y 2 ) (x + y) 2 x 2 + y 2 2 (2) (vì x + y = 2) dấu = xảy ra khi x = y. - Từ (1) và (2) x 4 +y 4 2 dấu= xảy ra khi x = y = 1. *) Bài tập 2 : Chứng minh rằng 2 2 2 3 a b c a b c 4 + + + Bài làm : Ta có: 2 2 1 1 a 0 a a 2 4 + + ữ 2 2 1 1 b 0 b b 2 4 + + ữ 2 2 1 1 c 0 c c 2 4 + + ữ Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc: 2 2 2 1 1 1 a b c a b c 4 4 4 + + + + + 2 2 2 3 a b c a b c 4 + + + dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 2 . *) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài làm : Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 *) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a Bài làm : Do 0 < a, b < 1 => a 3 < a 2 < a < 1 ; b 3 < b 2 < b < 1 ; ta có : (1 - a 2 )(1 - b) > 0 => 1 + a 2 b > a 2 + b => 1 + a 2 b > a 3 + b 3 hay a 3 + b 3 < 1 + a 2 b . Tơng tự : b 3 + c 3 < 1 + b 2 c ; c 3 + a 3 < 1 + c 2 a . => 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a *) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức ( ) 2 a b 0 , hãy chứng minh các bất đẳng thức sau : +) ( ) 2 2 2 a b a b 2 2 + + +) ( ) 2 a b 4ab + +) ( ) 2 a b ab 2 + +) ( ) 2 1 1 (a,b 0) 4ab a b > + +) 1 1 4 (a,b 0) a b a b + > + +) 2 2 a b 2(a b ) (a,b 0)+ + > (BĐT Bu-nhi-a-côp-xki) +) a b 2 ab (a,b 0)+ > (BĐT cô-si) *) Học sinh tự luyện tại lớp các bài tập sau: *) Bài tập 6 : Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m) b) b(b + a) ab c) a(a b) b(a b) d) 2 c 1 c 1 2 + *) Bài tập 7 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 *) Bài tập 8 : Chứng minh các bất đẳng thức: a) (x + y + z) 2 3(xy + yz + xz) b) c 2 c 1 2 + *) Bài tập 9 : Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = 2. Chứng minh rằng a 4 + b 4 a 3 + b 3 . *) Bài tập 10 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 1. Chứng minh: a) x 2 + y 2 1 2 b) 1 8 x 4 + y 4 IV. Hớng dẫn về nhà - Xem lại các bài đã chữa - Làm tiếp các bài tập từ 6 đến 10 Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 ******************************* Ngày soạn : 22/09/09 Ngày dạy : 03/10/09 Chủ đề 1 <t3> A/Mục tiêu Học xong tiết này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng và dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức Thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán. B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức II. Kiểm tra bài cũ - HS1: Giải bài tập 10 câu a Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 - HS2: Giải bài tập 10 câu b - HS2: Giải bài tập 9 III. Bài mới 3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng - Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một phép biến đổi tơng đơng . - Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng . - Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức kia cũng đúng . Ta có sơ đồ : A > B A 1 > B 1 A 2 > B 2 A n > B n *) Bài tập 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . *) Bài tập 2 : Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Giải: Từ : (a + b) 2 4ab , (a + b + c) 2 = [ ] cbacba )(4)( 2 +++ => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) 2 c 16 abc => a + b abc Tơng tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 *) Bài tập 3 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 33 22 + + baba ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 3 33 22 + + baba + + + 2 ).( 2 22 ba baba ba . 2 2 + ba a 2 - ab + b 2 2 2 + ba 4a 2 - 4ab + 4b 2 a 2 + 2ab + b 2 3a 2 - 6ab + 3b 2 = 3(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 ( ) 2 3 a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 3 33 22 + + baba Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 Dấu = xảy ra a = b *) Bài tập 4 : Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a 3 + b 3 + ab 2 1 Giải : Ta có : a 3 + b 3 + ab 2 1 <=> a 3 + b 3 + ab - 2 1 0 <=> (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + ab - 2 1 0 <=> a 2 + b 2 - 2 1 0 . Vì a + b = 1 <=> 2a 2 + 2b 2 - 1 0 <=> 2a 2 + 2(1-a) 2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) <=> 4a 2 - 4a + 1 0 <=> ( 2a - 1 ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a 3 + b 3 + ab 2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 1 *) Bài tập 5 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b a a b b Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a b a a b b ( )() baabbbaa ++ 0 [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 2 ( a b )( a b ) 0+ Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : a b a a b b *) Bài tập 6 : Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1 Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Giải: Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8 ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b ) 2 4 ab ( a b ) 2 0 (2) Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 Vì sự nghiệp giáo dục Năm học 2009 - 2010 2008 Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b . 4. Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , - Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x 2 + y 2 2xy Với a, b > 0 , 2+ a b b a *) Bài tập 7 : Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng: 2> + + + + + ba c ac b cb a Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) )(2 cba + cba a cb a ++ + 2 Tơng tự ta thu đợc : cba b ac b ++ + 2 , cba c ba c ++ + 2 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng ). Từ đó suy ra : 2> + + + + + ba c ac b cb a *) Bài tập 8 : Cho x , y là 2 số thực dơng thoả mãn : x 2 + y 2 = 22 11 xyyx + Chứng minh rằng : 3x + 4y 5 Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x 2 + y 2 ) 2 = ( 22 11 xyyx + ) 2 ( 0 x 1< ; 0 y 1< ) (x 2 + y 2 )(1 - y 2 + 1 - x 2 ) => x 2 + y 2 1 Ta lại có : (3x + 4y) 2 (3 2 + 4 2 )(x 2 + y 2 ) 25 => 3x + 4y 5 Đẳng thức xảy ra 2 2 x y 1 0 x 1,0 y 1 y x 3 4 + = < < = = = 5 4 5 3 y x *) Bài tập 9 : Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : a, 6+++++ accbba b, 5,3111 <+++++ cba Giải Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 [...]... + 1 Tức là: 1 1 3 5 2k 1 2k + 1 3(k + 1) + 1 2 4 6 2k 2(k + 1) 2k + 1 1 1 3 5 2k 1 2k + 1 Ta có: 3k + 1 2(k + 1) 2 4 6 2k 2(k + 1) Giáo án Bồi d ỡng HSG môn Đại số 9 1 3k + 1 Vì sự nghiệp giáo dục Do đó chỉ cần chứng minh : 2k + 1 3k + 1 2(k + 1) 1 Năm học 2009 - 2 010 2008 1 3(k + 1) + 1 (**) (t/c bắc cầu) Dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1) 2(3k + 4) (3k + 1) 4(k +1) 2 12 k3... tập 10 : Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = Hớng dẫn: ( 1 + a ) ( 1 + b) ( 1 + c ) ( 1 a ) ( 1 b) ( 1 c ) a + b + c = 1 => 1 a = b + c > 0 Tơng tự 1 b > 0 và 1 c > 0 ( 1 b) ( 1 c ) ( 1 a ) ( 1 b) Mặt khác 1 + a = 1 + (1- b - c) = 1 b + 1 c 2 Tơng tự : 1 + b 2 ( 1 a) ( 1 c) Suy ra ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) 8 ;1 + c... a +1 + b +1 + c +1 a+b+c + 3 = 3,5 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5 *) Bài tập 10 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 Chứng minh rằng : Giải : 1 1 1 + + 9 a b c Theo cô - si ta có : a + b 2 với a , b > 0 b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : + + = ( + + ) 1 = ( + + ) (a + b + c) a b c a b c a b c a a b b c c =1 +... a,b,c,d 1 3b (1 - c) > 2 8c (1 - d) > 1 32d (1 - a) > 3 Giải: Giả sử ngợc lại cả bốn bất đẳng thức đều đúng Nhân từng về, ta có : 2.3.8.32a (1 - b)b (1 - c)c (1 - d)d (1 - a) > 2 3 => [ a (1 a )] [ b (1 b)] [ c (1 c )] [ d (1 d )] > 1 256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a (1 a ) a +1 a 1 = 2 2 => a (1 - a) 1 4 1 4... 2009 - 2 010 2008 a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có : ( => ( ) ( a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 (1 + 1 + 1) a + b a+b + b+c + c+a ) 2 ) +( 2 b+c ) +( 2 ) 2 c+a 3.(2a + 2b + 2c ) = 6 => a + b + b + c + c + a 6 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 1 3 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : ( a + 1) 1 a +1 = b 2 Tơng tự : b + 1 + 1 ; (a + 1) + 1 = a +1 2 2 c +1 2 c +1 Cộng... dục Năm học 2009 - 2 010 2008 Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : a+ 1 1 1 0 ; a + b + c 1 Chứng minh rằng : 1 1 1 + 2 + 2 9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 Chứng minh rằng : 1 1 1 + + 9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 9 x+y+z => 1 + 1 + 1 x y 1 1 1 + +... + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) Vậy (**) đúng với mọi k 3 + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n 3 *) Bài tập 2: Chứng minh rằng : 1 3 5 2n 1 2 4 6 2n 1 3n + 1 (*) (n là số nguyên dơng ) Giải : 1 Vậy (*) đúng với n = 1 2 1 3 5 2k 1 + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ( k N )ta có : 2 4 6 2k + Với n = 1. .. 1 hoặc x = - 1 và y = - 5) *) Bài tập 5: Cho x > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x + Hớng dẫn: A = 4 ( x 1) + 25 x 1 25 + 4 2 4 x 1 25 + 4 = 24 ( ) x 1 x 1 Min A = 24 x = 3,5 *) Bài tập 6: Cho 0 < x . có : =++ cba 11 1 ) 11 1 ( cba ++ .1 = ) 11 1 ( cba ++ .(a + b + c) = 11 1 ++++++++ b c a c c b a b c a b a = ++++++ )()()(3 c a a c b c c b a b b a 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 9 11 1 ++ cba Dấu. < ;1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 => (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) => (1 - a) (1 -. > 0 nên ab > 0 => (1 - a) (1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc