các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7 tham khảo

Bài Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm câu điểm) a) n 16 = 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài Thực phép tính: ( (4 điểm) 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) ( − + − + − + + − ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 − (12.50 + 25) 5.9.7.89 ( − ) =− =− 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x + = x + Ta có: x + ≥ => x ≥ - + Nếu x ≥ - 2x + = x + => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - ≤ x < - Thì 2x + = x + => - 2x - = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 ≤ x ≤ 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có: x–y= (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x−y 1 Do đó: y = => 12 = = 11 = : 11 = 33 => x = 12 ( vòng) => x = (giờ) 33 11 Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện đường thẳng 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI F E ∆ ABM = ∆ DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), F · AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID ⊥ AC Và FAI = CIA (so le trong) A (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) B H Từ (1) (2) => ∆ CAI = ∆ FIA M (AI chung) => IC = AC = AF D (3) (4) E FA = 1v Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( phụ ABC) => EAF = ACB Từ (3), (4) (5) => ∆ AFE = ∆ CAB =>AE = BC (5) a) (2 điểm) A= 212.35 − 6.9 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) 212.34 ( −1) 510.7 ( − ) = 12 − ( +1) 59.73 ( + 23 ) 10 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = b) (2 điểm) 3n + − 2n + + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n + − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1) = 3n × − 2n ×5 = 3n × − 2n−1 × 10 10 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n + − 2n+ + 3n − 2n M 10 với n số nguyên dương a) (2 điểm) x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5  x −1 =2 ⇔ x− = 2⇔   x− =−2    x=2+ = 3 ⇔  x=−2+1 = −5 3   10 212.35 − 212.34 510.7 − = 12 − 3 + 212.35 59.73 + 59.23.7 + 14 ⇔ ( x − 7) ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +1 x +11 =0 1 − ( x − ) 10  =   b) (2 điểm ( x +1) 1 − ( x − ) 10  =     x −7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x −7)10 =0    ⇔  x −7=0⇒ x =7 10  ( x −7) =1⇒ x=8 a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = Từ (1) ⇒ = k ⇒ a = k ; b = k ; c = 6 Do (2) ⇔ k ( + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) · · AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : A AM = EM (gt ) · · MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) I Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · M Suy · B AMI = EMK o H · Mà · AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) o · · ⇒ EMK + IME = 180 K ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) E µ · Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o · · ⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 o o o · · · ⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 A · BME góc ngồi đỉnh M ∆HEM · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o 20 ( định lý góc ngồi tam giác ) Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µ = 200 (gt) nên A · ABC = (1800 − 200 ) : = 800 · ∆ ABC nên DBC = 600 D B Tia BD nằm hai tia BA BC suy · ABD = 800 − 600 = 200 Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a ≤ 0≤ a ≤ => a = 0; 1; 2; ; * a = => a = * a = => a = a = - M C C * a = => a = a = - * a = => a = a = - * a = => a = a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn − Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 9 nhỏ − 10 11 −9 −9 63 63 63 < < < < => => -77 < 9x < -70 Vì 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 −70 x −77 => x = Vậy phân số cần tìm − Câu Cho đa thức P ( x ) = x + 2mx + m Q ( x ) = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y x y xy 84 a/ = ; xy=84 => = = = =4 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = ± 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = ± Do x,y dấu nên: • x = 6; y = 14 • x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y = = 12 5x 4x áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y +7y −1 −5y 2y +5y −1 −3y 2y = = = = = = 12 5x 4x 4x −5x − x 5x −12 5x −12 => 2y 2y = − x x − 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: 1+ 3y y −1 = = − y =>1+ 3y = -12y=> = -15y=> y = 12 −2 15 −1 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề 15 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x + +5 • Ta có : x + ≥ Dấu = xảy ⇔ x= -1 ⇒ A ≥ 5.Dấu = xảy ⇔ x= -1 Vậy: Min A = ⇔ x= -1 • B= ( ) 12 x + 15 x + + 12 = =1+ 2 x +3 x +3 x +3 Ta có: x ≥ Dấu = xảy ⇔ x = ⇒ x + ≥ ( vế dương ) ⇒ 12 12 12 12 ⇒ ≤ ≤ ⇒ 1+ ≤ 1+ x +3 x +3 x +3 ⇒ B ≤ Dấu = xảy ⇔ x = Vậy : Max B = ⇔ x = Câu 6: a/ Xét ADC BAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE Xét AIE TIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC ⊥ BE b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP Xét AHC ⊥ EMA ( đpcm) MH EPA có: CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( => AHC = ABC = EMA câu b) EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA ⊥ CÂU 1.a 1.b 2.a HƯỚNG DẪN CHẤM Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa BC (đpcm) a + a + a (a + 1) + =a+ = a +1 a +1 a +1 a +a+3 a số nguyên nên số nguyên số nguyên hay a +1 a +1 Ta có : a+1 ước ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 Vậy với a ∈ { − 4,−2,0,2} a2 + a + số nguyên a +1 ĐIỂM 1Điểm 1Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau : 1 − y = x = ⇒   x − = −1  y = 1 − y = −1  x = ⇒ Hoặc  2 x − = y = 0,25 0,25 Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) a c Hay ad=bc Suy = ( ĐPCM b d 3.b 0,25 0,5 0,5 Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) Gọi số số hạng tổng n , ta có : n(n + 1) = 111a = 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1 2x(1+23) = 144=> 2x = 16 2x = 22 => x = b) x − 2009 + x − 2010 = => x − 2009 + 2010 − x = Ta l¹i cã x − 2009 + 2010 − x ≥ x − 2009 + 2010 − x = x − 2009 + 2010 − x =  (x - 2009).(2010 - x) ≥  2009 ≤ x ≤ 2010 VËy x − 2009 + x − 2010 =  2009 ≤ x ≤ 2010 a c a b a a b b a b a c ab = nªn = => = = Hay = = b d c d c c d d c d b d cd 2 2 q 7a 11a 8b 3ab 7a + 3ab 11a − 8b = = Ta l¹i cã = = = 7c 11c 8d 3cd 7c + 3cd 11c − 8d a + 3ab 7c + 3cd = Hay 11a − 8bc 11c − 8d a c e b) Gọi phan số cần tiìm b ; d ; f theo bµi ta cã: 3/ a) V× a : c : e = : : 7; Đặt a c e b d f = = = k; = = = p Ta cã a= 3k; c = 5k; e =7k; Ta l¹i cã b : d: f =2 : : b = 2p; d =3p; f = 4p a c e 59k 295 k + + = 12 => = => = b d f 24 12 p 24 p a 15 c 25 e 35 => = = ; = ; = b 2 d f Ba phân số tối giản cã tæng b»ng 12 24 4/ Ta cã 2m - 2n > => 2m > 2n => m > n Nªn (1)  2n(2m-n – 1) = 28 V× m-n > => 2m-n– lÏ => 2m-n-1 =1 => 2m-n= 21 => m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 5/ E A D J K B I C a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD b) Tõ ADC = ABE => ADC = ABE Gọi K giao điểm AB CD Xét hai tam giác AKD IKB có AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên) 0 VËy KAD = KIB = 60 => BIC = 120 c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB nên IB = BJ (1) Xét tám giác IAB tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt) B1 = B2 ( B1 + B3 = B2 + B3 = 600) VËy tam gi¸c IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2) Tõ (1) vµ (2) => IA + IB = ID d) J nằm I D, IAB = JBD => AIB + DJB = 1200 ... n(n + 1) = 111a = 3. 37. a Hay n(n+1) =2.3. 37. a 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1 => -77 < 9x < -70 Vì 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 ? ?70 x ? ?77 => x = Vậy phân số cần tìm − Câu Cho đa thức P ( x ) = x + 2mx + m Q