Cực trị

www.truongthi.com.vn Môn Toán CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp bất đẳng thức Ví dụ 1. Tìm max (giá trị lớn nhất) của biểu thức Mx1 yy 1x=+++ với x 2 + y 2 = 1 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Buniakovski ta có () ()() () 22 22 Mx y 1 y 1x 2 x y 22x y ≤+ +++=++≤+ + 22=+ dấu bằng đạt được khi x = y = 2/2. Vậy max M = 22+ Ví dụ 2. Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm max và min của A = x + 2y + 3z. Giải. Sử dụng bất đẳng thức Buniakovski, ta có () ( ) 2 223222 x2 y 3z 1 2 3 x y z1++ ≤ ++ ++ =4 Dấu bằng xảy ra khi xyz t 123 === ⇒ x = t, y = 2t, z = 3t Từ đó t 2 + 4t 2 + 9 t 2 = 1 ⇔ 1 t 14 =± Vậy min A =  14 , max A = 14 . Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số sau a) y cos x sin x, x 0, 2 π   =+ ∈     b) y 12cosx 12sinx, x 0, 2 π   =+ ++ ∈     Giải. a) áp dụng bất đẳng thức (b.đ.t) Buniakovski ta có () 2 y 2cosx sinx≤+≤ 22 22cosx sinx 22≤+= Từ đó y 22≤ . Dấu bằng xảy ra khi cos x = sin x = 2 /2. Vậy max y = 4 8 . 2 1 www.truongthi.com.vn Môn Toán Mặt khác 22 sin x sin x, cos x cos x≥≥ ⇒ y ≥ 1, dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy min y = 1. b) y 2 ≤ 2(2 + 2cos x + 2sin x) ≤ 4(1 + cos x + sin x) ≤ ( 41 2+ ) . Dấu bằng xảy ra khi cos x = sin x = 2 /2. Vậy () max y 41 2=+ Mặt khác ()() 2 y 2 1 sin x cos x 2 1 2 sin x cos x 4 sin x cos x=+ + ++ + + Đặt t = sin x + cos x = 2sin x ,x 0, 42 π π  +∈      Ta có 1t . Từ đó 2≤≤ () 22 y 21 t 2 2t 2t 1, 1 t 2=++ +− ≤≤ Hàm z = 2t 2 + 2t 1 có z’ = 4t + 2 > 0 trên 1, 2     Từ đó y đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 1. Vậy min y = () ( ) 21 1 23 22 3 ++ = + áp dụng bất đẳng thức côsi Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 y 2x , x 0 x =+ > Giải Ta có, 22 11 y xx 3x.x. 3 xx =++ ≥ =, Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 2 1 x =x ⇔ x = 1 Vậy min y = 3. Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số a) y zx 1 xz y 2x y z3 u, xyz −+ −+ − = x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3. b) () 3 2 xy v ; xy + =− x > 0, y > 0. GIẢI 4 2 www.truongthi.com.vn Môn Toán a) Ta có ()( 1 x1 1x1 x11 2 −= − ≤ −+ ) (b.đ.th.Côsi) () 11 y 22. y 2 y 22 −= − ≤ 2 () 11 z3 3.z3 z 32 −= − ≤ 3 Từ đó 111 u1 2 23  ≤++   Dấu bằng đạt được khi 1 = x  1, 2 = y  2, 3 = z  3 hay x = 2, y = 4, z = 6. Vậy max u = 6. b) Ta có max v = - min (-v) và () 3 2 3 3 222 yy y x 3x xy 22 27 4 v 4 xy xy xy  ++  +  −= = ≥ = Dấu bằng xảy ra khi x = y/2. Vậy Max v = - min (-v) = - 27/4. 2. Phương pháp khảo sát hàm số Ví dụ 5. Tìm max và min của hàm số y = (a + x) n + (a  x) n , x ∈ [a, a], a> 0, x > 1 Giải. y’ = n[(a + x) n  1  (a  x) n  1 ] Ta thấy y’ = 0 ⇔ x = 0 Rõ ràng y’ (x) < 0 khi x < 0 và y’(x) > 0 khi x > 0. Vậy max y = y(a) = y(a) = (2a) x min y = y(0) = 2an. Chú ý : với hàm y = (a + x) α + (a  x) α ,  a ≤ x ≤ a, a > 0 0 < α < 1 thì ta vẫn có x = 0, và y’(x) > 0 với a < x < 0 và 0 < x ≤ a. Vậy max y = y(0) = 2a α và min y = (2a) α . Ví dụ 6. Giả sử D = { () } x, y ,z :x, y ,z 0 vµ x + y + z a>≤ ở đây a > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 6 3 www.truongthi.com.vn Môn Toán 1) 111 Px y z, x y z =+++++ 2) 1 Qxyz x y z =+ Trên D. Giải. a) Ta có 111 9 x y zx y z ++≥ + + Đặt u = x + y + z. Khi đó 0 < u ≤ a và 9 u ≥+pu . Kí hiệu () 9 fu u u =+ . Ta có () 2 22 9u9 f' u 1 ; uu − =− = () f’(u) = 0 ⇔ u = 3 (vì u > 0) và 3 18 u 0 u f" = > với u > 0 Vậy: a) Với a ≤ 3, min f(u) = f(a) = 9 a a + và p ≥ a + 9/a. Dấu “=” xảy ra khi x y za a xyz 3 ++=    ===   ⇒ min p = 9 a a + b) Với a > 3, min f(u) = f(3) = 6 và p ≥ 6, dấu bằng xảy ra khi x y z3 x y z1 ++=   ===  . Vậy min p = 6. 2) Ta có a ≥ x + y + z ≥ 3 3x y z ⇒ 0 < t = xyz ≤ a 3 / 27. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = a/3. Từ đó 1 Qt t ≥+ =: g(t). Ta có () 2 22 1t g' t 1 tt 1 − =− = , t ∈ (0, a 3 /27) a) a ≤ 3. Khi đó a 3 /27 ≤ 1 và g’(t) < 0 với t ≤ a 3 / 27. Vậy min g(t) = g(a 3 /27) = 3 3 a2 27 a + 7 Từ đó Q ≥ g(a 3 /27) dấu bằng xảy ra khi x = y = z = a/3 Vậy min A = a 3 /27 + 27/a 3 . b) a > 3. Ta thấy g’ (t) < 0 khi t < 1 và g(t) > 0 khi t > 1. Do đó min g(t) = g(1) = 2. Vậy Q ≥ 2. Dấu bằng đạt được khi x = y = z = 1. 8 4 www.truongthi.com.vn Môn Toán Từ đó min Q = 2. Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số sau 1) () () 22 1 Fx x 2a x 3ax 3a,0 x 2a,a 0 4 =+ −+ ≤≤> 2) () () 22 xa1xa a Fx , x 2a,a 0 x2 −− + =≤≤> Giải . 1) Ta có ()( ) 22 22 x2a2x3a 1 F'(x) x 3ax 3a 4 2x 3ax 3a   +− =−++     −+   = 2 22 4x 5ax ;x R. 8x 3ax 3a − ∈ −+ F’(x) = 0 khi x = 0 và 5a/4. Ta cũng có F’(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 5a/4, F’(x) < 0 khi 0 < x < 5a/4. Vậy () ( ) () 2 2 0x2a a3 max F max F 0 , F 2a max , a 2 ≤≤  ==    = a 2 22 0x2a 5a 1 13a 13a 13 13a min F F 44416 64 ≤≤    == =     2) Ta có () 22 2 xa F' x x − = F’(x) = 0 ⇔ x = ± a Nhưng x ∈ [a/2, 2a] nên chỉ cần xét cực trị tại x = a Ta có F’(x) < 0 khi a xa 2 ≤< và F’(x) > 0 khi a < x ≤ 2a Vậy a x2a 2 a3 max F(x) max F , F(2a) max 1 ,1 3a 24 ≤≤     ==+         a + 1 3a nÕu a 2/3 4+3a nÕu a < 2/3 2 +≥   =    và a x2a 2 min F(x) F(a) 1 a ≤≤ ==+ Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số sau: 1) () 222 Fx x2ax2a x2bx2b=−++−+ 2 10 5 www.truongthi.com.vn Môn Toán xab, 0a≤+ <<b 2) () 3 3 Fx x 3x 2, 2 x 2=−+−≤≤ Giải. 1) F xác định với mọi x ∈ R. Ta có () 222 xa xb F' x x2ax2a x2bx2b −− =+ −+ −+ 2 , () axb 2ab F' x 0 x xa bx ab ab <<   =⇔ ⇔=  −− + =   Ta thấy 2ab ≤ (a + b) 2 ⇒ 2ab ab 0ab < ≤+ + Ta thấy F’(x) khi 2ab x ab < + F’(x) > 0 khi 2ab x ab > + Vậy xab max F(x) ≤+ = max (F( a  b), F(a + b)) = F( a  b) = () () 22 22 2a b a a 2b b ++++ + và ( ) 22 xab 2ab min F(x) F 2 a b ab ≤+  ==+  +  2) Đặt y = x 3  3x + 2 Ta có y’ = 3x 2  3, y’ = 0 ⇔ x = ± 1 và y’(x) > 0 ⇔ x <  1 hoặc x > 1 y’ (x) < 0 ⇔  1 < x < 1 Điểm cực đại (1, 4), điểm cực tiểu (1, 0) Vậy () ( ) ( ) ( ) 2x2 max y xmax y 1, y 24 −≤≤ =− = và () ( ) ( ) ( ) 2x2 min y xmin y 2, y 10 −≤≤ =− = Do đó 3 2x2 2x2 max F(x) 4, min F(x) 0 − ≤≤ −≤≤ == 3. Phương pháp miền giá trị Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm 1) 2 x1 y xx + = ++1 12 6 www.truongthi.com.vn Môn Toán 2) () 2 22 2 2 6ax y a3x a a12x =  +++   , x ∈ (0, + ∞), a > 0 Giải a) Giả sử m là một giá trị của hàm số, khi đó có x sao cho 2 x1 m xx + = ++1 ⇔ mx 2 + (m – 1)x + m - 1 = 0. Phương trình này có nghiệm nên với m ≠ 0 ta phải có ∆ = (m – 1) 2 – 4m(m – 1) 0 ≥ Hay: - 3m 2 + 2m + 1 ≥ 0 ⇔ 1 m1 3 − ≤≤ Mặt khác m(0) = 1, () 1 m2 3 − =− . Ngoài ra với x = - 1, ta có m(-1) = 0. Vậy m = 0 cũng là một giá trị. Từ đó: max y = 1, min y = - 1/3 2) Giả sử y là một giá trị của hàm. Tức là có x > 0 sao cho () 2 22 2 6ax y a3x a a12x = +++ 2 Nếu đặt t = 2 a12x+ 2 thì x > 0 ⇔ t > a (trên R + ) () () () 22 22 2a t a y 2a t t a − = ++ , t ∈ (a, +∞). hay () 2 2a t a y t3a − = + 2 ⇔ y 2 t 2  2at + a 2 (3y + 2) = 0 (1) a) Với y = 0 ⇔ t = a, giá trị này không thuộc tập xác định. b) Với y ≠ 0, (1) có nghiệm thì ∆’ = a 2  a 2 y(3y + 2) ≥ 0 hay 3y 2 + 2y  1 ≤ 0 ⇔  1 ≤ y ≤ 1/3. Nhưng y > 0 nên 0 < y ≤ 1/3. Với y = 1/3, ∆’ = 0 và t 1 = t 2 = a/ (1/9) = 9a > a vậy y = 1/3 thuộc miền giá trị và là giá trị lớn nhất. ( ) ta max y t1/ > = 3 Ta thấy () ta0 lim y t →+ = 0 . Vậy hàm số không có giá trị bé nhất. 8. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số 14 7 www.truongthi.com.vn Môn Toán () 2 2 xcos 2x cos y, x2xcos 1 α− + α =< −α+ 0α<π Giải Mẫu số x 2 - 2xcos α + 1 = ( x - cosα) 2 + sin 2 α > 0. Giả sử m là một giá trị của y, thế thì có một số x ∈ R sao cho (m - cos α )x 2 – 2(mcos α - 1)x + m - cos α = 0 a) m = cos α là một giá trị m = y (0) b) Với m ≠ cos α, ta có ∆’ = (m cos α - 1) 2 - (m - cos α) 2 ≥ 0 ⇔ - sin 2 α (m 2 – 1) ≥ 0 ⇔ - 1≤ m ≤ 1 (vì sin 2 α > 0) m = ± 1 ứng với x = 1. Vậy max y = 1, min y = - 1 16 8 . vậy y = 1/3 thuộc miền giá trị và là giá trị lớn nhất. ( ) ta max y t1/ > = 3 Ta thấy () ta0 lim y t →+ = 0 . Vậy hàm số không có giá trị bé nhất. 8. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của. www.truongthi.com.vn Môn Toán CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp bất đẳng thức Ví dụ 1. Tìm max (giá trị lớn nhất) của biểu thức Mx1 yy 1x=+++ với x 2 + y 2 =. 2) Ta có () 22 2 xa F' x x − = F’(x) = 0 ⇔ x = ± a Nhưng x ∈ [a/2, 2a] nên chỉ cần xét cực trị tại x = a Ta có F’(x) < 0 khi a xa 2 ≤< và F’(x) > 0 khi a < x ≤ 2a Vậy a x2a 2 a3 max