Đề+Đáp án kỳ thi tuyển sinh lớp 10 NH 2011-2012 (Chuyên PHan Bội Châu -Nghệ An)

www.VNMATH.com Trang 1/5 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm). a) Giải phương trình: 3153 85 x xx. b) Giải hệ phương trình: 22 3 112 223 xy x y xxyy         Câu 2 (3,0 điểm). Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 22 52 4400xxyyx. Câu 3 (6,0 điểm). Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung). M là điểm di động trên d. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng: a) IC BC = IA BD và IA = IB. b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d. Câu 4 (2,0 điểm). Cho các số thực dương ,,.abc Chứng minh rằng:           222 222 3 3 3 3 a b b c c a ab bc ca abc a abc b abc c abc       . Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 5 (2,0 điểm). Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1 4 chứa đa giác đó. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề thi chính thức www.VNMATH.com Trang 2/5 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2011 - 2012 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: TOÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 7,0 a 3,5 Điều kiện: 5 5 8 x (*) 0,5 Phương trình đã cho tương đương với: 2 31532459 85 x xxxx   2 45 9 4 10xx x 0,5 22 5 2 45 9 16 80 100 x xx x x          0,5 2 5 2 540 x xx          0,5 5 2 1 4 x x x               0,5 4x 0,5 Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là 4x  0,5 b 3,5 Hệ đã cho    2 2 1( 1) 4 112 (1)1 3 11 xy x y          0,5 Đặt 1, 1ux vy  Hệ đã cho trở thành 22 4 112 113 uv uv         , ĐK : 1 1 u v        (*) 1,0   22 2222 4 322 1 uv uv uvuv          22 4 8 uv uv        0,5 4 4 uv uv        0,5 2 2 uv uv        ( TM(*)) 0,5 Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 13 ; 13 xx yy        . 0,5 www.VNMATH.com Trang 3/5 2 3,0 Ta có 22 52 4400xxyyx  22 21 41xxy 0,5 Vì ,xy , 21 x  là số nguyên lẻ và 22 41 5 4   nên 0,5   2 2 21 25 16 x xy        21 5 4 x xy       1,0 Từ đó suy ra các cặp  ; x y cần tìm là      3;1 ; 3; 7 ; 2;6 ; 2; 2  1,0 3 6,0 a 4,0 Xét tam giác IAC và tam giác BDC có   I AC BDC 0,5   I CA BCD 0,5 Suy ra I AC đồng dạng với B DC (g.g) 0,5 I CBC I ABD  (1) 0,5 Tương tự ta cũng có I CAC I BAD  (2) 0,5 Ta có M BC đồng dạng với M DB (g.g) M CBC M BBD  (3) 0,5 Tương tự ta có: M CAC M AAD  (4) 0,5 Vì MA = MB nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra IA = IB 0,5 b 2,0 Kẻ OH d tại H. Gọi K là giao điểm của OH và AB. Ta có M, O, I thẳng hàng và OI  AB. 0,5  OIK đồng dạng với OHM suy ra OK.OH = OI.OM 0,5 Mà OI.OM = OB 2 2 OB OK OH  (không đổi) suy ra K cố định. 0,5 Vì OI  AB và O, K cố định nên I thuộc đường tròn đường kính OK cố định (ĐPCM). 0,5 M H d A B D N C I O K www.VNMATH.com Trang 4/5 4 2,0 BĐT cần chứng minh tương đương với 222 3 1111 abc bca a b c c a b c a b bc ca ab             (1) 0,25 Đặt ,, ,,0;1 abc x yzxyzxyz bca    0,25 Khi đó (1) trở thành:  3 1111 xyz xy yz zx x y z zxy              3 1 x yyzzx xyyzzx xyz xyz        3 11 x yyzzx xyyzzx   (2) (do xyz = 1) 0,75 Đặt  3 x yyzzx t 2t 0,25 Khi đó (2) trở thành 3 11tt 32 112ttt    210tt t  (luôn đúng do 2t  ). Suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra  abc   . 0,5 5 2,0 Gọi A, B là 2 điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho A, B chia biên đa giác thành 2 đường gấp khúc có độ dài bằng nhau và bằng 1 2 . 0,5 Gọi O là trung điểm của AB . Xét hình tròn tâm O bán kính 1 4 R  . 0,25 Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho. Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm M thuộc cạnh đa giác và M nằm ngoài hình tròn tâm O bán kính 1 4 R  . 0,25 Khi đó 1 2 MA MB ( Độ dài đường gấp khúc chứa M ) (1). 0,5 Gọi N là điểm đối xứng với M qua O . Ta có 1 2 2 MA MB MN R   (2). Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM. 0,5 N A B O M www.VNMATH.com Trang 5/5 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. . www.VNMATH.com Trang 1/5 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao. AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2011 - 2012 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CH NH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: TOÁN . bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một h nh tròn bán k nh 1 4 chứa đa giác đó. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Đề thi ch nh thức www.VNMATH.com