7.bdt.pdf

NGUYỄN ANH KHOA (10 Toán, THPT Lê Khiết) I. Lời nói đầu: Bài toán tìm cực trị của một biểu thức hay chứng minh một bất đẳng thức là một dạng toán khó trong toán sơ cấp. Đặc biệt với các bài toán mà các biến bị ràng buộc bởi một số điều kiện nào đó thì việc tìm cực trị là điều khó khăn vì ta rất dễ nhầm lẫn về điểm rơi khi sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để đánh giá. Vì thế việc dự đoán điểm rơi của bài toán ngay từ đầu là một điều rất quan trọng, nó giúp ta định tốt hướng lời giải của bài toán không dẫn đến sai lầm. Bài viết này sẽ giới thiệu cho các bạn về hướng làm đó. II. Một số ví dụ: Ta đến với các ví dụ sau: Problem 1: (Tạp chí Toán học& tuổi trẻ) Cho , ab thỏa mãn điều kiện: 04 234 ba abab <≤≤   ≤+  Tìm max ( ) 22 , Pabab =+ Solution: Định hướng giải:Dự đoán điểm rơi của bài toán đạt tại 4,3 ab == , khi đó max 22 43 P =+ . Trước hết ta có nhận xét sau: nếu như ta biến đổi theo chiều thuận tức là tách ghép các hạng tử trong biểu thức P để đánh giá cực trị sẽ khó vì việc tìm max của biểu thức P hơi ngược với lối thông thường (bạn đọc có thể làm thử ). Do đó ta nảy ra ý tưởng là sẽ biến đổi theo chiều nghịch tức là biến đổi từ 22 43 + . 222 12 434 aba εε   ++      Trong đó: 12 , εε phải thỏa mãn: 22 121 222 12 ab bab εεε εε  +==  ⇔  ==−   Tới đây ta giải bài toán như sau: ( ) ( ) 22222 22222222 4341434 43 2 babbab abaaba   +=++−≥++−      ( ) 22 22222222 1344 2 2 ab babbabab aba  +  =+−≥+−=+      Vậy max(,)25 Pab = . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ) ,4,3 ab⇔=. Note: Sau đây là hai cách giải khác của bài toán này đã được đăng trên số 371. C1: Xét trường hợp: 03,04 ba <≤<≤ thì 2222 4325 ab +≤+= . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Xét trường hợp: 34 ba <≤≤ thì ( ) 2 0431 ababab <−<−=⇒−<− . Do đó: ( ) 22 23443 abababababab +<+−≤++−=+ . Sử dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22222222 43252525 ababababab +≤+⇔+<+⇔+< C2: Do 04 ba <<≤ nên ( ) ( ) 2 40347 abaababaa −−≤⇔+≤+− ,dựa vào điều kiện của bài toán suy ra 2 277 ababaaba ≤+−⇔≤− . Do đó: ( ) ( )( ) 2 2222 22 721449 24325(1) abaaaa abaa +≤+−=−+ ⇔+≤−−+ Với 2222 033318 baab <<<⇒+<+= . Với 34 a ≤≤ thì ( ) ( ) 430 aa −−≤ . Từ (1) suy ra 22 25 ab +≤ . Problem 2: (Nguyễn Anh Khoa) Cho ,,,0 abcn > thoả mãn điều kiện sau: 4 3443 24366 a ab abbcac ≥   +≥   ++≥  Tìm min ( ) ,, nnn Pabcabc =++ Solution: Định hướng giải: Dự đoán điểm rơi đạt tại 4,3,2 abc === . Từ cấu trúc của biểu thức P ta liên tưởng đến phải dùng bất đẳng thức phụ sau: ( )( ) 1 1 ,,,0(*) 3 n nnn n XYZXYZXYZn − ++≥++∀>( bạn đọc tự chứng minh BĐT này ). Dấu “=” của bất đẳng thức trên đạt tại XYZ == nhưng ta không thể sử dụng trực tiếp BĐT trên cho biểu thức P được mà phải ngầm hiểu rằng trong này ;; 432 abc XYZ === . Đồng thời với mong muốn trong quá trình giải phải làm xuất hiện các giả thiết của bài toán nên ta viết lại biểu thức P dưới dạng giả định sau: 123 432434 nnnnnn abcaba εεε   +++++      Trong đó 123 ,, εεε phải thỏa mãn : 123 1 122 13 42 332 243 n n nnn nnn εεε ε εεε εε  ++= =   +=⇔=−   ==−  Tới đây ta giải quyết bài toán như sau: Ta có: ( ) ( ) 23243 432434 nnnnnn nnnnn abcaba   +++−++−      Sử dụng BĐT (*): PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 111 111 .33 4323432312683 n nnnn n nnn abcabcabbcac −−−   ++≥++≥++≥=      2 111 1111 .22 4324322432 n nnn n nnn ababab −−−     +≥+≥+≥=        1 4 n a  ≥   Do đó ( ) ( ) 3.22.3243432 nnnnnnnn P ≥+−+−=++ . Vậy min ( ) ,,432 nnn Pabc =++ . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ) ,,4,3,2 abc⇔=. Problem 3: (Sưu tầm) Cho ,,0 abc > và thỏa mãn điều kiện: ( ) 2 25 c abab ≥    ++≥   Tìm min ( ) 4222 4 913227 ,,46 3227 Pabcaabcc c =+++++ Solution: Định hướng giải: Dự đoán điểm rơi đạt tại 1,2 abc === . Trước hết ta có 3232 .2 2727 c ≥ . Mặt khác nhận thấy rằng hạng tử 4 27 c có đặc điểm biến c nằm dưới mẫu không thể dung giả thiết của bài toán để đánh giá được vì vậy ta nghĩ ngay tới việc tách ghép hạng tử 2 91 32 c sao cho khi sử dụng BĐT AM-GM vừa đảm bảo được dấu “=” vừa làm mất đi biến 4 c nằm dưới mẫu: 3 222 4 1 3cc c ααα ++≥ . Đẳng thức xảy ra 2 46 111 64 c cc αα=⇔==. Từ đây dẫn tới việc ta sẽ tách 222 9127 2 3232 ccc =+ . Tiếp theo là ta nghĩ cách đánh giá các hạng tử còn lại: 4222 462 aabc +++(*) Từ hai giả thiết của bài toán ta có đánh giá sau: ( ) 2222222 22 4433 2 244222 abacbcc abababacbcab +++ ++≤++≤++=++ Khi đó ta tách (*) như sau: 2 4222 33 24 222 c aaab  −+++   . Việc còn lại hạng tử 42 2 aa − vừa đúng với đánh giá ( ) 2 2 10 a −≥ . Ta có lời giải bài toán như sau: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ( ) ( ) 222 4222 4 3332132.227.311419 ,,242714.5 2222764642716432 ccc Pabcaaabc c  =−+++++++≥−+++=   Vậy min ( ) 11419 ,, 32 Pabc = . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ) ,,1,1,2 abc⇔= Problem 4: (VUT Contest) Cho ,,0 abc > và thỏa mãn điều kiện { } { } 04 3min6812;72 2min34;24 cba abcabc abab  <≤≤≤  ≤++   ≤+  Tìm max ( ) 222 ,, Pabcabcabc =+++++ Solution: Nhận xét: Bài toán này thuộc cùng một dạng với bài toán 1. Định hướng lời giải:Dự đoán điểm rơi đạt tại 4,3,2 abc === . Trước hết ta tìm chặn trên của abc ++ bằng cách biến đổi theo chiều nghịch. Ta có: 123 432434 abcaba εεε  +++++   Trong đó: 123 1 122 13 ac bbc cab εεε ε εεε εε ++= =    +=⇔=−   ==−   Tương tự tìm chặn trên của 222 abc ++ bằng cách biến đổi theo chiều nghịch. Ta có: 222222 456 432434 abcaba εεε   +++++      . Trong đó: 2 2 456 4 222 455 222 46 ac bbc cab εεε ε εεε εε  ++= =   +=⇔=−   ==−  Tới đây ta có lời giải bài toán như sau: . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4324342412 432.3 2. cbcabcbcab abcabaabcab  ++=+++−++−≥+−+−   ( ) ( ) 32 cbcababc ≥+−+−=++ (1) . ( ) ( ) 222222 22222222 432434 432cbcab abcaba   ++=+++−++−      ( ) ( ) 22 22222 4332241434 2 cbcab abbccaaba   ≥+++−++−      () () 22 22222 12681344 2 cabab cbcab abcaba  +++  =+−+−      ( ) ( ) 22222222 32 cbcababc ≥+−+−=++ (2) Từ (1)&(2) suy ra max ( ) ,,38 Pabc = . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ) ,,4,3,2 abc⇔=. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Problem 5: (Việt Nam MO – 2001) Cho các số thực dương ,, xyz thỏa mãn điều kiện: { } 1 min, 2 36 31025 zxy xz yz  ≤≤    +≥   +≥    Tìm max ( ) 222 123 ,,Pxyz xyz =++ . Solution: Định hướng giải: Dự đoán điểm rơi đạt tại 6151 ;; 23 2 xyz===.Do sự xuất hiện của hai dữ kiện thứ 2 và 3 của đầu bài nên ta có ý tưởng tách biểu thức P thành hai phần để đánh giá cực trị. ( ) 2222 1111 ,,2Pxyz xzyz   =+++     Ta có: 2 22222 1121 1 z xzxzx  +=+−   .(1) Mà: ( ) 2 222 2 22 2 2 63222 32 2223 2 10 xxzz z xx z x   ≤+≤+⇒≤+      −≥      (2) Từ (2) suy ra () 22 22 228 121 33 zz xx  ≤++−=   (*) Ta có: 2 22222 1121 1 z yzyzy  +=+−   (3) Mà : 2 2 222 22 2 2 33232 2222 55 5 10 z yzyz yy z y   ≤+≤+⇒≤+      −≥      (4) Từ (4) suy ra () 22 2222 32131126 3212 555 zz yyyz   ≤++−=⇒+≤     (**) Từ (*)&(**) suy ra max ( ) 118 ,, 15 Pxyz = . Đẳng thức xảy ra ( ) 6152 ,,;; 232 xyz  ⇔=    Comment: Điểm chung của các bài toán trên đó là tính bình đẳng (tình đối xứng) trong mỗi bài toán đều bị phá vỡ. Dẫn tới điểm rơi của các biến lệch nhau, việc dự đoán điểm rơi tùy thuộc vào dữ kiện và đặc điểm của mỗi bài toán. Cính đều này đã tạo nên sự đa dạng, phong phú cho những dạng toán như thế này. III. Lời kết: Qua một số bài toán trên có lẽ các bạn đã phần nào hiểu được tầm quan trong của việc dự đoán điểm rơi trong mỗi bài toán cực trị trước khi nghĩ đến lời giải. Có thể khẳng định đây là việc làm đầu tiên khi PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com đứng trước các bài toán cực trị. Tuy nhiên trong một số bài toán thì việc xác định điểm rơi là một điều khó khăn (chẳng hạn điểm rơi của bài toán là số vô tỉ), chả lẽ lúc đó ta “bó tay”? Câu trả lời là không, bạn đọc hãy theo dõi bài toán sau và bài toán này sẽ thay cho lời kết của chúng ta. Problem 6: (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho ,, mnp là độ dài ba cạnh tam giác cho trước và ABC ∆ nhọn. Tìm min tan.tan.tan mnp AABC = Solution: Xét biểu thức 1 cot.cot.cot mnp BABC A == . Bài toán qui về việc tìm max của biểu thức B với điều kiện cotcotcotcotcotcot1 ABBCCA ++= . Và từ đây ta nghĩ ngay rằng bài toán có thể được giải quyết bằng BĐT AM-GM suy rộng, do đó ta đưa vào các tham số dương ,, xyz ( được xác định sau) sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cotcot.cotcot.cotcotcot.cot.cot xyzxzxyyz BABBCCAABC +++ == Ta chọn ,, xyz thỏa mãn : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 xmnp xzm xynymnp yzp zmnp  =+−  +=    +=⇔=−++   +=   =−+   Ta có: cotcotcotcotcotcot y xz xyz BABBCCA xyzxyz   =     Áp dụng BĐT AM-GM suy rộng ta có: ( ) ( ) 1cotcotcotcotcotcot1 . xyz xyzxyz xyz BABBCCA xyz xyzxyz xyzxyz ++ ++++    ≤++=    ++++   () ()() ()()() xyzmnp xyz xyzmnpmnpmnp xyz xyzmnp xyz BA xyz xyzmnpmnpmnp ++++ ++−++−++− ++++ ⇒≤⇒≥= ++−++−++− Đẳng thức xảy ra cotcotcotcotcotcot ABBCCA xyz ⇔== ()( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) cot cot cot mnpmnp A mnpmnp mnpmnp B mnpmnp mnpmnp C mnpmnp  −++− =  −++++   −+++−  ⇔=  −+++   −+−++  =  +−++  Qua bài toán trên ta thấy khi không dự đoán được điểm rơi của bài toán ta đưa vào các tham số để giải hệ phương trình sau đó ta mới tìm được điểm rơi của bài toán. Tuy đôi ta phải giải quyết nhiều hệ phương trình phức tạp nhưng đây được coi là công việc bắt buộc khi ta gặp phải những bài toán không đối xứng không hoán vị các biểu thức lệch nhau. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com IV. Bài tập tự luyện: Problem 7: (Tạp chí Toán học&Tuổi trẻ) Cho các số thực ,, xyz thỏa mãn điều kiện 08 1 34max;8 2 zyx xyxyxyzz <≤≤≤     +≥−     Tìm max ( ) 555 ,, Pxyzxyz =++ . Problem 8: (Võ Duy Khanh) Cho các số dương ,, abc thỏa mãn điều kiện: 5 4545 121520615 a ab abc ≥   +≥   ++≥  Tìm min ( ) ( ) ( ) ( ) 432432432 ,,111 Pxyzaaaaabbbbbccccc =++++++++++++++ Problem 9: (Nguyễn Anh Khoa) Cho ,, xyzR + ∈ và thỏa mãn điều kiện: { } 1 max, 3 236 103523 xyz yzyz xzxz  ≤≤    ≤+   ≤+    Tìm min ( ) 222 ,,549 Pxyzxyz =++. Problem 10: (Olympic 30-4) Cho [ ] 0;1 x∈ . Tìm max 22 ()91131 Pxxxxx =++− . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com . Ta có lời giải bài toán như sau: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com ( ) ( ) 222 4222 4 3332132.2 27. 311419 ,,24 271 4.5 222 276 464 271 6432 ccc Pabcaaabc c  =−+++++++≥−+++=   . ) 4222 4 9132 27 ,,46 32 27 Pabcaabcc c =+++++ Solution: Định hướng giải: Dự đoán điểm rơi đạt tại 1,2 abc === . Trước hết ta có 3232 .2 272 7 c ≥ . Mặt khác nhận thấy rằng hạng tử 4 27 c có. bài toán này đã được đăng trên số 371 . C1: Xét trường hợp: 03,04 ba <≤<≤ thì 2222 4325 ab +≤+= . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Xét trường hợp: 34 ba <≤≤