Tiểu luận môn Thông tin vệ tinh Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh)

Tiểu luận môn Thông tin vệ tinh Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh) a) Định luật 1 Các vệ tinh chuyển động quanh Trái Đất quỹ đạo elip với Trái Đất là một tiêu điểm. b) Định luật 2 Đường nối vệ tinh với Trái Đất quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. c) Định luật 3 Bình phương chu kỳ quỹ đạo của một vệ tinh tỷ lệ với lập phương bán kính trục lớn của quỹ đạo elip của vệ tinh đó.

Trang 1

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 1

I> Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh):

1.1 Phát biểu 3 định luật Kepler

a) Định luật 1

Các vệ tinh chuyển động quanh Trái Đất quỹ đạo elip với Trái Đất là một tiêu điểm

b) Định luật 2

Đường nối vệ tinh với Trái Đất quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau

c) Định luật 3

Bình phương chu kỳ quỹ đạo của một vệ tinh tỷ lệ với lập phương bán kính trục lớn của quỹ đạo elip của vệ tinh đó

Hình 1 Minh họa 3 định luật Kepler

Đối với quỹ đạo hai vệ tinh theo các quỹ đạo là hình elip, với tiêu điểm ƒ1 và ƒ2

cho vệ tinh thứ nhất VT1 và ƒ1 và ƒ3 cho vệ tinh thứ hai VT2 Trái Đất nằm tại tiêu điểm

ƒ1 Hai hình quạt màu đậm S1 và S2 có diện tích bằng nhau và và thời gian cho vệ tinh 1

quét hình S1 bằng thời gian nó quét hình S2 Tỉ số chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh 1 với vệ

tinh 2 bằng tỉ số a13/2 : a23/2

Trang 2

1.2 Chứng minh các định luật Kepler

1.2.1 Chứng minh định luật 1 về quỹ đạo chuyển động các vệ tinh:

- Giả thuyết bài toán:

Khảo sát chuyển động của của 1 vệ tinh khối lượng m, quanh Trái Đất có khối lượng M với các giả thuyết:

+ Vệ tinh và Trái Đất chỉ tác động với nhau bằng lực hấp dẫn .

F (bỏ qua tất cả các lực khác Vd: lực tương tác với các hành tinh ở rất xa không đáng kể)

+ Mặt phẳng quỹ đạo của vệ tinh là không thay đổi

 Momen lực của Trái Đất tác dụng lên vệ tinh bằng 0 (M F r. )

 Momen động lượng của vệ tinh được bảo toàn L = const

+ Xét trong hệ quy chiếu mà Trái Đất là đứng yên và vệ tinh dịch chuyển xung quanh với vận tốc là v với khoảng cách là r

- Xét trong hệ tọa độ cực với Trái Đất là gốc tọa độ như hình vẽ :

Hình 2: Gắn hệ tọa độ và minh họa vị trí tương đối của vệ tinh và TĐ

- Xét vệ tinh trong hệ tọa độ đó ta có:

+ Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton lực hấp dẫn giữa Trái Đất

và vệ tinh là F. : - đặt lên vệ tinh và hướng vào tâm Trái Đất

Trang 3

- có độ lớn 2

GMm F

r

 + Thế năng hấp dẫn của vệ tinh :

GMm Et

r



 + Động năng của vệ tinh :

( trong hệ tọa độ cực vận tốc của một vật bao gồm 2 thành phần :

- Vận tốc xuyên tâm: v r

- Vận tốc phương vị: v

Hình 3: Mô tả các thành phần vận tốc trong hệ tọa độ cực

)

 Cơ năng của vệ tinh là :

2 kin

E Et E

2

r



   



Trang 4

và

( ) r E 2 GMu ( r ) r E 2 GMu ( r )

+ Momen động lượng của vệ tinh được tính theo công thức:

2 d

dt





đặt : u 1

r

 thì ta có r. dr 21 du

dt u dt







.

2 2

2

2 2

2

1

2

L

2

1

du

  



Để biểu thức gọn hơn ta đặt các hằng số :

2 2

L p

GMm

và

2

2 2



 

 

 

Trang 5



1

arccos arccos 1

u

du





Vậy quỹ đạo của vệ tinh thỏa mãn phương trình :

p r

c



- Phương trình elip trong hệ tọa độ cực:

Nếu xét 1 elip trong hệ tọa độ cực thỏa mãn:

- Có 2 tâm F1 và F2 , trong đó tâm F1 của elip trùng với gốc tọa

độ

- Trục lớn của elip thỏa mãn   0, bán kính trục lớn: a, trục nhỏ: b

- Gọi c  a2  b2  b2  a2  c2 và c

a

  là độ lệch

tâm của elip và

2

b p a

 là bán kính trục chuẩn của elip

Trang 6

Hình 4: Minh họa các thông số của hình elip

 O = F1 ( 0 , 0 ) và F2 ( 2c , π )

Với điểm M ( r , ) bất kỳ trên elip ta luôn có

MF1= r và MF2= ( osr c  2 )c 2 ( sin )r  2

Và MF1 + MF2 = 2a

Trang 7

2 2 2 2

( os 2 ) ( sin ) 2 ( os 2 ) ( sin ) 2 ( os 2 ) ( sin ) (2 )

( os ) ( os )

1 os

b r

c

a



     

   

  

 

  

 Phương trình của elip trong hệ tọa độ cực là:  1 os 

p r

c





Kết luận :

Vậy quỹ đạo của vệ tinh là hình elip phẳng với 1 tâm là Trái Đất và thỏa mãn:

- bán kính trục chuẩn của quỹ đạo là:

2 2

L p

GMm



- độ lệch tâm của quỹ đạo là:

2

2 2



 

 

 

1.2.2 Chứng minh định luật kepler 2

- Giả thuyết :

+ Vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo là elip phẳng như chứng minh ở định luật 1

+ Vùng quét của đường nối tâm Trái Đất với vệ tinh trong khoảng thời gian Δt như hình vẽ (vùng màu xanh da trời)

Trang 8

Hình 5: Mô tả định luật Kepler 2

- Chứng minh bằng định luật bảo toàn momen động lượng:

Xét trong khoảng thời gian dt rất nhỏ thì:

Quãng đường của vệ tinh đi được Δs rất bé so với khoảng cách từ nó đên tâm Trái Đất r => ds có thể coi là thẳng và khoảng cách r coi như không đổi

Giả sử góc mà đường nối tâm quét được là Δθ rất nhỏ => vùng quét sẽ là một tam giác đều cạnh r và góc xen giữa là dθ

 Diện tích vùng quét trong khoảng thời gian dt là :

2

1 2 1 2

dS r d

dS d

r

dt dt





Theo định luật bảo toàn momen động lượng ở trên : L mr2 d const

dt



Trang 9

2

dS L

nst

dt  m  hay trong các khoảng thời gian như nhau thì diện tích S là như nhau

- Chứng minh bằng phương pháp hình học của Newton

Hình 6 : Hai vùng “quét” được của vệ tinh sau 2 khoảng Δt liên tiếp nhau

Xét trong sau các khoảng Δt như nhau và rất bé

Ban đầu vệ tinh có vị trí M, vận tốc v như hình vẽ xét trong khoảng thời gian Δt, nên coi như lúc này lực hấp dẫn chưa tác động lên hướng chuyển động của vệ tinh Nó đi đến M1 và khoảng cách MM1 = Δs

Khi đến vị trí mới M1 lực hấp dẫn tại đây thay đổi => nó sẽ chuyến động theo phương vận tốc cũ đến M21 cũng được 1 đoạn M1M21 = Δs, và theo hướng của lực hấp dẫn là Δs’đến M2 ( vector M21M2 cùng hướng với vector lực hướng tâm).=> Trong khoảng Δt tiếp theo này nó đi được khoảng M1M2 Nhận xét: vì khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vệ tinh là rất lớn so với khoảng dịch chuyển sau mỗi khoảng Δt, nên tại 2 thời điểm liên tiếp có thể coi : 2 lực hướng tâm song song với nhau Hay M1M21 song song với OM1

 S1 = SΔOMM1 = SΔOM1M21 (vì đáy MM1 = Δs = M1M21 và cùng chiều cao từ

O xuống đường thẳng MM21)

 S2 = SΔOM2M1= SΔOM1M21 (vì chung đáy OM1 và 2 khoảng cách từ M21đến đáy bằng khoảng cách từ M2 đến đáy do: M1M21 // OM1)

 S1 =S2

Trang 10

Vậy dS co nst

dt  (đpcm)

1.2.3 Chứng minh định luật Kepler 3 về mối liên hệ giữa chu kỳ chuyển động của vệ

tinh và bán kính quỹ đạo của nó

- Giả thuyết :

Theo định luật 1 đã có quỹ đạo của vệ tinh là hình elip phẳng, gọi T là chu kỳ bay của vệ tinh Các điều kiện và hệ tọa độ vẫn giữ nguyên như đã chứng minh ở định luật 1

Gọi thêm S là diện tích được bao bởi quỹ đạo elip của vệ tinh

- Chứng minh trường hợp tổng quát :

Ta có S cũng chính là diện tích của vùng quét bởi đường nối tâm Trái Đất với vệ tinh khi nó đi được đúng 1 “vòng”



T

   (do momen động lượng được bảo toàn)

Ta còn có diện tích elip được tính bởi công thức : S= πab

Trang 11

2 2

2

2 2

3

2 2

4

ons

m ab T

L

m ab T

L

T

L

L m

T



 

     

- Khi vệ tinh bay rất xa so với Trái Đất :

Coi quỹ đạo vệ tinh là đường tròn với tâm là Trái Đất, bán kính quỹ đạo là R+h Với R là bán kính TĐ, h là độ cao của vệ tinh so với mặt đất

 Chuyển động của vệ tinh là tròn đều xung quanh Trái Đất

 Lực hấp dẫn của Trái Đất với vệ tinh giúp nó cân bằng với lực quán tính ly tâm của chuyển động quay

2

v

Mặt khác :

2 ( R h )

T

v





2

3



Trang 12

II> Tính toán góc ngẩng của anten và góc quan sát vệ tinh:

2.1 Góc quan sát vệ tinh (với vệ tinh địa tĩnh)

- Góc phương vị : là góc nằm ngang (tính từ phía bắc của đường kinh

tuyến từ theo chiều kim đồng hồ đến đường thẳng đã cho), được tạo bởi đường tâm của búp sóng chính với phương Bắc của trái đất theo chiều kim đồng hồ, có giá trị từ 0 đến < 360 độ

- Góc ngẩng : là góc giữa hướng của chảo thu so với mặt phẳng nằm

ngang

- Việc xác định góc quan sát vệ tinh( góc nhìn của anten mặt đất):

chính là việc xác định góc phương vị và góc ngẩng để anten có thể hướng thẳng đến vệ tinh

- Các thông số ảnh hưởng đến góc quan sát vệ tinh bao gồm:

- Vị trí quan sát: + Vĩ độ tại trạm mặt đất e + Kinh độ tại trạm mặt đất e

- Vị trí của vệ tinh: (kinh độ điểm dưới vệ tinh) ss

Trang 13

Hình 7 : Mô tả các thông số liên quan đến vị trí vệ tinh và Trái Đất

 Góc quan sát vệ tinh ???

Trang 14

Hình 8:

Để tiện cho việc tính toán ta đưa bài toán về các hình 8 a, b và đăt tên các

góc như hình vẽ

Ở hình a ta thấy: các cạnh tỷ lệ với số đo của cung mà nó chắn.(cùng là

đường tròn bán kính aE = 6378km)

 a = 90o, c = 90o - e, B = ss e giải tam giác cầu ở hình a tiếp ta có : (quy tắc Napier)

arccos[ cos( ) os( )]e

sin | | A=arcsin

sin

B b

  (*)

 bảng quy đổi từ A sang góc phương vị Az :

Trang 15

Hình 9: Các trường hợp của góc A

Ở hình b: theo định lý hàm số cosin trong tam giác phẳng ta có

2 2

d  R  a  Ra b

arccos GSO e

d

(vì góc ngẩng nằm trong mp tam giác và vuông góc với R tại anten)

2.2 Xác định góc ngẩng của anten

Tính góc ngẩng của anten ( e ):

- Góc ngẩng là góc tạo thành tiếp tuyến tại điểm thu ở mặt đất và đường nối điểm đến với vệ tinh

- Góc ngẩng tại xích đạo lớn nhất bằng 90o và càng về phía hai cực thì nó càng giảm

Trang 16

- Khi biết vị trí đặt anten ta có thể suy ra được góc ngẩng của anten theo công thức:

 

arctan

e

Trong đó: - Lac là vĩ độ nơi đặt anten (trạm mặt đất)

- Loc là sai khác kinh độ giữa vệ tinh và trạm mặt đất

- Để đơn giản trong việc lắp đặt anten thay vì đi tính toán góc ngẩng ta tính thông qua góc nghiêng của vệ tinh theo công thức sau:

e

 =90o –[ góc_lệch (d) + góc_nghiêng(i) ]

- Hình vẽ và bảng thông số tra góc nghiêng tại Hà Nội và TP.Hồ Chí Minh

Hình 10: Mô tả cách xác định góc ngẩng của anten

Trang 17

Mục Lục

I Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh) 1

1.2 Chứng minh các định luật Kepler 2

1.2.1 Chứng minh định luật 1 về quỹ đạo chuyển động

các vệ tinh: 2

1.2.2 Chứng minh định luật kepler 2 7

1.2.3 Chứng minh định luật Kepler 3 về mối liên hệ giữa

chu kỳ chuyển động của vệ tinh và bán kính quỹ đạo của nó 10

II Tính toán góc ngẩng của anten và góc quan sát vệ tinh: 12

2.1 Góc quan sát vệ tinh (với vệ tinh địa tĩnh) 12

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	612,16 KB

Tiêu đề	Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh)
Chuyên ngành	Thông tin vệ tinh
Thể loại	Báo cáo