2,5 điểm Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B.. Trên tia Ax lấy điểm M.. Đường thẳng qua O và vuông góc với BM cắt CD tại E.. Tia AE cắt BM tại F..
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2008– 2009 Ngày thi: 18/06/2008 - Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (1,5 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
1
2 a + − < với a > 0
Câu 2 (3 điểm)
Giải các phương trình sau:
=
b) x2−2x 1+ − 3 2 2+ = 1
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho x ≥ 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y = 3x + 1
2x
Câu 4 (2,5 điểm)
Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B Tia
Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C) Trên tia Ax lấy điểm M Đường thẳng qua O và vuông góc với BM cắt CD tại E Tia AE cắt BM tại F Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax
Câu 5 (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho 3x + 1 chia hết cho y đồng thời 3y + 1 chia hết cho x
Trang 2GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRỪỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009 – Ngày: 18/06/2008
Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1(1,5 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
1
2 a
+ − < với a > 0 (1)
Biến đổi:
(1) ⇔ 2 a(a 1)+ - 2a < 1 (a > 0) ⇔ 2 a(a 1)+ < 1 + 2a (a > 0)
⇔ 4a(a + 1) < (1 + 2a)2 (a > 0)
⇔ 4a2 + 4a < 4a2 + 4a + 1 (a > 0) ⇔ 0 < 1: bất đẳng thức đúng
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh
Câu 2 (3 điểm)
Giải các phương trình:
=
TXĐ: x ≠ ± 3
Biến đổi:
(1) ⇔ 2x(x + 3) = x2 + 11x – 6 (x ≠ ± 3)
⇔ 2x2 + 6x – x2 – 11x + 6 = 0 (x ≠ ± 3)
⇔ x2 – 5x + 6 = 0 (x ≠ ± 3)
⇔ x = 2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2
b) x2−2x 1+ − 3 2 2+ = 1 (2)
Biến đổi:
(2) ⇔ x 1− − ( 2 1+ ) =1
⇔ x 1 2− = + 2⇔ = +x 3 2 ; x= − −1 2
Vậy tập nghiệm của phương trình (2):
S = {3+ 2 ; 1− − 2}
Câu 3 (1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = 3x + 1
2x với x ≥ 1 (1)
Biến đổi:
(1) ⇔ y = x2 2x+ 1 5x+ 2
Aùp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:
Trang 3x 1 2. x 1.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1
2 2x= ⇔ x = 1 (x ≥ 1) Và 5x 5
2 ≥2 (x ≥ 1)
Do đó y ≥ 1 + 5 7
2 2= Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 7
2 khi x = 1
Câu 4 (2,5 điểm)
Chứng minh F thuộc tia cố định Iy
Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt Ax tại P, cắt AB tại Q
Ta có tứ giác OEPD nội tiếp nên:
D P= (góc nội tiếp cùng chắn cung OE) Tứ giác OECQ nội tiếp nên
C Q= (góc nội tiếp cùng chắn cung OE) Mặt khác, tam giác OCD cân tại O nên
D C= Suy ra
P Q= , do đó ∆OPQ cân tại O, nên đường cao OE cũng là đường trung tuyến, ta có
PE = EQ
Vì PQ // BM (cùng vuông góc với OE), nên theo định lý Ta lét, ta có:
PE AE EQ
MF AF BF= =
Suy ra MF = BF
Gọi I là trung điểm của AB, ta có IF là đường trung bình của ∆ABM
Vì tia Ax và điểm I cố định nên tia Iy // Ax cũng cố định
A
P
D
O
I
F
B
M x
y
1 1
E
Trang 4Vậy khi M di động trên tia Ax thì F di động trên tia cố định Iy // Ax, với I là trung điểm của
AB
Câu 5 (1,5 điểm)
Tìm x, y nguyên với x > 1, y > 1 sao cho:
3x + 1 chia hết y và 3y + 1 chia hết cho x
Ta có 3x + 1 ⋮ y , 3y + 1 ⋮ x, nên:
3x + 1 = ky; 3y + 1 = mx, với k, m ∈ N, m ≥ 1, k ≥ 1, k 3, m 3
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta có: 3x + 1 + 3y + 1 = ky + mx
⇔ ky – 3y + mx – 3x = 2
⇔ y(k – 3) + x(m – 3) = 2 (1)
Vì x > 1, y > 1 và k 3, m 3, nên từ (1) suy ra k và m không thể đồng thời lớn hơn 3, hoặc đồng thời nhỏ hơn 3
Không mất tính tổng quát, giả sử m > 3, khi đó 1 ≤ k < 3, suy ra k =1 hoặc 2
+) Xét trường hợp k = 1
Khi đó ta có 3x + 1 = y
Vì 3y + 1 ⋮ x nên ta có:
3(3x + 1) + 1 ⋮ x
⇔ 9x + 4 ⋮ x ⇔ 4 ⋮ x ⇔ x = 2 hoặc 4 (do x ∈ Z, x > 1)
*) Với x = 2 ta có y = 3x + 1 = 7
*) Với x = 4 ta có y = 3x + 1 = 13
+) Xét trường hợp k = 2
Khi đó ta có 3x + 1 = 2y
Vì 3y + 1 ⋮ x nên ta có:
2(3y + 1) ⋮ x ⇔ 6y + 2 ⋮ x ⇔ 3(3x + 1) + 2 ⋮ x ⇔ 9x + 5 ⋮ x ⇔ 5 ⋮ x ⇔ x = 5 (x ∈ Z,
x > 1)
*) Với x = 5 ta có 2y = 3x + 1 = 3.5 + 1 = 16 ⇔ y = 8
Do m, k có vai trò như nhau nên x, y có thể hoán vị các giá trị cho nhau
Vì vậy ta tìm được 6 cặp giá trị x, y liệt kê trong bảng sau thỏa mãn điều kiện bài toán
x 2 7 4 13 5 8
y 7 2 13 4 8 5