Đế số 12: Bài 1 : (1.5 điểm) Cho biểu thức 212 1( ). 1 121 x xxxxxxx A x x xx +− −+ − =+ − − − − . a) Rút gọn biểu thức. b) Tìm các giá trị của x để 66 5 A − = . c) Chứng minh rằng 2 3 A > với mọi x thoả mãn đkxđ. Bài 2.(1.5 điểm) Có một mảnh vườn hình chữ nhật. Biết rằng, nếu tăng chiều rộng của vườn thêm 2m và giảm chiều dài đi 2m thì diện tích của vườn không thay đổi. Người ta cũng nhận thấy, nếu tăng mỗi cạnh mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu thêm 2m thì diện tích của vườn tăng gấp đôi. Hãy xác định các kích thước ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật đó. Bài 3. (2.5 điểm)a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = x + 6 và parabol y = x 2 (0.5đ) b) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại các điểm A , B và Δ AOB cân ( đơn vị trên hai trục Ox và Oy bằng nhau). (1đ) c) Cho phương trình 2 2450xmxm−−−= (x là ẩn số) (1đ) c1.Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m. c2. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức A = 22 1212 x xxx+− . đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4 : (3.5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó. b) Chứng minh MA.MB = MN 2 . c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều. d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Bài 5 : (1,0 điểm). a) Giải các phương trình: 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x − b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 4 1 111 ≤ + + + + + b ca a bc c ab . 1.a) () 2 1 2 (2 1)( 1) (2 1)( 1) ( 1) 1( ). 1 . 1 121 (1)(1)21 (1 ) 1 xx xxxxxx x x xx x xx A x xx x xx x x xx ⎡⎤ +− −+ − − + − + − ⎢⎥ =+ − =+ − ⎢⎥ − −− −++− −+ ⎣⎦ (1) 1 11 . 1 111 xx x x x x xxxxx ⎡⎤ ++ =− − =− = ⎢⎥ ++ ++ ++ ⎣⎦ b)Ta có 66 1 66 6. 1 0 55 1 x Axx xx −+− =⇔ =⇔−+= ++ . Từ đó giải được 23;23xx=+ =− c)Ta có: 2 212 210(1)0 33 1 x Axxx xx + >⇔ >⇔− +>⇔ − > ++ Do 1 x ≠ nên 2 10 ( 1) 0xx−≠ ⇒ − > . Vậy 2 3 A > Bài 2 Đặt t = x 2 ≥ 0, ta có phương trình t 2 – 4t – 21 = 0 t 1 = -3( loại) ; t 2 = 7(nhận) Kết luận C/ Phương trình (1) có ∆’ = m 2 + 4m +5 = (m+2) 2 +1 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = 2 b m a −= ; P = 45 c m a = −− Ö A = 2 12 12 ()3 x xxx+− = 2 43(45)mm++= 2 (2 3) 6 6,m + +≥ với mọi m. Và A = 6 khi m = 3 2 − Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi m = 3 2 − Bai 4. Bài 3 (2 điểm) a) (1 điểm) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x 2 = x + 6 2 xx60 x 2 ⇔ −−=⇔=− hoặc x = 3 Với x = -2 y4;x3 y9⇒= =⇒= Hai điểm cần tìm là (-2;4); (3;9) b) (1 điểm) Với y = 0 () 2m 3 m1 2m30 x m1 + ⇒+++=⇔=− + (với m ≠ -1) 2m+3 A- ;0 m+1 ⎛⎞ ⇒ ⎜⎟ ⎝⎠ Với x = 0 () y2m3 B0;2m+3⇒= +⇒ Δ OAB vuông nên ΔOAB cân khi A;B ≠ O và OA = OB 2m 3 2m 3 m1 + ⇔ −=+ + + Với () 2m 3 1 2m 3 2m 3 1 0 m 0 m1 m1 + ⎛⎞ =+⇔ + −=⇔= ⎜⎟ ++ ⎝⎠ hoặc m = 3 2 − (loại) + Với () 2m 3 1 2m 3 2m 3 1 0 m 2 m1 m1 + ⎛⎞ −=+⇔+ +=⇔=− ⎜⎟ ++ ⎝⎠ hoặc m = 3 2 − (loại) K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2 a, b) Dễ quá rồi. c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn). 5) a)Giải, xác định đúng điều kiện: 22 ; 22 xx − ≤≥ ⇔ 222 442 122 1.77xx x x+++ −− − += 0 2 (2)(217)0xx ⇔ ++ −− = 2 2 20 2 2 2170 2 x x x x x x =− ⎧ += ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔⇔=− = ⎡ ⎨⎨ −− = ⎪ ⎢ ⎪ ⎩ =− ⎣ ⎩ (Thỏa mãn) b) Ta có với x, y >0 thì: ( x+y) 2 ⇒≥ xy4 (*) 11 4 11411 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ + ⇒ + ≥+ yxyxyxyx dấu bằng xảy ra khi x = y. Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nên ta có: 11 ; 1( )( ) 4 ab ab ab ccacb cacb ⎛⎞ =≤+ ⎜⎟ ++++ ++ ⎝⎠ Tương tự ta có: 11 ; 14 11 . 14 bc bc aabac ca ca bbabc ⎛⎞ ≤+ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ ⎛⎞ ≤+ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ () 111 1114 4 4 ab bc ca ab bc ab ca bc ca abc cab cabcab +++ ⎛⎞ ⇒++≤ + + =++= ⎜⎟ +++ + + + ⎝⎠ ⇒ 4 1 111 ≤ + + + + + b ca a bc c ab . Dấu bằng xảy ra 3 1 ===⇔ cba HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 05 Câu 1. ()() () ()() 0 /3 2( 1)( 2).§: 4 222(1)(2) . 2( 1) 22 22 (1)(2) 1 . 2( 1) 1 22 125 5 25 /3 3 01 1 24 11 x ax x x x K x xxxxx P x xx x xx x xx xx xx bP x x xx ≥ ⎧ ++=+ + ⎨ ≠ ⎩ −++− + + ⇒= − −+ − ++ + == −− −+ +− >⇔ >⇔ <⇔< < ⇔<< −− Câu 2:Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong việc là: x (giờ) Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong việc là: y (giờ) Năng suất của người thứ nhất là: 1/x (công việc) Năng suất của người thứ 2 là: 1/y (công việc) Năng suất của cả 2 người là: 1/4 (công việc) Ta có phương trình: 111 4 += xy (1) Khi làm 1/2 công việc người thứ nhất dùng hết : 1 2 1 2 x x = ( giờ) Khi làm 1/2 công việc còn lại người thứ 2 dùng hết : 1 2 1 2 y y = ( giờ) Theo đầu bài ta có hệ phương trình: 111 18 4 72 9 22 xy xy xy xy ⎧ += ⎪ += ⎧ ⎪ ⇔ ⇒ ⎨⎨ = ⎩ ⎪ += ⎪ ⎩ x, y là các nghiệm của PT: 2 12 18 72 0 6 x XX y = ⎧ −+=⇒ ⎨ = ⎩ Vậy1 người làm trong 12 giờ và 1 người làm trong 6 giờ. Câu 3: a) Khi m=2 ta có (d):y=2x-1. Tọa độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của hệ: ( ) () 2 1 22 2 21;223 21 21 21 21 210 21;322 ⎧ −− =− =− ⎧⎧ ⎧ =− ⎪ ⇔⇔ ⇔ ⎨⎨ ⎨ ⎨ =− −=− +−= ⎩⎩ ⎩ −−−− ⎪ ⎩ A yx yx yx yx x x x x A b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của PT: 22 2 10 10 :440 xmx hayxmx Do m −− += + −= Δ= + ≥ > Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Gọi A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ). Ta cần chứng minh: 22 222222222 12121212 1212 12 12 12 12 2 12 12 12 12 2( ) 0:1 ()1 011§ OA OB AB x x yy xx yy xx yy xx m x x y y mµ theo Viet x x yy xx xx yy PCP + = ⇔+++=+++− + ⎧ +=− ⎪ ⇔+= =− ⎨ ⎪ == ⎩ ⇒= + =−+⇒ Câu 4 ABC cã AB AC a / Ta cã : H lµ trung diÓm cña BC AH BC mµ KB KC nª n KH lµ §−ên g trun g binh cña BCN KH / /NC Mµ : KH BC NC BC. b / Trong tam gi¸c vu«ng BNC cã CK lµ trung tuyÕn nª n : CK NK KNC KCN mµ KCN AKC(sole trong) Nh−ng AKC AMC (cïng = ⎧ ⇒ ⎨ ⊥ ⎩ =⇒ ⇒ ⊥⇒ ⊥ =⇒ = = = ch¾ncung AC) 0 KNC AMC m µ AMC BMC 180 0 KNC BMC 180 BMCN néi tiÕp. 0 c / Do BMCN néi tiÕp BMN BCN 90 MN AB Mµ M lµ trung §iÓm cña AB ANB can t¹i N d / C¸c em suy nghÜ thª m nhÐ! ⇒= += ⇒+=⇒ ⇒==⇒⊥ ⇒ Câu 5: Theo C«si ta cã : x 1 x 2010 2011 2 2011. x 2010 x 2010 1 (1) x1 2 2011 Vµ x 1 x 2011 2010 2 2010. x 2011 x 2011 1 (2) x1 2 2010 11 1 Céng (1) vµ(2) ta cã : M 2 2010 2011 11 1 Max M x 4021 2 2010 2011 += − + ≥ − − ⇒≤ + −= − + ≥ − − ⇒≤ − ⎛⎞ ≤+ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ ⇒= +⇔= ⎜⎟ ⎝⎠ . −= Δ= + ≥ > Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Gọi A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ). Ta cần chứng minh: 22 222222222 121 2121 2 121 2 12 12 12 12 2 12 12 12 12 2( ) 0:1 ()1 011§ OA OB. cã : x 1 x 2 010 2011 2 2011. x 2 010 x 2 010 1 (1) x1 2 2011 Vµ x 1 x 2011 2 010 2 2 010. x 2011 x 2011 1 (2) x1 2 2 010 11 1 Céng (1) vµ(2) ta cã : M 2 2 010 2011 11 1 Max M x 4021 2 2 010 2011 += −. bằng xảy ra 3 1 ===⇔ cba HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 05 Câu 1. ()() () ()() 0 /3 2( 1)( 2).§: 4 222(1)(2) . 2( 1) 22 22 (1)(2) 1 . 2( 1) 1 22 125 5 25 /3 3 01 1 24 11 x ax x x x K x xxxxx P x xx x xx