Tài liệu tham khảo OTDH 211-2012

NGUYỄN VĂN XÁ TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN THPT xa.nguyenvan@gmail.com Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 1 1 ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN THPT 1. ðịnh nghĩa và tính chất của ñạo hàm 1.1. ðịnh nghĩa ñạo hàm  Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và ñiểm 0 x D. ∈ Giả sử tồn tại khoảng (a; b) sao cho 0 x (a;b) D. ∈ ⊂ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 0 0 x x 0 f(x) f(x ) lim a x x → − = − thì s ố a ñượ c g ọ i là ñạ o hàm c ủ a hàm s ố f(x) t ạ i ñ i ể m x 0 và kí hi ệ u là 0 f '(x ) ho ặ c 0 y'(x ), khi ñ ó 0 0 0 x x 0 f(x) f(x ) f '(x ) lim . x x → − = − ðạo hàm của hàm số tại ñiểm x 0 (nếu có) là một hằng số. Hàm số có ñạo hàm tại x 0 thì liên tục tại x 0 .  Khi giải toán cần lưu ý 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x 0 0 0 f(x) f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x ) f '(x ) a lim a lim lim a. x x x x x x + − → → → − − − = ⇔ = ⇔ = = − − −  Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm tại mọi ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K và hàm số f '(x), x K, ∈ ñượ c g ọ i là (hàm) ñạ o hàm c ủ a f(x) trên K. ðạ o hàm c ủ a hàm s ố (n ế u có) trên m ộ t kh ả ng (có th ể m ở r ộ ng trên m ộ t t ậ p) là m ộ t hàm s ố .  ðạ o hàm c ấ p cao (k) (k 1) f (x) (f (x))'. − = 1.2. Các tính chất của ñạo hàm (những công thức này ñược giả sử là hai vế ñều có nghĩa) 1) n n 1 n n n 1 1 (c)' 0; (x)' 1; (x )' n.x ; ( x) . n. x − − = = = = 2) 2 2 2 2 1 1 (sin x)' cosx; (cosx)' sin x; (tan x)' 1 tan x ; (cot x)' 1 cot x . cos x sin x = = − = + = = − − = − 3) x x a 1 (a )' a .ln a; (log | x |)' . x.lna = = 4) 2 u u 'v uv ' (u v w) ' u ' v ' w '; (k.u) ' k.u '; (uv) ' u ' v uv '; ( ) ' ; (u(v(x)))' u '(v).v '(x). v v − + − = + − = = + = = 2. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số của ña thức  Nhờ ñạo hàm ta có thể tính ñược một số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà các số hạng thường có dạng (k+1)x k a k .  ðối với ña thức n 0 1 n f(x) a a x a x = + + + ta dễ thấy (k) k f (0) a , k! = trong ñ ó qui ướ c ñạ o hàm c ấ p 0 c ủ a hàm s ố f(x) là chính hàm s ố f(x); và n 0 1 n 0 1 2 3 n a a a f(1), a a a a ( 1) a f( 1). + + + = − + − + + − = − VD1. Cho ñ a th ứ c f(x) = (1 + x – x 12 ) 2011 + (1 – x + x 11 ) 2012 . 1. Tìm h ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng ch ứ a x trong ñ a th ứ c. 2. Tính t ổ ng t ấ t c ả các h ệ s ố b ậ c l ẻ trong ñ a th ứ c. 3. Tính t ổ ng các h ệ s ố b ậ c l ớ n h ơ n hay b ằ ng 2 trong ñ a th ứ c. HD. 1. Ta có 12 2010 11 11 2011 10 f '(x) 2011(1 x x ) .(1 12x ) 2012(1 x x ) .( 1 11x ). = + − − + − + − + ðể cho ti ệ n ta kí hi ệ u n 0 1 n f(x) a a x a x = + + + (v ớ i n = 12 × 2011 = 24132). H ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng ch ứ a x trong ñ a th ứ c f(x) là 1 f '(0) a 2011 2012 1. 1! = = − = − 2. Do n 0 1 n 0 1 2 3 n a a a f(1) 2, a a a a ( 1) a f( 1) 0 + + + = = − + − + + − = − = nên t ổ ng các h ệ s ố b ậ c l ẻ c ủ a f(x) là 1 3 24131 f(1) f( 1) a a a 1. 2 − − + + + = = 3. Ta có a 0 = f(0) = 2, v ậ y 2 3 n 0 1 n 0 1 a a a (a a a ) a a 2 2 ( 1) 1. + + + = + + + − − = − − − = Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 2 2 VD2. Chứng minh 1 2 2 2 n n 2 n n n C 2 C n C n(n 1)2 , n ,n 2. − + + + = + ∀ ∈ ≥ ℕ HD. Ta có n n n n k k n 1 k k 1 n 1 k k n n n k 0 k 1 k 1 (1 x) C x n(1 x) C kx nx(1 x) C kx − − − = = = + = ⇒ + = ⇒ + = ∑ ∑ ∑ n n 1 n 2 k 2 k 1 n k 1 n(1 x) n(n 1)x(1 x) C k x , − − − = ⇒ + + − + = ∑ thay x = 1 vào ñẳ ng th ứ c cu ố i cùng này s ẽ thu ñượ c 1 2 2 2 n n 2 n n n C 2 C n C n(n 1)2 , n ,n 2. − + + + = + ∀ ∈ ≥ ℕ Nhận xét. Ta cũng có 2 0 2 1 2 n 2 2 n 1 n 2 n n n n n C (n 1) C 2 C 1 C n(n 1)2 , n ,n 2. − − − + − + + + = + ∀ ∈ ≥ ℕ Bài tập. 1. Khai triển f(x) = (1 – x + x 2 ) 2011 + (1 + x 3 ) 2012 thành dạng 6030 0 1 6030 f(x) a a x a x . = + + + Tính tổng A = 1 2 3 6029 6030 a 2a 3a 6029a 6030a . − + + + − 2. Giả sử n n 0 1 n (1 x) a a x a x , n *. + = + + + ∈ ℕ Biết rằng tồn tại số nguyên dương k (1 k n) ≤ ≤ sao cho k 1 k k 1 a a a . 2 9 24 − + = = Tính tổng 2 3 4 n 2.1.a 3.2.a 4.3.a n.(n 1).a . + + + + − 3. Chứng minh rằng 1 2 3 n n n n n C 2C 3C nC (n!.n), n ,n 2. + + + + < ∀ ∈ > ℕ 4. Chứng minh rằng 0 1 n 2 n 2 n 1 n 1 n n n n nC (n 1)C ( 1) C ( 1) C 0, *. − − − − − − + + − + − = ∀∈ ℕ 5. Cho số nguyên dương n ≥ 3 thoả mãn ñẳng thức 3 3 n n A C 35. (n 1)(n 2) + = − − Tính các tổng sau ñây 1 2 n 2 2 2 3 n 2 n 2 n 1 1 n n n 2 n n n 3 4 5 S C 2C nC ; S 2 C 3 C ( 1) n C ; S 1 2x 3x nx ; S sin x sin 2x sinnx; S cosx 2cos2x n cosnx. − = + + + = − + + − = + + + + = + + + = + + + 6. Ch ứ ng minh r ằ ng n 0 n 1 1 n 1 n 1 n n n n2 C (n 1)2 C 2C 2n.3 , n *. − − − + − + + = ∀ ∈ ℕ 7. Tìm n bi ế t 1 2 2 3 3 4 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C 2.2.C 3.2 C 4.2 C (2n 1)2 C 2005 (n *). + + + + + + − + − + + + = ∈ ℕ 8. Cho khai tri ể n n n 0 1 n (1 2x) a a x a x , n *. + = + + + ∈ ℕ Bi ế t r ằ ng 1 2 n 0 2 n a a a a 4096. 2 2 2 + + + = G ọ i k a là s ố l ớ n nh ấ t trong các s ố 0 1 n k i a , a , , a , (a max{a ,i 0,n}). = = Tính tổng 0 1 2 3 k 1 k 1 n S a a 2a 3a (k 1)a (k 1)a na − + = + + + + + − + + + + (Tức là n 0 i k i 1 S a ( i.a ) ka ). = = + − ∑ 9. Cho khai triển n n 0 1 n (1 2x) a a x a x , n *. − = + + + ∈ ℕ Biết rằng 0 1 2 a a a 71. + + = Tính tổng 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 n S 1 a 2 a 3 a 4 a (5 1)a 6 a n a . = + + + + − + + + 10. Cho 0 1 2 n n n C C C 211. + + = Tính tổng 2 0 2 1 2 2 2 n n n n n 1 1 1 1 1 2 3 n 1 1 C 2 C 3 C (n 1) C S . A A A A + + = + + + + 11. Tìm số nguyên dương n thoả mãn 200 1 2 2 3 n 1 n n n n n 2 1 C 3C 3 C 3 C . 3 − − + + + + = 12. Ch ứ ng minh r ằ ng 0 99 1 100 99 198 100 199 100 100 100 100 1 1 1 1 100.C .( ) 101.C .( ) 199.C .( ) 200.C .( ) 0. 2 2 2 2 − + − + = 13. Cho 2 2 2 2 2 3 4 n 1 1 1 1 2011 , n ,n 2. 2012 A A A A + + + + = ∈ ≥ ℕ Tính t ổ ng t ấ t c ả các h ệ s ố b ậ c l ớ n h ơ n 2 c ủ a ñ a th ứ c f(x) = (1– 2x).(x 2 + 1) n . Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 3 3 3. Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn  Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm và các tính chất của ñạo hàm ta có thể tính ñược một số gới hạn ở dạng vô ñịnh.  ðể tính giới hạn 0 0 có dạng 0 x x f(x) lim , f(0) 0, x → = ta vận dụng trực tiếp ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm, thu ñược 0 x x f(x) lim f '(0). x → =  N ế u các hàm f(x) và g(x) có ñạ o hàm trên m ộ t lân c ậ n c ủ a ñ i ể m x 0 và f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0, 0 g'(x ) 0 ≠ thì 0 0 0 0 0 0 x x 0 0 0 x x x x 0 0 0 x x 0 0 f(x) f(x ) f(x) f(x ) lim x x x x f '(x ) f(x) lim lim , g(x) g(x ) g(x) g(x ) g(x) g'(x ) lim x x x x → → → → − − − − = = = − − − − (dạng vô ñịnh 0 ). 0 Các dạng vô ñịnh 0 , 0. , - , 1 , 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ta biến ñổi về dạng 0 0 ñể áp dụng tính chất trên. VD3. Tính giới hạn 1 3 2 3 3 2 3 x x 1 x x 0 1 x x 1 x x 1)A lim ; 2)B= lim ( 1 x 1 x ); 3)C lim(1 sin x) . tan(x 1) → →−∞ → − + − − + = + + + = + − HD. 1) Xét 3 2 3 f(x) 1 x x 1 x x , g(x) tan(x 1) = − + − − + = − trên một lân cận của ñiểm x 0 = 1. Nhận thấy 2 2 2 3 2 3 2x 1 3x 1 f '(x) , g'(x) 1 tan (x 1), 2 1 x x 3 (1 x x ) − − = − = + − − + − + f(1) = g(1) = 0, 1 f '(1) , 6 = − g'(1) 1 0, = ≠ nên x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f(x) f(x) 0 f(x) f(1) f(x) f(1) lim f(x) f '(1) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 A lim lim lim lim . g(x) g(x) 0 g(x) g(1) g(x) g(1) g(x) g'(1) 6 lim x 1 x 1 x 1 x 1 → → → → → → − − − − − − − = = = = = = = − − − − − − − − 3 2 3 2 3 3 x x 1 1 2)B= lim ( 1 x 1 x ) lim x( 1 ( ) 1 ( ) ). x x →−∞ →−∞ + + + = − + + + ðặ t 1 t x = thì t 0 → khi x . → −∞ Ta có 3 3 2 t 0 1 t 1 t B=lim . t → + − + Xét 3 3 2 f(t) 1 t 1 t , = + − + có 2 3 2 2 3 t t f '(t) , (1 t ) 1 t = − + + f(0) = 0, f '(0) 0, = nên 3 3 2 t 0 t 0 t 0 t 0 1 t 1 t f(t) f(t) 0 f(t) f(0) B=lim lim lim lim f '(0) 0. t t t 0 t 0 → → → → + − + − − = = = = = − − 3) Ta luôn có thể chọn ñược một lân cận của ñiểm x 0 = 0 sao cho trên lân cận ñó 1 + sinx > 0. ðặt 1 x ln(1 sin x) M (1 sin x) , N ln(M) . x + = + = = Xét hàm f(x) ln(1 sin x), = + có cosx f '(x) , 1 sin x = + f(0) = 0, f '(0) 1. = Như vậy x 0 x 0 x 0 x 0 ln(1 sin x) f(x) f (x) f(0) lim N lim lim lim f '(0) 1. x x x 0 → → → → + − = = = = = − Suy ra x 0 1 lim N N 1 x x 0 x 0 x 0 C lim(1 sin x) lim M lim e e e e. → → → → = + = = = = = Vậy 1 x x 0 C lim(1 sin x) e. → = + = Bài tập. 14. Tính các giới hạn sau ñây x x x x x 2 0 0 0 1 e + sin2x cos3x 1 1 2x 3x 4 x 2 x 3 2x 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; ln 1 + 4x tan5x 1 cosx sin(1 x) 1 2x 1 → → → → − − + + − − + − − − − − + Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 4 4 x x x x x x x x x n m 2 1 0 0 3 1 tanx x a a 0 2 x.2 1 1 ax. 1 bx 1 sin3x ln(cosx) 5) lim ; 6) lim (a,b 0;m,n *); 7) lim ; 8) lim ; x 1 x 1 2cosx x cos( cosx) sin x 1 2 9) lim ( ) (a k ); 10) lim ; 11) lim (sin x) ; 12) lim (cos sina sin(tan x) π π π π → → → → − → → →±∞ → − + + − ≠ ∈ − − ≠ ℕ x x x 2 3 9 2 3 3 0 0 x 1 2 sin2x sin x 3 3 x x 0 x 0 1 sin ) ; x x (x +2005) 1 5x - 2005 1 1 x x 2 13) lim ; 14) lim ; 15) lim ; x sin(x 1) 3x(1 1 4x) 2x( (1 6x) 1 6x 1) x x 2x e e x sin 2011x 16) lim ;17) lim ; 18) lim sin x x sin 201 x x 3x → → →− →+∞ → → +   − + +   −   + + + + + + +   − + − − + − + n n m m x a x a ; 19) lim (a ;m,n *). 2x x a → − ∈ ∈ − ℝ ℕ 4. Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số  Nếu hàm số y = f(x) (C) có ñạo hàm tại x = x 0 thì tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là 0 0 0 0 y f '(x )(x x ) f (x ); f '(x ) = − + là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M(x 0 ; f(x 0 )).  Nếu tiếp tuyến của (C) y = f(x) có hệ số góc k thì hoành ñộ tiếp ñiểm thoả mãn PT k f '(x). =  ðườ ng th ẳ ng y = ax + b là ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị hàm s ố y = f(x) khi h ệ ph ươ ng trình sau có nghi ệ m ax b f(x) , a f '(x) + =   =  và nghi ệ m x 0 c ủ a h ệ này chính là hoành ñộ ti ế p ñ i ể m. VD4. Tìm a, b ñể hàm s ố 2 3 2 x ax b khi x 2 y x x 8x 10 khi x 2  + + ≤  =  − − + >   có ñạ o hàm t ạ i x 0 = 2 và khi ñ ó hãy vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị hàm s ố t ạ i ñ i ể m có hoành ñộ x 0 = 2. HD. ðể hàm s ố có ñạ o hàm t ạ i ñ i ể m x 0 = 2 thì tr ướ c h ế t nó ph ả i liên t ụ c t ạ i ñ i ể m này. Ta ph ả i có 3 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 y(2) lim y(x) lim y(x) y(2) lim (x x 8x 10) lim (x ax b) 4 2a b 2 + − + − → → → → = = ⇔ = − − + = + + ⇔ + + = − b 2a 6. ⇔ = − − Lúc này ta vi ế t l ạ i 2 3 2 x ax 2a 6 khi x 2 y . x x 8x 10 khi x 2  + − − ≤  =  − − + >   Hàm s ố này có ñạ o hàm t ạ i x 0 = 2 thì 3 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 y(x) y(2) y(x) y(2) (x x 8x 10) ( 2) (x ax 2a 6) ( 2) lim lim lim lim 0 a 4 x 2 x 2 x 2 x 2 + − + − → → → → − − − − + − − + − − − − = ⇔ = ⇔ = + − − − − a 4 b 2. ⇔ = − ⇒ = V ậ y v ớ i a = –4, b = 2 thì hàm s ố ñ ã cho có ñạ o hàm t ạ i ñ i ể m x 0 = 2 và y'(2) 0. = Khi ñ ó ti ế p tuy ế n c ầ n tìm là y 0.(x 2) ( 2) y 2. = − + − ⇔ = − VD5. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C): y = x 4 – 2x 2 bi ế t ti ế p tuy ế n ñ i qua tâm ñườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác có ba ñỉ nh là ba ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a (C). HD. D ễ th ấ y (C) có ba ñ i ể m c ự c tr ị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). G ọ i I là tâm ñườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác OAB thì I(0; m) v ớ i –1 < m < 0. Các ñườ ng th ẳ ng OA, OB, AB l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình x – y = 0, x + y = 0, y + 1 = 0. Có d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) m m 1 m 2 2 (do 1 m 0). 2 ⇔ = + ⇔ = − − < < V ậ y I(0;2 2). − ðường thẳng ñi qua I có hệ số góc a có phương trình y ax 2 2 = + − (d) (tiếp tuyến của ñồ thị hàm số là ñường thẳng có hệ số góc). ðường thẳng (d) là tiếp tuyến của ñồ thị (C) khi hệ phương trình 4 2 3 x 2x ax 2 2 (1) 4x 4x a (2)  − = + −   − =   có nghiệm. Thế (2) vào (1) ta ñược 4 2 3x 6x 2 2 0 − + − = Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 5 5 3 3 2 x . 3 ± ⇔ = ± Tương ứng ta tìm ñược 4 giá trị của a là 4 3 3 2 3 3 3 2 a . 3 3 + ± + = ± Do ñ ó tìm ñượ c 4 ti ế p ti ế p tho ả mãn yêu c ầ u bài toán 4 3 3 2 3 3 3 2 y .x 2 2. 3 3 + ± + = ± + − Bài tập. 15. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị hàm s ố y = 2 x 2x + 4 x 2 − − biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng x – 3y + 2 = 0. 16. Cho x 2 y (C). 2x 3 + = + a) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác cân. b) Viết PTTT của (C) tại các ñiểm có toạ ñộ nguyên của (C). c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm 3 I( ; 2). 2 − − 17. Tìm m biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ñồ thị (C): y = x 3 – 3mx 2 + 4m 3 là một ñường thẳng tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 25 . 6 18. Viết PTTT của ñồ thị (C): 3 2 1 y x x 3 = − a) Biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(3; 0). b) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x + 12y – 2 = 0. 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị y = x 3 – 3x 2 + 3 (C) và tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm M(–1;1). 20. Gọi A, B là các giao ñiểm của ñường thẳng y = x + m với ñồ thị x 1 y (C) 2x 1 − + = − và k 1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Tìm m ñể tổng k 1 + k 2 ñạt giá trị lớn nhất. 21. a) Tìm trên trục Oy những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = x 4 sao cho 2 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. b) Tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số 3 2 y 2x 9x 12x 1 = − + + sao cho 2 trong số 3 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. 22. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = 2x 4 – 2(m + 4)x 3 + (8m + 7)x 2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox. 23. Viết PTTT của ñồ thị 3 x 1 (C) : y x 1 − = + t ạ i giao ñ i ể m c ủ a ñồ th ị này v ớ i tr ụ c tung. 24. a) Vi ế t PTTT c ủ a x y (C) x 1 = − biết khoảng cách từ tâm ñối xứng của (C) tới tiếp tuyến là lớn nhất. b) Viết PTTT của 4x 3 y (C) x 1 − = − biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 45 0 . 25. Tìm a, b ñể hàm số 3 2 x khi x 1 f(x) ax b khi x 1  ≤  =  + >   có ñạ o hàm t ạ i x 0 = 1, khi ñ ó hãy vi ế t PTTT c ủ a ñồ th ị hàm s ố t ạ i ñ i ể m có hoành ñộ x 0 = 1. 5. Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu của hàm số  N ế u hàm s ố y = f(x) liên t ụ c trên ñ o ạ n [a; b] và ñồ ng bi ế n (ho ặ c ngh ị ch bi ế n) trên kho ả ng (a; b) thì hàm s ố này ñồ ng bi ế n (t ươ ng ứ ng ngh ị ch bi ế n) trên ñ o ạ n [a; b].  N ế u hàm s ố y = f(x) có ñạ o hàm trên kho ả ng K và ph ươ ng trình f '(x) 0 = có h ữ u h ạ n nghi ệ m trên K thì: + f(x) ñồ ng bi ế n trên K f '(x) 0, x K. ⇔ ≥ ∀ ∈ Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 6 6 + f(x) nghịch biến trên K f '(x) 0, x K. ⇔ ≤ ∀ ∈ Lư u ý: n ế u thay kho ả ng K b ở i m ộ t n ử a kho ả ng ho ặ c m ộ t ñ o ạ n thì k ế t lu ậ n trên v ẫ n ñ úng, nh ư ng n ế u thay K b ở i m ộ t t ậ p b ấ t kì thì k ế t lu ậ n ñ ó không ñ úng n ữ a. VD6. Tìm m ñể hàm s ố 3 2 3 1 y x mx x 2m 3 = − + − a. ðồng biến trên . ℝ b. ðồng biến trên khoảng (0; ). +∞ c. Khoảng nghịch biến của hàm số có ñộ dài lớn hơn 2 3. HD. a) Hàm số ñồng biến trên 2 2 y' x 2mx 1 0 ( x ) ' m 1 0 1 m 1. ⇔ = − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ = − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ℝ ℝ b) Hàm số ñồng biến trên khoảng 2 2 x 1 (0; ) y' x 2mx 1 0 ( x 0) m ( x 0). 2x + +∞ ⇔ = − + ≥ ∀ > ⇔ ≤ ∀ > Xét hàm số 2 x 1 f(x) 2x + = v ớ i x > 0, có 2 2 2x 2 f '(x) , f '(x) 0 x 1, 4x − = = ⇔ = ± v ớ i x > 0 thì f '(x) 0 x 1. = ⇔ = Trên kho ả ng (0; ) +∞ d ấ u c ủ a f '(x) ph ụ thu ộ c vào d ấ u c ủ a tam th ứ c 2x 2 – 2. T ừ ñ ó ta có b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm f(x) nh ư sau x 0 1 +∞ f '(x) – 0 + f(x) +∞ +∞ 1 T ừ b ả ng bi ế n thiên suy ra 2 x 1 m ( x 0) m 1. 2x + ≤ ∀ > ⇔ ≤ V ậ y hàm s ố ñ ã cho ñồ ng bi ế n trên kho ả ng (0; ) +∞ khi m 1. ≤ c) ðể hàm s ố có kho ả ng ngh ị ch bi ế n thì tr ướ c h ế t y’ ph ả i có hai nghi ệ m phân bi ệ t, t ứ c là ' 0. ∆ > Khi ñ ó g ọ i x 1 , x 2 là 2 nghi ệ m c ủ a y’ (x 1 < x 2 ) thì hàm s ố có kho ả ng ngh ị ch bi ế n là (x 1 ; x 2 ). ðộ dài kho ả ng này (kho ả ng cách gi ữ a 2 nghi ệ m c ủ a m ộ t ph ươ ng trình b ậ c hai) là 1 2 4 ' x x . a a ∆ ∆ − = = Vậy ñể khoảng nghịch biến của hàm số ñã cho có ñộ dài lớn hơn 2 3 ta cầ n ñ i ề u ki ệ n ñố i v ớ i tam th ứ c 2 y' x 2mx 1 = − + là 2 2 2 ' 0 m 1 0 m 2 m 1 3 . 4 ' 2 3 m 2 2 m 1 2 3 a ∆ >   − > >    ⇔ ⇔ − > ⇔ ∆    > < −    − >   VD7. Ch ứ ng minh hàm s ố 1 y x = ngh ị ch bi ế n trên m ỗ i kho ả ng xác ñị nh nh ư ng trên t ậ p xác ñị nh thì nó không ñồ ng bi ế n và c ũ ng không ngh ị ch bi ế n. HD. Hàm s ố có t ậ p xác ñị nh { } D \ 0 ( ;0) (0; ). = = −∞ ∪ +∞ ℝ ðạo hàm 2 1 y' 0, x D. x = − < ∀ ∈ Vì 2 1 y' 0, x ( ;0) x = − < ∀ ∈ −∞ nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) −∞ , vì 2 1 y' 0, x (0; ) x = − < ∀ ∈ +∞ nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ). +∞ Ta chọn x 1 = –1 thì y 1 = – 1, x 2 = 1 thì y 2 = 1, ta thấy 1 2 1 2 x x , y y < < nên hàm số không nghịch biến trên D. Tương tự nếu chọn x 1 = 2 thì y 1 = 1 2 , x 2 = 3 thì Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 7 7 y 2 = 1 3 , do 1 2 1 2 x x , y y < > nên hàm số không ñồng biến trên D. Vậy hàm số ñã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh ( ;0), −∞ (0; ), +∞ như ng nó không ñồ ng bi ế n và c ũ ng không ngh ị ch bi ế n trên t ậ p xác ñị nh { } D \ 0 ( ;0) (0; ). = = −∞ ∪ +∞ ℝ Bài tập. 26. Xác ñị nh các kho ả ng ñơ n ñ i ệ u c ủ a hàm s ố 3 2 4 2 1 3 x 1)y x x ; 2)y ; 3)y x 2x . 4 2 2 x = − = = − + − 27. Tìm m ñể hàm s ố : a) 3 2 1 y x mx (m 6)x 1 3 = + + + − ñồng biến trên . ℝ b) 3 2 m 1 y x (m 1)x 3(m 2)x 3 3 = − − + − + ñồng biến trên nửa khoảng [ ) 2; . +∞ c) 3 2 y 3x mx x 2 = − − − + nghịch biến trên . ℝ d) m y 3x x 1 = + − ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh 28. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x 3 + mx + 2 cắt trục Ox tại ñúng một ñiểm. 29. Lập bảng biến thiên của hàm số 2 2 2 2x 3x a)y x sin x; b)y 4x 1 2x; c)y . x 1 + = − = + − = + 6. Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số  Gi ả s ử hàm s ố y = f(x) liên t ụ c trên kho ả ng (a; b), ñ i ể m x 0 (a;b), ∈ và có ñạ o hàm trên các kho ả ng (a; x 0 ), (x 0 ; b). Ta có: + N ế u 0 0 f '(x) 0, x (a;x );f '(x) 0, (x ;b) > ∀ ∈ < ∀∈ thì f(x) ñạ t c ự c ñạ i b ằ ng f(x 0 ) t ạ i ñ i ể m x = x 0 . + N ế u 0 0 f '(x) 0, x (a;x );f '(x) 0, (x ;b) < ∀ ∈ > ∀∈ thì f(x) ñạ t c ự c ti ể u b ằ ng f(x 0 ) t ạ i ñ i ể m x = x 0 . Chú ý: – N ế u hàm s ố ñạ t c ự c tr ị t ạ i x 0 thì 0 f '(x ) 0 = ho ặ c 0 f '(x ) không xác ñị nh. – N ế u f '(x) không ñổ i d ấ u trên (a; b) thì f(x) không có c ự c tr ị trên (a; b). – N ế u x 0 là ñiểm cực trị c ủ a hàm s ố y = f(x) (C) thì f(x 0 ) ñượ c g ọ i là (giá tr ị ) cực trị c ủ a hàm s ố , và M(x 0 ; f(x 0 )) ñượ c g ọ i là ñiểm cực trị c ủ a ñồ th ị (C).  Gi ả s ử hàm s ố f(x) có ñạ o hàm ñế n c ấ p 2 trên kho ả ng (a; b) và ñ i ể m x 0 (a;b). ∈ Ta có: + N ế u 0 0 f '(x ) 0;f "(x ) 0 = < thì f(x) ñạ t c ự c ñạ i b ằ ng f(x 0 ) t ạ i ñ i ể m x = x 0 . + N ế u 0 0 f '(x ) 0;f "(x ) 0 = > thì f(x) ñạ t c ự c ti ể u b ằ ng f(x 0 ) t ạ i ñ i ể m x = x 0 . Chú ý: N ế u 0 0 f '(x ) f "(x ) 0 = = thì ch ư a th ể k ế t lu ậ n ñượ c hàm s ố có ñạ t c ự c tr ị t ạ i x 0 hay không (ch ẳ ng h ạ n v ớ i f(x) = x 3 thì 0 0 f '(x ) f "(x ) 0 = = và hàm s ố không ñạ t c ự c tr ị t ạ i x = 0, v ớ i f(x) = x 4 thì 0 0 f '(x ) f "(x ) 0 = = và hàm s ố ñạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 0, v ớ i f(x) = –x 4 thì 0 0 f '(x ) f "(x ) 0 = = và hàm s ố ñạ t c ự c ñạ i t ạ i x = 0). VD8. Cho hàm s ố y = x 3 – 2x 2 + mx +1. a) Tìm m ñể hàm s ố ñạ i c ự c ti ể u t ạ i x = 1. b) Tìm m ñể hàm s ố có hai ñ i ể m c ự c tr ị d ươ ng. c) Tìm m ñể hàm s ố có hai c ự c tr ị có tích nh ỏ h ơ n 31 27 . HD. a) Ta có 2 y' 3x 4x m, y" 6x 4, = − + = − và y"(1) 2 0 = > nên hàm s ố ñ ã cho ñạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 1 khi y'(1) 0 m 1. = ⇔ = V ậ y v ớ i m = 1 thì hàm s ố có ñ i ể m c ự c ti ể u x = 1. b) Hàm s ố ñ ã cho có 2 ñ i ể m c ự c tr ị d ươ ng khi ph ươ ng trình 2 3x 4x m 0 − + = có 2 nghiệm dương phân Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 8 8 biệt, tức là ' 4 3m 0 4 4 S 0 0 m . 3 3 m P 0 3   ∆ = − >   = > ⇔ < <    = >   V ậ y v ớ i 4 0 m 3 < < thì hàm số có hai ñiểm cực trị dương. c) Hàm số ñã cho có hai cực trị có tích nhỏ hơn 31 27 khi phương trình 2 3x 4x m 0 (1) − + = có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và y(x 1 ).y(x 2 ) < 31 27 . Trước hết, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khi 4 ' 0 m . 3 ∆ > ⇔ < Theo ñịnh lí Viet thì 1 2 1 2 4 m x x , x x . 3 3 + = = Lúc này ta có ( ) 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2m 8 11 2m 8 11 y x x – 2x mx 1 (3x 4x m)( x ) ( )x ( )x (do 3x 4x m 0) . 3 9 3 9 9 3 9 9 = + + = − + − + − + = − + − + = Tương tự 2 2 2m 8 11 y(x ) ( )x . 3 9 9 = − + Do ñó ( ) ( ) 1 2 1 2 31 2m 8 11 2m 8 11 31 y x .y x (( )x )(( )x ) 27 3 9 9 3 9 9 27 < ⇔ − + − + < 2 2 1 2 1 2 2m 8 11 2m 8 121 31 2m 8 m 11 2m 8 4 121 31 ( ) x x ( )(x x ) ( ) ( ) 3 9 9 3 9 81 27 3 9 3 9 3 9 3 81 27 ⇔ − + − + + < ⇔ − + − + < 3 2 3m 8m 22m 17 0 m 1 ⇔ − + − < ⇔ < (thoả mãn 4 m ). 3 < Vậy m < 1 là các giá trị cần tìm. Bài tập. 30. Tìm m ñể hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0: 3 2 4 3 a)y x mx (m 1)x; b)y x mx . = − + + = + 31. Tìm m ñể hàm số y = x 3 – (m+2)x +m ñạt cực ñại tại x = 1. 32. Tìm m ñể hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số y = –x 3 + 3x 2 + 3(m 2 – 1)x – 3m 2 – 1 cách ñều ñiểm O. 33. Tìm m ñể ñồ thị (C) 4 2 1 y x (3m 1)x 2(m 1) 4 = − + + + có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác ñều. 34. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị 3 2 1 m 1 y x x 3 2 3 = − + biết rằng tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng –1 là một ñường thẳng song song với d: 5x – y = 0. 35. Tìm m ñể hàm số 2 x mx 1 y x m + + = + a)Có hai ñ i ể m c ự c tr ị trái d ấ u. b)Có hai c ự c tr ị trái d ấ u. 36. Tìm m ñể các ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a ñồ th ị hàm s ố y = x 3 – 3mx 2 + 4m 3 ñố i x ứ ng v ớ i nhau qua ñườ ng th ẳ ng y = x. 37. Tìm m ñể hàm s ố y = x 3 – (2m – 1)x 2 + (2 – m)x + 2 có hai ñ i ể m c ự c tr ị d ươ ng. 38. Tìm m ñể ñườ ng th ẳ ng y = x + m 2 – m ñ i qua trung ñ i ể m c ủ a ñ o ạ n th ẳ ng n ố i hai ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a ñồ th ị hàm s ố y = x 3 – 6x 2 + 9x. 39. Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố y = x 4 – 2(m+1)x 2 + m có 3 ñ i ể m c ự c tr ị A, B, C (A là ñ i ể m c ự c tr ị n ằ m trên Oy) sao cho OA = BC. 40. Ch ứ ng minh ñồ th ị hàm s ố sau luôn có hai ñ i ể m c ự c tr ị và vi ế t ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng ñ i qua hai ñ i ể m c ự c tr ị ñ ó: 2 3 3 2 1 x m(m 1)x m 1 a)y x mx x m; b)y . 3 x m − + + + = − − + = − 41. Tìm m ñể hàm s ố 4 2 1 1 f(x) x ax 2x 3 4 2 = + + − có 1 ñ i ể m c ự c tr ị . 42. Tìm a, b, c, d ñể y = ax 3 + bx 2 + cx + d ñạ t c ự c ti ể u b ằ ng 0 t ạ i x = 0, ñạ t c ự c ñạ i b ằ ng 1 t ạ i x = 1. 43. Tìm a, b, c ñể hàm s ố y = x 3 + ax 2 + bx + c ñạ t c ự c ti ể u b ằ ng – 3 t ạ i x = 1, và ñồ th ị c ủ a nó c ắ t tr ụ c Oy t ạ i ñ i ể m có tung ñộ b ằ ng 2. Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT xa.nguyenvan@gmail.com 9 9 44. Cho hàm số 3 2 y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1 = − + + + + (C). a) Chứng minh với mọi m ñồ thị hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị có khoảng cách không ñổi. c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2x Cð – x CT = – 5. d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số ñã cho thoả mãn 2y CT + y Cð = 16. e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi. 7. Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  Bảng biến thiên của hàm số có thể giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc chứng minh bất ñẳng thức.  ðể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên ñoạn [a; b] ta có thể làm theo sơ ñồ sau: – Tính f '(x) , tìm các giá trị 1 2 x ,x , [a;b] ∈ mà tại ñó f '(x) = 0 hoặc không xác ñịnh. – Tính 1 2 f(x ),f(x ), ,f(a),f(b) . – Khi ñó [ ] [ ] 1 2 1 2 x a;b x a;b max f(x) max{f(x ),f(x ), ,f(a),f(b)}, min f (x) min{f(x ),f(x ), ,f(a),f(b)}. ∈ ∈ = = VD9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 y 6x 10 4x . = + − HD. Tập xác ñịnh của hàm số là 10 10 D ; . 2 2   = −     Ta có 2 2 4x 4x 3 y' 6 ;6 0 x , 2 10 4x 10 4x = − − = ⇔ = − − và 10 10 3 y( ) 3 10; y( ) 3 10; y( ) 10. 2 2 2 = − = − = V ậ y x D x D 3 10 max y y( ) 10; min y y( ) 3 10. 2 2 ∈ ∈ = = = − = − VD10. a) Cho a, b không ñồ ng th ờ i b ằ ng 0, ch ứ ng minh 3 3 4 4 4 4 ab a b 1 . 2 a 3b 3a b + ≤ + + b) Cho hai s ố d ươ ng x, y. Ch ứ ng minh r ằ ng y 2x y x y e . x + + < HD. a) Xét hàm s ố f(x) = x 4 – 4xb 3 + 3b 4 v ớ i x . ∈ ℝ Có 3 3 f '(x) 4x 4b , = − f '(x) 0 x b, = ⇔ = f '(x) 0 x b, > ⇔ > f '(x) 0 x b. < ⇔ < Bảng biến thiên của f(x) như sau x −∞ b +∞ f '(x) – 0 + f(x) +∞ +∞ 0 Suy ra ( ) 4 3 4 f x x – 4xb 3b 0, x . = + ≥ ∀ ∈ ℝ Từ ñó ta ñược 3 4 3 4 4 4 ab 1 a – 4ab 3b 0 4 a 3b + ≥ ⇔ ≤ + (do a, b không ñồng thời bằng 0 nên a 4 + 3b 4 > 0). Tương tự ta có 3 4 4 a b 1 4 3a b ≤ + . Cộng hai bất ñẳng thức này, vế với vế tương ứng, ta ñược 3 3 4 4 4 4 ab a b 1 . 2 a 3b 3a b + ≤ + + Dấu “=” xảy ra khi a = b. b) Với x, y dương ta có y 2x y x y 2x y e (1) 2 ( 1)ln(1 ). x y x + + < ⇔ < + + ðặt y t 1 x = + thì t > 1 và x 1 . y t 1 = − Bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành (t 1)ln t 2t 2 0 (2), + − + > với t > 1. Ta xét hàm . trị lớn nhất của hàm số 2 1 y x; x ( ;0). 2x = − ∈ −∞ 8. Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số Bài tập. 53. Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số 3 2 4 2 2x 1 a)y ; b)y x 3x ; c)y x x 6. x 1 − =