Bất Đẳng Thức

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Phần 1: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN. I. Bất đẳng thức AM-GM: Cho a 1 , a 2 , , a n là các số thực không âm thì ta có: a 1 + a 2 + + a n ≥ n n √ a 1 a 2 a n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . Tuy nhiên, khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n = 2và n = 3. Mà ta thường được biết đến dưới phát biểu: 1. Cho a, b ≥ 0. Khi đó ta có: a + b ≥ 2 √ ab. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b. Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là:                   a + b 2  2 ≥ ab (a + b) 2 ≥ 4ab a 2 + b 2 ≥ 2ab a 2 + b 2 ≥ (a + b) 2 2 . 2. Cho a, b, c ≥ 0, khi đó ta có: a + b + c ≥ 3 3 √ abc. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng khác khá phổ biến như sau: Với mọi số thực a, b, cta luôn có: • a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca • a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c) 2 3 • (a + b + c) 2 ≥ 3 (ab + bc + ca) • a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc (a + b + c) • (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc (a + b + c) II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai bộ số thực tùy ý a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n . Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel Giả sử a 1 , a 2 , , a n là các số thực bất kì và b 1 , b 2 , , b n là các số thực dương . Khi đó ta luôn có : a 1 2 b 1 + a 2 2 b 2 + + a n 2 b n ≥ (a 1 + a 2 + + a n ) 2 b 1 + b 2 + + b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n = 2và n = 3. Khi đó ta gặp một số đánh giá quen thuộc sau: Cho a, b, c > 0 ta có: • a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c) 2 3 • (a + b + c)  1 a + 1 b + 1 c  ≥ 9 III. Bất đẳng thức Minkowski. Cho  a 1 , a 2 , , a n ∈ R + b 1 , b 2 , , b n ∈ R + và 1 < p ∈ Q + . Khi đó  n  k=1 a p k  1 p +  n  k=1 b p k  1 p ≥  n  k=1 (a k + b k ) p  1 p 1 Nhưng ta quan tâm nhiều nhất là các bất đẳng thức quen thuộc sau: • √ a 2 + b 2 + √ c 2 + d 2 ≥  (a + c) 2 + (b + d) 2 • √ a 2 + b 2 + c 2 +  m 2 + n 2 + p 2 ≥  (a + m) 2 + (b + n) 2 + (c + p) 2 •  a 1 2 + b 1 2 +  a 2 2 + b 2 2 + +  a n 2 + b n 2 ≥ n  (a 1 + a 2 + + a n ) 2 + (b 1 + b 2 + + b) 2 Phần 2: TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC GIAI ĐOẠN 2007-2012. Bài 1. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 (y + z) y √ y + 2z √ z + y 2 (z + x) z √ z + 2x √ x + z 2 (x + y) x √ x + 2y √ y Đề thi đại học khối A-2007 Lời giải: Ta có: x 2 (y + z) ≥ 2x 2 √ yz = 2x √ x Tương tự ta có:  y 2 (z + x) ≥ 2y √ y z 2 (x + y) ≥ 2z √ z Ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P ≥ 2x √ x y √ y + 2z √ z + 2y √ y z √ z + 2x √ x + 2z √ z x √ x + 2y √ y Đặt a = x √ x + 2y √ y; b = y √ y + 2z √ z; c = z √ z + 2x √ x Suy ra: x √ x = 4c + a − 2b 9 ; y √ y = 4a + b − 2c 9 ; z √ z = 4b + c − 2a 9 Do đó : P ≥ 2 9  4c + a − b b + 4a + b − 2c c + 4b + c − 2a a  = 2 9  4  c a + a c + b a  +  a b + b a + c a  − 6  ⇒ P ≥ 2 9 (4.3 + 3 − 6) = 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1 Bài 2. Cho x, y, zlà các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x  x 2 + 1 yz  + y  y 2 + 1 zx  + z  z 2 + 1 xy  Đề thi đại học khối B-2007 Lời giải: Ta có: P = x 2 + y 2 + z 2 2 + x 2 + y 2 + z 2 xyz Mà ta có: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx nên P ≥  x 2 2 + 1 x  +  y 2 2 + 1 y  +  z 2 2 + 1 z  Xét hàm số:f (t) = t 2 2 + 1 t với t > 0.Lập bảng biến thiên của f (t)ta suy ra:f (t) ≥ 3 2 , ∀t > 0 Suy ra:Giá trị nhỏ nhất của P là 9 2 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài 3. Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng:  2 a + 1 2 a  b ≤  2 b + 1 2 b  a Đề thi đại học khối D năm 2007. 2 Lời giải : Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (1 + 4 a ) b ≤  1 + 4 b  a ⇔ ln (1 + 4 a ) a ≤ ln  1 + 4 b  b Xét hàm số f (x) = (1 + 4 x ) x với x > 0. Ta có: f  (x) = 4 x ln 4 x − (1 + 4 x ) ln (1 + 4 x ) x 2 (1 + 4 x ) < 0 ⇒ f (x)là hàm nghịch biến trên khoảng (0; +∞) . Do f (x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞) .và a ≥ b > 0nên f (a) ≤ f (b). Phép chứng minh hoàn tất. Bài 4. Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn x 2 + y 2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 (x 2 + 6xy) 1 + 2xy + 2y 2 Đề thi đại học khối B -2008 Lời giải: Ta có: P = 2 (x 2 + 6xy) 1 + 2xy + 2y 2 = 2 (x 2 + 6xy) x 2 + y 2 + 2xy + 2y 2 Nếu y = 0 ta có x 2 = 1. Suy ra P = 2 Nếu y = 0 đặt x = ty, khi đó: P = 2t 2 + 12t t 2 + 2t + 3 ⇔ (P −2) t 2 + 2 (P −6) t + 3P = 0 (1) Với P = 2,phương trình (1)có nghiệm t = 3 4 . Với P = 2,phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: ∆  = −2P 2 − 6P + 36 ≥ 0 ⇔ −6 ≤ P ≤ 3 Max P = 3 khi x = 3 √ 10 ; y = 1 √ 10 hoặc x = − 3 √ 10 ; y = − 1 √ 10 Min P = −6khi x = 3 √ 13 ; y = − 2 √ 13 hoặc x = − 3 √ 13 ; y = 2 √ 13 Phép chứng minh hoàn tất. Bài 5. Cho x, y là các số thực không âm .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: P = (x − y) (1 − xy) (1 + x) 2 (1 + y) 2 Đề thi đại học khối D -2008 Lời giải: Ta có: |P | =     (x − y) (1 − xy) (1 + x) 2 (1 + y) 2     ≤ (x + y) (1 + xy) |(x + y) + (1 + xy)| 2 ≤ 1 4 ⇔ − 1 4 ≤ P ≤ 1 4 Khi x = 0, y = 1 thì Max P = − 1 4 . Khi x = 1, y = 0 thì Min P = 1 4 Phép chứng minh hoàn tất. Bài 6. Cho hai số thực thay đổi x, ythỏa mãn x 2 + y 2 = 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 (x 3 + y 3 ) − 3xy Đề thi Cao đẳng khối A-2008 Lời giải: Ta có: P = 2 (x + y) (x 2 − xy + y 2 ) − 3xy = 2 (x + y) (2 − xy) − 3xy Đặt t = x + y. Do x 2 + y 2 = 2 nên xy = t 2 − 2 2 . Suy ra: P = 2t  2 − t 2 − 2 2  − 3 t 2 − 2 2 = −t 3 − 3 2 t 2 + 6t + 3 Do (x + y) 2 ≥ 4xy nên t 2 ≥ 2 (t 2 − 2) ⇒ −2 ≤ t ≤ 2 3 Xét hàm số: f (t) = −t 3 − 3 2 t 2 + 6t + 3 với −2 ≤ t ≤ 2 Lập bảng biến thiên từ đó suy ra Max P = 13 2 và Min P = −7. Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, zthỏa mãn x (x + y + z) = 3yz,ta có: (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3 (x + y) (y + z) (z + x) ≤ 5(y + z) 3 Đề thi đại học khối A-2009 Lời giải: Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x Điều kiện bài toán trở thành: c 2 = a 2 + b 2 − ab Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 3 + b 3 + 3abc ≤ 5c 3 a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện trên. c 2 = a 2 + b 2 − ab = (a + b) 2 − 3ab ≥ (a + b) 2 − 3 4 (a + b) 2 = 1 4 (a + b) 2 ⇒ a + b ≤ 2c a 3 + b 3 + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b) (a 2 + b 2 − ab) + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b) c 2 + 3abc ≤ 5c 3 ⇔ (a + b) c + 3ab ≤ 5c 2 Mà a + b ≤ 2c nên (a + b) c ≤ 2c 2 và 3abc ≤ 3.  a + b 2  2 .c ≤ 3c 2 . Suy ra điều phải chứng minh. Bài 8. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa mãn (x + y) 3 + 4xy ≥ 2.Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu thức : A = 3  x 4 + y 4 + x 2 y 2  − 2  x 2 + y 2  + 1 Đề thi đại học khối B-2009 Lời giải: Kết hợp (x + y) 3 + 4xy ≥ 2và (x + y) 2 ≥ 4xy.Suy ra:(x + y) 3 + (x + y) 2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1 A = 3 (x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2 (x 2 + y 2 ) + 1 = 3 2 (x 2 + y 2 ) 2 + 3 2 (x 4 + y 4 ) − 2 (x 2 + y 2 ) + 1 4