Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk 1 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN Bài 1. Cho phương trình () () () 2 58 01 1 mx m x m xx +− + = + a) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 x = . Giải phương trình với những giá trị m vừa tìm được. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 2. a) Giải bất phương trình 2 232xxx−< − + b) Giải hệ phương trình 2 2 5 5 xy yx ⎧ += ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Bài 3. Cho đường tròn () ;ORvà dây cung 3BC R= . A là một điểm di động trên cung lớn B C sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Đường cao ,,AD BE C F cắt nhau tại H () ,,DBCEACFAB∈∈∈. AO cắt ( ) O tại P và cắt EF tại I . a) Tính n B AC b) Chứng minh tứ giác DHIP nội tiếp. c) Chứng minh rằng đường trung trực của OH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. Bài 4. a) Cho 22 444xyyx−+ −= . Tính 22 x y + b) Giải phương trình 22 26 3 26 21xxxx+−+ −= Bài 5. Ba bạn nhỏ An, Bình và Liên giải được 100 bài toán, biết rằng mỗi bạn giải được 60 bài. Ta gọi bài toán là khó nếu chỉ có một bạn giải được bài đó. Ta gọi bài toán là dễ nếu cả ba bạn đều giải được nó. Tính hiệu số giữa số bài toán khó và số bài toán dễ. Hướng dẫn giải Bài 1 a) () () () 2 58 01 1 mx m x m xx +− + = + Ta có 1 x = là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi ( ) () 2 .1 5 8 .1 5 056 0 6 11 1 mmm mm +− + =⇔− =⇔ = + Với 5 6 m = , phương trình trở thành Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk 2 () 2 58.55 5 666 0 1 xx xx ⎛⎞ +− + ⎜⎟ ⎝⎠ = + () 2 5105 0 1 xx xx −+ ⇔= + (2) (điều kiện 0x > ) Với điều kiện trên ta có () ( ) 2 251050 1 x xxn⇔−+=⇔= Vậy phương trình có nghiệm 1 x = b) () () () 2 58 01 1 mx m x m xx +− + = + Điều kiện 0x > Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình: () 2 58 0mx m x m + −+= có hai nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương với () ()() 2 2 0 58 4 0 0 58 510 56 0 0 85 0 10 1 2 5 0 6 5 0 6 5 8 m mm m m mm S m m m m P m m m m m m m ≠ ⎧ ⎧ ⎪ Δ= − − > ⎪ ⎪ ≠ ⎪ ⎪ − ⇔ −−> ⎨⎨ =− > ⎪⎪ − ⎪⎪ > ⎩ ⎪ ==> ⎩ ⎧ ⎡ < ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ < ⎡ ⎪ ⎢ > ⎪ ⎢ ⎢ ⇔⇔ ⎣ ⎨ ⎢ > ⎪ < ⎡ ⎣ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ > ⎪ ⎣ ⎩ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m thỏa 0m < hoặc 5 6 m > . Bài 2. a) Ta có: () 2 22 22 232232 44 32 2 xxx xxx xx xx x −< − +⇔ − < − + ⇔−+<−+ ⇔> Vậy nghiệm của bất phương trình là 2x > Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk 3 b) () () 2 2 51 52 xy yx ⎧ += ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Lấy (1) trừ (2) ta có: ()( ) 22 010 1 x y xyy x xy xy x y = ⎡ −+ − =⇔ − −− =⇔ ⎢ = − ⎣ Với x y= thế vào (1) ta có: 2 121 121 22 50 121 121 22 yx yy yx ⎡ −+ −+ =⇒= ⎢ ⎢ +−=⇔ ⎢ −− −− =⇒= ⎢ ⎣ Với 1 x y=− thế vào (2) ta có: 22 117 117 22 15 40 117 117 22 yx yy yy yx ⎡ +− =⇒= ⎢ ⎢ +−=⇔ −−=⇔ ⎢ −+ =⇒= ⎢ ⎣ Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm () , x y là 1 21 1 21 1 21 1 21 1 17 1 17 ,,,,, 22 22 22 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −+ −+ −− −− − + ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ và 117117 , 22 ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ Bài 3. M P I F E D H C B O A Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk 4 a) Tính góc n B AC Vẽ đường kính B B ′ . Khi đó ta có n n B AC BB C ′ = (góc nội tiếp cùng chắn cung p B C ) Và n 90 o BCB ′ = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tam giác vuông B CB ′ ta có n n 33 sin 60 60 22 oo BC R BB C BB C BAC BB R ′′ == =⇒ =⇒ = ′ b) Chứng minh DHIP nội tiếp Ta có nn 90 o BEC BFC==, suy ra B FEC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông) Suy ra n n AEF ABC= hay n n AEI ABC= Mặt khác ta có n n ABC APC= (góc nội tiếp cùng chắn cung p AC ) Suy ra n n AEI APC= . Xét AEIΔ và A PCΔ có • Góc I chung • n n () cmtAEI APC= Suy ra () AEI APC g g ∩ ∪ ΔΔ − Suy ra () 1 AE AI AI AP AE AC AP AC =⇒ = Ta có: () () . 2 AHE ACD g g AH AE AH AD AE AC AE AD ∩ ∪ ΔΔ ⇒=⇒ = Từ (1) và (2) ta có AI AH AI AP AH AD AD AP =⇒= Suy ra () A HI APD c g c ∩ ∪ ΔΔ n n AHI APD⇒= Suy ra tứ giác DHIP nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện) c) Chứng minh trung trực của OH đi qua một điểm cố định Gọi M là giao điểm của cung nhỏ p B C và đường trung trực của HO. Ta có n n () B AD APC cmt= n n 90 o ABD ACP==, suy ra () n n () .3ABD APC g g BAD PAC ∩ ∪ ΔΔ ⇒= Ta có () . AH AE AHE BCE g g B CBE ∩ ∪ ΔΔ ⇒= Trong tam giác vuông ABE có 1 cot cot 60 3 o AE BAE BE === Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk 5 Suy ra 13 333 AH BC R AH R AO BC =⇒ = = == Suy ra tam giác AHO cân tại A . Suy ra đường trung trực của HO cũng chính là đường phân giác của góc n HAO hay n n () 4MAH MAO= Từ (3) và (4) ta có n n B AM CAM= , suy ra qq B MCM= hay M là trung điểm cung p B C nên cố định Vậy đường trung trực của HO luôn đi qua một điểm cố định, điểm đó là trung điểm cung nhỏ p B C của đường tròn () O Bài 4. a) Ta có () ()()() ()() ()() ()() ()() ()() ( ) ()() ()() 22 22 2 222 2222 2 2 22 2 2 2 2 22 2222 2 22 22 2222 2 2 22 22 22 444 4244 416 442 2 4 4 160 24416244 0 44 244 0 44 0 44 44 16 4 4 xyyx xyxyy xyx xyxyxy y x xy x y xy x y xyxyxyxy xyxy xyxy xyxy x y xy xy xy −+ −= ⇒−+ − −+−= ⇒+− + − −−= ⇒ −−+− − −= ⇒− − − − − + = ⇒− −−= ⇒− −= ⇒− − = ⇒− − + = ⇒+ 4= b) 22 26 3 26 21xxxx+−+ −= (2) Điều kiện: 2 26 26 0 26 x x x ⎡ ≤− −≥⇔ ⎢ ≥ ⎢ ⎣ Đặt 2 26tx x=+ − ( Điều kiện 0t ≥ ) Khi đó: 2 22 2 2 2 2 26 26 2 26 26 2 26 26 2 t tx x x x x x x x − =+−+ −=+ −⇒ −= Phương trình (2) trở thành: Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk 6 () ( ) () 2 2 6 326 21 3 2 120 0 20 2 3 tn t ttt tl ⎡ = − ⎢ +=⇔+−=⇔ − ⎢ = ⎢ ⎣ Với 6t = ta có: () ( ) 22 2 2 2 26 6 26 6 26 6 6 212100 1 5 x xxx xx dkx xx x x +−=⇔−=− ⇔−=− ≤ ⇔−+= = ⎡ ⇔ ⎢ = ⎣ Vậy phương trình có hai nghiệm 1 x = và 5x = Bài 5 Gọi x là số bài toán khó, ylà số bài toán dễ, z là số bài toán không khó không dễ (bài có hai người làm được) Vì số bài toán giải được là 100 bài nên ta có ( ) 100 1xyz++= Số bài khó 1 bạn giải được, số bài dễ 3 bạn giải được, số bài còn lại là hai bạn giải được. Và mỗi bạn giải được 60 bài nên ta có: ( ) 2 3 60 3 180 2xzy++=×= Lấy (2) trừ (1) ta có () 280 3zy+= Lấy (1) trừ (3) ta có 20xy −= Vậy số bài toán khó nhiều hơn số bài toán dễ là 20 bài. y . Quân, P.5 , Q.11 Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk 1 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN Bài 1. Cho phương trình () () () 2 58 01 1 mx m x m xx +− + = + a). 2 () 2 58.55 5 666 0 1 xx xx ⎛⎞ +− + ⎜⎟ ⎝⎠ = + () 2 5105 0 1 xx xx −+ ⇔= + (2) (điều kiện 0x > ) Với điều kiện trên ta có () ( ) 2 2 5105 0 1 x xxn⇔−+=⇔= Vậy phương trình có nghiệm 1 x =. m + −+= có hai nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương với () ()() 2 2 0 58 4 0 0 58 510 56 0 0 85 0 10 1 2 5 0 6 5 0 6 5 8 m mm m m mm S m m m m P m m m m m m m ≠ ⎧ ⎧ ⎪ Δ= − − > ⎪ ⎪ ≠ ⎪ ⎪ − ⇔ −−> ⎨⎨ =−