TT đề thi HSG môn Toán

ĐỀ SỐ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 (Thời gian làm bài 150’) Câu 1: Giải phương trình. xx x   1 36 = 3 + 2 2 xx  Câu 2: Cho hệ phương trình: x - 3y - 3 = 0 x 2 + y 2 - 2x - 2y - 9 = 0 Gọi (x 1 ; y 1 ) và (x 2 ; y 2 ) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị của biểu thức. M = (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 . Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số EF PQ không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC. Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức. 2(y+z) = x (yz-1) Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. http://kinhhoa.violet.vn ĐỀ SỐ 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150’) Câu 1: Cho biểu thức. (x + 200620062006 22  )yy()x Hãy tính tổng: S = x + y Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn: 0 1 22 22    yx yyxx Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất. Câu 3: Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính phương. Câu 4: Cho hai đường tròn (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (C 3 ) và tiếp xúc với (C 3 ) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C 1 ) và (C 2 ) cắt (C 3 ) tại P. PM cắt đường tròn (C 1 ) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C 1 ) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C 2 ) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C 2 ) tại điểm thứ hai C. a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy. Câu 5: Giải phương trình. x 2 + 3x + 1 = (x+3) 1 2 x ĐỀ SỐ 3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THANH HOÁ MÔN: TOÁN ***** Thời gian: 150 phút Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không? 5 13 5 13 5 y       Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: 1 1 1 1 a b c a b c      . Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: 1 1 1 1 n n n n n n a b c a b c      Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 2 1 9 1 1 x y x y              Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau: 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m           Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất Bài 5: Tìm m để phương trình (x 2 -1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 thoả mãn điều kiện 1 2 3 4 1 1 1 1 1 x x x x      Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số 2 1 2 y x  a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x 3 – y 3 – 2y 2 – 3y – 1 = 0 Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B. Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I 1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được 2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB. Bài 9: Cho tam giác ABC có  0 90 A  , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất. ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Bài I (2 đ ) Rút gọn A a a a a 211 21 211 21      Với a = 4 3 Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x 2 + 4x = 19-3y 2 b) Giải hệ phương trình x 3 =7x +3y y 3 = 7y+3x Bài III (3 đ ) Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1 Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx Bài IV (6 đ ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lượt thứ tự là trung điểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH  AD, MH’  BC. Gọi I là giao điểm của MH’ và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D. Bài V (3 đ ) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc. ĐỀ SỐ 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 MÔN TOÁN -THỜI GIAN : 150 PHÚT NGƯỜI RA ĐỀ : LÊ THỊ HƯƠNG – LÊ THỊ TÂM Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x A = 23 1 12102 3 )2)(34(2 3)6(6       xxxxxxx xxx điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1 Câu 2 : (3 điểm) giải phương trình 48 2 x = 4x - 3 + 35 2 x Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x 3 y 3 + z 3 - 3xyz Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = x (y - z) 2 + z (x - y) 2 + y( z-x) 2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN của biểu thức  = 2221616 2 10 2 10 )1()( 4 1 )( 2 1 yxyx x y y x  Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần. Câu 6 : (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA. chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0). ĐỀ SỐ 10 SỞ GD-ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 TrườngTHPT Bỉm Sơn Bảng A ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A=   yx yyxx yx yx yyxx yx        2 )( 1,Rút gọn biểu thức A 2, So sánh A và A Câu 2: ( 5 Điểm) 1, Giải phương trình: x 2 + 4x + 5 = 2 32 x 2, Cho 1  a  2 và 1  b  2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 33 2 )( b a ba   Câu 3, (6 điểm) 1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai: (m-2)x 2 -2(m-1)x +m = 0 Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác là: 5 2 2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng (  ) . Đường tròn (o) tiếp xúc với đường thẳng (  ) tại A. Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) và tiếp xúc với đường thẳng (  ) tại B. Câu 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (o 1 ) và (o 2 ) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o 1 ) và (o 2 ) tại C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (o 1 ) và (o 2 ) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q . Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng: 1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 2, Tam giác EPQ là tam giác cân. Đề số 11 Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – BẢNG B Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Rút gọn A=                      a a a aa 1 1 1 1 22 1 22 1 2 2 với a > 0 và a 1 Bài 2: Phân tích đa thức B = x 4 + 6x 3 + 7x 2 – 6x + 1 thành nhân tử Bài 3: Tìm m để phương trình 0 4 15 22  mxx có hai nghiệm và nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia. Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên          2122 112 mmyx mymx Bài 5: Giải phương trình 55 2  xx Bài 6 : Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox, Oy. Xác định m để S ABO bằng 4. Bài 7 : Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đường phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20 cm. Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A,  BAC = 60 0 , M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp. Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia. Tài liệu: - Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9 - Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9 - Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính - Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9. ĐỀ SỐ 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HOÁ Môn thi : Toán ( Thời gian làm bài : 150 phút) Bài I (3,0 điểm): Tính giá trị của biểu thức P = .Trong đó a là nghiệm dương của phương trình : 4x 2 + 2 x- 2 = 0 Bài II ( 6,0 điểm): 1) Giả sử phương trình : x 2 +ax+b = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 và phương trình :x 2 +cx +d = 0 có hai nghiệm x 3 , x 4 .Chứng minh rằng : 2(x 1 +x 3 ) (x 1 +x 4 ) (x 2 +x 3 ) (x 2 +x 4 ) = 2(b-d) 2 - (a 2 -c 2 )(b-d)+(a+c) 2 (b+d) 2) Chứng minh rằng nếu phương trình : ax 4 +bx 3 +cx 2 -2bx+4a=0 (a  0) có hai nghiệm x 1 ,x 2 thoả mãn x 1 x 2 =1 thì 5a 2 =2b 2 +ac Bài III (5,0 điểm): Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA’,BB’,CC’ lần lượt là các đường cao. H là trực tâm 1) Chứng minh rằng: 2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m Bài IV (4,0 điểm): Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta nối với các đỉnh của hình bình hành đó . Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành Bài V (2,0 điểm): Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình : x 2 +x+1 = py có nghiệm nguyên x,y. Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn 24 1 1 aaa a   6 '''  HC CH HB BH HA AH m H A AH  ' Đề số 13 Sở GD-ĐT Thanh Hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006 (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1: (2,0đ) Tính giá trị biểu thức: A= 322 1 322 1    Bài 2: (5,0đ) Cho parabol(P): y= 4 1 x 2 a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 2 và - 4. b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài 3: (4,0đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đường tròn (O;R). Trên cung AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC. a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1 điểm thứ ba cố định. b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC. c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R. Bài 4 : (4,0 đ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. a. Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của đáy ABC b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật. Bài 5 : (5,0 đ) a.Giải phương trình: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0 b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x 2 +7xy + 6y 2 = 60 Đề số 14 Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ MÔN : TOÁN NGA SƠN Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao Bài 1: (6 điểm) 1- Giải phương trình : x 2 + y 2 = 5 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 13 2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2 : (3 điểm) Cho Phương trình : x 2 – 2 .(m - 1) x + m – 3 = 0 1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m. 2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau. Bài 3 : (3 điểm) Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d ê R. Hãy chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1 Bài 4 : (4 điểm) Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi: AB. AC = 2DB . DC. Bài 5: ( 4 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA SB, SA SC, SB SC. Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x. a)Tính thể tích hình chóp S ABC theo : a, k, x. b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất 2x- 1 x 2 + 2 [...]... của AB cắt BD, AC tại M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích của hình thoi theo a và b Đề số 57 SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ======***===== KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn Thi : Toán (Thời gian 150 phút,không kể giao đề ) Người ra đề: Trinh Thị Thanh Huyền Đơn vị: Trường THPT Triệu Sơn 3 Bài 1 (2đ): (Các đề thi học sinh giỏi Toán ở Mĩ) 1 Tổng của trung bình cộng và trung bình nhân của hai số dương là 200 Tính... dài đoạn HK lớn nhất Bài 10 (2đ): ( 40 đề thi tuyển sinh vào PTTH) Dựng tam giác ABC biết trung điểm M, N tương ứng của BC, AC và đường phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng (d) đã cho Hết Đề số 58 Sở GD - ĐT Thanh Hoá ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Trường THPT Triệu Sơn 4 Năm học 2005-2006 Môn: Toán; Thời gian: 150 phút Câu 1: (36 bộ đề Toán – Võ Đại Mau – Trang 212) Rút gọn biểu thức sau: A= 2... P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của  BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA ĐỀ SỐ 40 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN Đề đề xuất Thời gian150’ Bài 1:(4đ) Cho biểu thức: P 3 1 4  4  5 3 4 3 x  x  x  1 x  x  x 1 x  x  x  x2  x  1 4 3 a\ Rút gọn biểu thức P b\ Chứng minh rằng: 0 Rút gọn P b> Tìm giá... lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0) ĐỀ SỐ 62 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN : TOÁN HỌC - THỜIGIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT ĐỀ THI BẢNG A Câu1: Cho a, b, c là 3 số dương n  N ; n  2 chứng minh rằng: n a b c n n n n   n  1 (3 điểm) bc ca a  b n 1 Câu 2: Các số nguyên không âm... rằng: a1+ a2+ …+ an  2) Cho BPT: x 1 m x  x 1 n 3 (1) 2 a- Tìm m để bất phương trình có nghiệm? b- Xác định m để (1) đúng với mọi x? ĐỀ SỐ 54 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 9 THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI MÔN THI : TOÁN Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề) Bài 1 : Tính giá trị biểu thức:  A  3x 3  8x 2  2  2006 3 với x  17 5  38  52  5  14  6 5 Bài 2 : Cho x  o ,hãy tìm giá... giác ABC cắt nhau tại I Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O a Chứng minh  ABH đồng dạng với  MKO b Chứng minh 3 IO 3  IK 3  IM 3 2 = 3 3 3 4 IA  IH  IB ĐỀ SỐ 33 NGÂN HÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III Bài 1: 1) (2đ) Rút gọn biểu thức: A  3 a3  a  1 1 1 1 27 a 4  6a 2   3 a 3  a  27 a 4  6a 2  3 3 3 3 2) (2đ) Trục căn . là 3 đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó. http://kinhhoa.violet.vn ĐỀ SỐ 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 (Thời gian làm bài:. trên một (0). ĐỀ SỐ 10 SỞ GD-ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 TrườngTHPT Bỉm Sơn Bảng A ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu1. 2x- 1 x 2 + 2 Đề số 21 S Ở GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 o0o ĐỀ XUẤT NGÂN HÀNG ĐỀ Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán o0o Câu 1: (1 điểm) Rút gọn