de hsg _ hay

3 Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ d m đi qua Câu 4: 3 điểm Cho tam giác vuông cân ABC vuông ở A, AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổ

Tuyển chọn đề thi HSG toán 9

http://quanghieu030778.violet.vn/

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )

1) Viết phơng trình họ đờng thẳng ( )d m vuông góc với AB tại A

2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ ( )d m đồng qui

3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ ( )d m đi qua

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M

là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD

a) Tính số đo góc NEB

b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định

(2n 1)( n n 1) với n = 1, 2, , 2008.…

Chứng minh rằng: a + a + + a1 2 2009 < 2008

2010

Hết

Sở giáo dục và đào tạo

Môn thi : Toán Mã số: .

Hớng dẫn chấm gồm trang

H ớng dẫn chấm

1 2

0,25

Giải phơng trình ( )1 ta đợc x = 2 Giải phơng trình ( )2 Vô nghiệmVậy với x = 2 thì f x( ) = 8.

⇒ xy + yz + zx = 2zx – 1 ⇒ 2zx = 12

⇒ zx = 6 ⇒ xy + yz = 5 ⇒ y(x + z) = 5 (4)

0,25

Mà y + x + z = 6 ⇒ x + z = 6 – y(4) ⇒ y(6 – y) = 5

⇒ y(6 – y) = 5 ⇒ (y – 1)(y – 5) = 0 ⇒  =y 1y 5=

2

− )2 = 23

4

− (phơng trình vô nghiệm)Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là S ={(3; 1; 2),(2; 1; 3)}

Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất

2 nghiệm ⇒ Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (dm) đi qua điểm (xo; yo)

Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (dm) đồng qui

1 1

(x 1)y

4Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol ⇔ = − 2

1 1

(x 1)y

C

D E

H M

N

I

P

O K

45 0

Vẽ đờng tròn đờng kính AB Gọi giao của HN với đờng tròn là I 0,25

Do ∆DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính 0,25

Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính

AB nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB 0,25

Điểm I đối xứng với D qua AB Vậy I là điểm cố định 0,25

DC = DB (AD là trung truyến của ∆ABC)

⇒ ∆DCP = ∆DBE (g.c.g) ⇒ CP = BE (1)

+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân

giác của àAnên MNAP là hình vuông

⇒ AN = AP ⇒CP = BN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BE = BN ⇒ ∆BEN cân

0,25

⇒ NEB 45ã =

+) Gọi O là trung điểm của EN

Ta có∆BEN và ∆EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN

nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O

Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K

2 (ãKOBgóc ngoài của tam giác cân OHB)

⇒ OHN OHB ã − ã =1(KON KOBã −ã ) = 1.900

⇒ BHN 45 ã = 0

Vậy có BHN BEN 45 ã = ã = 0 (3)

Chứng minh tơng tự ta có: NHA NPA 45 ã = ã = 0 (4)

Từ (3) và (4) có AHB 90 ã = 0và NH là đờng phân giác của góc ãAHB

Gọi H’ là hình chiếu của H trên AB

Khi đó SAHB = 1AB.HH'

2

Do đó SAHB lớn nhất khi HH’ lớn nhất

Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH’ lớn nhất khi nó

bằng bán kính, tức là khi H≡D Khi đó M ≡ D

0,25

0,250,25

0,250,250,25

0,250,25

0,250,250,250,250,250,5

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )

1) Viết phơng trình họ đờng thẳng ( )d m vuông góc với AB tại A

2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ ( )d m đồng qui

3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ ( )d m đi qua

Câu 4: (3 điểm)

Cho đờng tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi A là một điểm trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đờng cao AD, BE, CK cắt nhau tại H

1) Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp

2) Nếu BHC BOCã = ã Tính độ dài đoạn thẳng AH theo a

3) Tìm vị trí của A để tích DH.DA đạt giá trị lớn nhất?

(2n 1)( n n 1) với n = 1, 2, , 2008.…Chứng minh rằng: a + a + + a1 2 2009 < 2008

2010

Hết

Sở giáo dục và đào tạo

Môn thi : Toán Mã số: .

Hớng dẫn chấm gồm 5 trang

H ớng dẫn chấm

C©u PhÇn Néi dung §iÓm

1 2

0,25

Giải phơng trình ( )1 ta đợc x = 2 Giải phơng trình ( )2 Vô nghiệmVậy với x = 2 thì f x( ) = 8.

⇒ xy + yz + zx = 2zx – 1 ⇒ 2zx = 12

⇒ zx = 6 ⇒ xy + yz = 5 ⇒ y(x + z) = 5 (4)

0,25

Mà y + x + z = 6 ⇒ x + z = 6 – y(4) ⇒ y(6 – y) = 5

⇒ y(6 – y) = 5 ⇒ (y – 1)(y – 5) = 0 ⇒  =y 1y 5=

2 nghiệm ⇒ Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (dm) đi qua điểm (xo; yo)

Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (dm) đồng qui

1 1

(x 1)y

4Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol ⇔ = − 2

1 1

(x 1)y

0,25

Vì 3 đờng cao AD, BE, CK cắt nahu tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC ⇒ ãHDC HEC= ã =900 0,25

Xét tứ giác CDHE có ãHDC HEC+ã =900 +900 =1800

Vậy tứ giác CDHE nội tiếp đờng tròn đờng kính CH 0,25

2) Xét tứ giác AKHE có Kà = =àE 900 ⇒ àA BHC+ã =1800 0,25

1,25điểm mà ãBHC BOC= ã ; ãBOC = 2àA ⇒ 3àA=1800 ⇒ =àA 600

Kẻ BI là đờng kính, chứng minh tứ giác AICH là hình bình hành

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Môn thi : Toán Mã số: .

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 1 trang Cõu 1:(2 điểm)

2)

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M

là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD

1) Tính số đo góc NEB

2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

3) CMR: Khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định

Sở giáo dục và đào tạo

Môn thi : Toán Mã số: .

Híng dÉn chÊm gåm 5 trang

H íng dÉn chÊm

b b

(Lo¹i v× b+ > 1 0)

( )

1 2009.2010.2011.2012 4087371731776 4

+

0,25

⇔ x2 + 5x− 4050150 0 =Giải phơng trình này ta đợc x1 = 2010; x1 = − 2015

Vậy với x1 = 2010 hoặc x1 = − 2015 thì 5

DC = DB (AD là trung truyến của ∆ABC)

2) +) Gọi O là trung điểm của EN

Ta có∆BEN và ∆EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O 0,25

1,25điểm Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K

C

D E

H M

N

I

P

O K

45 0

Từ (3) và (4) có AHB 90 ã = 0và NH là đờng phân giác của góc ãAHB 0,25

Gọi H’ là hình chiếu của H trên AB

Khi đó SAHB = 1AB.HH'

Vẽ đờng tròn đờng kính AB Gọi giao của HN với đờng tròn là I 0,25

Do ∆DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính 0,25

Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính

AB nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB 0,25

Điểm I đối xứng với D qua AB Vậy I là điểm cố định 0,25

Câu 5

1 điểm

Với mọi k đặt bi = ai + k thì ai – aj = (ai + k) – (aj + k) = bi – bj (*)

Do đó ta có thể chọn k sao cho bn + 2 = an + 2 + k = 3n và chuyển về xét dãy số: 1 ≤ b1< b2 < < bn+2 = 3n

…

0,25

Mặt khác do n + 1 > n nên tồn tại 2 số bi, bj (j < i) thuộc cùng một cặp, chẳng hạn (t, 2n + t – 1)

hay n < bi – bj = 2n + t – 1 – t = 2n – 1 < 2n

0,25

Theo (*) từ cặp số bi, bj thoả mãn n < bi – bj < 2n thì tồn tại cặp ai, aj thoả mãn: n < ai– aj < 2n 0,25

Sở giáo dục và đào tạo

hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )

1) Viết phơng trình họ đờng thẳng ( )d m vuông góc với AB tại A

2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ ( )d m đồng qui

3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ ( )d m đi qua

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M

là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD

1) Tính số đo góc NEB

2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

3) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5: (1điểm)

Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có

4 đỉnh là các đỉnh của hình thang

Hết

Sở giáo dục và đào tạo

Môn thi : Toán Mã số: .

Hớng dẫn chấm gồm 5 trang

H ớng dẫn chấm

1 2

0,25

Giải phơng trình ( )1 ta đợc x = 2 Giải phơng trình ( )2 Vô nghiệmVậy với x = 2 thì f x( ) = 8.

⇒ xy + yz + zx = 2zx – 1 ⇒ 2zx = 12

⇒ zx = 6 ⇒ xy + yz = 5 ⇒ y(x + z) = 5 (4)

0,25

Mà y + x + z = 6 ⇒ x + z = 6 – y(4) ⇒ y(6 – y) = 5

⇒ y(6 – y) = 5 ⇒ (y – 1)(y – 5) = 0 ⇒  =y 1y 5=

2

− )2 = 23

4

− (phơng trình vô nghiệm)Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là S ={(3; 1; 2),(2; 1; 3)}

Gọi phơng trình họ đờng thẳng ( )d m là y = a’x + b’

2 nghiệm ⇒ Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (dm) đi qua điểm (xo; yo)

Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (dm) đồng qui

1 1

(x 1)y

4Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol ⇔ = − 2

1 1

(x 1)y

DC = DB (AD là trung truyến của ∆ABC)

C

D E

H M

N

I

P

O K

45 0

+) Gọi O là trung điểm của EN.

Ta có∆BEN và ∆EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O 0,25Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K

2 (ãKOBgóc ngoài của tam giác cân OHB)

⇒ OHN OHB ã − ã =1(KON KOBã −ã ) = 1.900

⇒ BHN 45 ã = 0

0,25

Vậy có BHN BEN 45 ã = ã = 0 (3)Chứng minh tơng tự ta có: NHA NPA 45 ã = ã = 0 (4)

Từ (3) và (4) có AHB 90 ã = 0và NH là đờng phân giác của góc ãAHB 0,25

Gọi H’ là hình chiếu của H trên AB

Khi đó SAHB = 1AB.HH'

Vẽ đờng tròn đờng kính AB Gọi giao của HN với đờng tròn là I 0,25

Do ∆DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính 0,25

Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính

AB nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB 0,25

Điểm I đối xứng với D qua AB Vậy I là điểm cố định 0,25

α = Các dây nối hai đỉnh của (H) chắn các cung nhỏ có số đo là α , 2α , 3α , , 7… α

Do vậy độ dài các dây đó chỉ nhận 7 giá trị khác nhau

thiết

0,25

Dễ thấy 2 dây bằng nhau của một đờng tròn không chung đầu mút thì

4 đầu mút của chúng là một đỉnh của một hình thang cân

Từ đó suy ra trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang

0,25

Trờng thcs nhật tân

Giáo viên ra đề: Đoàn Văn ái

ấ THI CHON HOC SINH GIOÌ

N m hoc: 2008 - 2009 ă ̣ MễN: TOAN 9 (Th i gian 150 phut)́ ờ ́

a Xác định giá trị của m ờ hờ co nghiờm duy nhõtđ ̉ ̣ ́ ̣ ́

b Gia s (x,y) la nghiờm duy nhõt cua hờ Tim hờ th c liờn hờ gi a x,y ục lõp ̉ ử ̀ ̣ ́ ̉ ̣ ̀ ̣ ứ ̣ ữ đ ̣ ̣

Cho t giac ABCD nụi tiờp trong ứ ́ ̣ ́ đương tron (O;R) co hai ̀ ̀ ́ đương cheo AC và ́ ̀

BD vuụng goc v i nhau tai I va I khac O.́ ớ ̣ ̀ ́

a Ch ng minh: IA.IC = IB.IDứ

b Ve ̃đương kinh CE Ch ng minh ABDE la hinh thang cõn, suy ra :̀ ́ ứ ̀ ̀

Đáp án Bai 1̀ : C/minh: 2 2

1 1;

K

F E I

D

C B

A

Bài 4

/ a Ch ng minh: ứ ∆IAB ∼∆IDC

IA IB IA IC IB ID .

ID = IC → =

b/ c/m ABCD la hinh thang cõǹ ̀

( Chứng minh hai cung AB và DE bằng nhau

cm: ED2 + CD2 = EC2 ( tam giác DEC vuông tại D)→ AB2 + CD2 = 4R2

C/m tương t : BCự 2+DA2 = BE2 + DA2 =EC2 = 4R2

c/ cm: ∆ABF cõn → IB = IF c/m tương t : IA = IK ự → ABKF la hinh binh hanh̀ ̀ ̀ ̀

→ AK ⊥ BF → ABKF la hinh thoi.̀ ̀d/ O la trung iờm cua EC, M trung iờm CD ̀ đ ̉ ̉ đ ̉ → OM la trung binh ̀ ̀ ∆ECD →DE = 2OM

AB = DE (ABCD la hinh thang cõn) ̀ ̀ → AB = 2OM

Bài 5:

Chia tam giác thành 4 tam giác không có điểm chung trong bằng việc vẽ các ờng trung bình của nó Khi đó cạnh lớn nhất trong các tam giác đó bằng 1 Ta chứng minh khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc một trong 4 tam giác đó không vợt quá

đ-1 - khỏang cách luôn không lớn hơn cạnh lớn nhất là đ-1 Do có 5 điểm trong tam giác ban đầu nên có ít nhất 01 trong 4 tam giác nhỏ chứa không ít hơn 2 điểm trong số 5

điểm đó vì vậy luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách không vợt quá 1

Ubnd huyện gia lộc

Phòng giáo dục& ĐT

đê

đề thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 2

Năm học: 2008-2009 Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian

giao đề)

Ngày thi 17/01/2009 Cõu 1:(1,5 điểm)

b Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2009 Chứng minh rằng:

b Chiều cao của một tam giác bằng 3; 4; 5 Tam giác này có phải là tam giác vuông không?

hoặc: Cho hình vuông ABCD với M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và

Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dơng n ta có x n +y n =a n+b n

Bài 3(2 điểm).Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a+ b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh).

Bài 4 (3 điểm) Cho đờng tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi A là một điểm trên

cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đờng cao AD, BE, CK cắt nhau tại H

4) Trong trờng hợp ãBHC BOC= ã , tính AH theo a

5) Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất

Bài 5 (1 điểm) Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì

của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang

y y

0,5®

C©u 4

(Lo¹i v× y+ > 1 0)

Do M là trung điểm của BC ⇒ OM ⊥BC và OM là tia phân giác

của góc BOC ⇒ ãMOC =600

(Dấu “=” xảy ra khi DB = DC hay D là trung điểm của BC)

⇒ DA.DH nhận giá trị lớn nhất là 2

4

a khi D là trung điểm của

BC ⇔ ∆ABC cân tại A hay A là điểm chính giữa của cung BC

0,5đ0,25

0,5đ0,25đ0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ0,25đ

Bài 5 Các đỉnh của hình (H) chia đờng tròn ngoại tiếp nó thành 14

cung bằng nhau, mỗi cung có số đo là

01807

α = Các dây nối hai

đỉnh của (H) chắn các cung nhỏ có số đo là α , 2α , 3α , , 7…

α Do vậy độ dài các dây đó chỉ nhận 7 giá trị khác nhau

Lấy 6 đỉnh của hình (H) thì số dây hai đỉnh trong 6 đỉnh đó là

(6.5): 2 = 15 Vì 15 dây này có độ dài không nhận quá 7 giá trị

khác nhau nên phải 3 dây có cùng độ dài Trong 3 dây đó luôn

0,25đ

0,25đ

có 2 dây không chung đầu mút ( Vì nếu 2 dây trong 3 dây đó đều

chung đầu mút thì 3 dây bằng nhau đó tạo thành một tam giác

đều, do đó số đỉnh của (H) chia hết cho 3 trái với giả thết

Dễ thấy 2 dây bằng nhau của một đờng tròn không chung đầu

mút thì 4 đầu mút của chúng là một đỉnh của một hình thàn cân

Từ đó suy ra trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn có 4 đỉnh là các

b) Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dơng a1, a2, , an+2 thoả mãn điều kiện

Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ (1; 1) A di động A(m; 0)

a) Viết phơng trình họ đờng thẳng (dm) vuông góc với AB tại A

b) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ (dm) đồng qui

c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ (dm) đi qua

Câu 5: (4điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M

là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD

a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định

1điểm Với mọi k đặt bDo đó ta có thể chọn k sao cho bi = ai + k thì ai – an + 2j = (a = an + 2i + k) – (a + k = 3n và chuyển về xét dãy j + k) = bi – bj (*)

bn+1 có mặt ở các thành phần của n cặp số: (1, 2n), (2, 2n+1), , (n, 3n – 1)

…Mặt khác do n + 1 > n nên tồn tại 2 số bi, bj (j < i) thuộc cùng một cặp, chẳng hạn (t, 2n + t – 1)

2008Mặt khác:

− < Vậy u1+ u2+ + u… 2007 2007

2009

<

0,250,25

Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất 2

nghiệm ⇒ Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (dm) đi qua điểm (xo; yo)

Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (dm) đồng qui

0,250,25

(x 1)y

4Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol = − 2

1 1

(x 1)y

4

0,25

0,255

Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB

+) Xét ∆DCP và ∆DBE có:

DC = DB (AD là trung truyến của ∆ABC)

⇒ ∆DCP = ∆DBE (g.c.g) ⇒ CP = BE (1)

+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân giác

của àAnên MNAP là hình vuông

⇒ AN = AP ⇒CP = BN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BE = BN ⇒ ∆BEN cân

⇒ NEB 45ã = 0

+) Gọi O là trung điểm của EN

Ta có∆BEN và ∆EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O

Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K

2 (ãKOBgóc ngoài của tam giác cân OHB)

⇒ OHN OHB ã − ã =1(KON KOBã −ã ) = 1.900

0,250,250,250,25

H

’

A B

C

D E

H M

N

I

P

O K

45 0

Chứng minh tơng tự ta có: NHA NPA 45 ã = ã = (4)

Từ (3) và (4) có AHB 90 ã = 0và NH là đờng phân giác của góc ãAHB

Gọi H’ là hình chiếu của H trên AB

Khi đó SAHB = 1AB.HH'

2

Do đó SAHB lớn nhất khi HH’ lớn nhất

Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH’ lớn nhất khi nó bằng

bán kính, tức là khi H≡D Khi đó M ≡ D

b) Vẽ đờng tròn đờng kính AB Gọi giao của HN với đờng tròn là I Do

∆DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính

Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB

nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB (đối xứng với

D qua AB) Vậy I là điểm cố định

0,25

0,250,250,250,250,250,5

Trờng THCS Lâm thao-phú thọ

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9

(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)

Cho a,b dơng sao cho a+b≤1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a3+b3+c3=3abc⇔(a+b)3+c3-3abc-3ab(a+b)=0

⇔(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=0

1,01,0

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

⇔(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)=0 V× a+b+c≠0 nªn

a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ⇔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 ⇔a=b=c

1,01,02

1,03

b/NÕu AD lµ ph©n gi¸c gãc ngoµi t¹i A (víi AB<AC) th×

2.SABC=AB.AC=2(SACD-SABD)=2(AC.AD.Sin450-AB.AD.Sin450)

1,01,01,0

1,0

A

( )

UBND HUYE N CHA U Ä Â

THAỉNH Phoứng Giaựo duùc & ẹaứo taùo

CO NG HOỉA XAế HO I CHU NGHểA Ä Ä Û

VIE T NAM Ä ẹoọc laọp Tửù do Haùnh phuực– –

ẹEÀ THI HOẽC SINH GIOÛI NAấM HOẽC 2008 – 2009

Moõn thi: TOA N 9 Ù

Thụứi gian: 90 phuựt (khoõng keồ thụứi gian phaựt ủe ) à

(Hoùc sinh khoõng phaỷi cheựp ủe vaứo giaỏy thi) à

Baứi 1: (3ủ) Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n thỡ:

4 6 3 11 2 30 24

n + n + n + n− chia heỏt cho 24

Baứi 2: (3ủ) Xaực ủũnh caực heọ soỏ a vaứ b ủeồ ủa thửực A = x4 − 2x3 + 3x2 +ax b+laứ bỡnh phửụng cuỷa moọt ủa thửực

Baứi 3 (3ủ)

a) Chửựng minh raống: Vụựi moùi soỏ thửùc a, b, c, d ta coự:

ab cd+ ≤ a +c b +d

Chú ý: -Điểm cả bài làm tròn đến 0,5 điểm

-Nếu học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ CHÍNH THỨC

b) Với a ≥ c; b ≥ c; c > 0 Chứng minh rằng: c a c( − +) c b c( − ≤) ab

Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất

Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Đường thẳng qua đỉnh C cắt

các cạnh AB và AD kéo dài tại F và E

a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi

b/ Chứng minh rằng: DE AE22

BF = AF

-* -HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009

Môn thi : TOÁN 9 Bài 1:

n + n + n + n− chia hết cho 24 (1đ)

Bài 2: Ta có A là bình phương của một đa thức thì:

A = ( 2 )2

x + +cx d = 4 3 ( 2 ) 2 2

x + cx + c + d x + cdx d+ (0,5đ)Mà: A = x4 − 2x3 + 3x2 +ax b+

Do đó ta có hệ phương trình: