Văn Phong Page 1 CHƯƠNG I. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ VẤN ĐỀ I. MỆNH ĐỀ Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề và nếu là mệnh đề thì đúng hay sai? a. Số 12 là số lẻ b. 4x – 2 là số nguyên dương c. Bạn ăn cơm chưa? d. Hà Nội không phải là thủ đô của Việt Nam Bài 2. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Giải thích. a. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. c. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc (trong) bằng tổng hai góc còn lại. Bài 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai thì sửa lại cho đúng. a. ∃∈,> b. ∀∈,|| < 3⇔< 3 c. ∃∈, = 2 Bài 4. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề này: a. ∃∈, 4 −1 = 0 b. ∀∈,(−1) ≠−1 c. ∀∈, n 2 > n VẤN ĐỀ II. ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC Định lý – Điều kiện cần – Điều kiện đủ Định lý: Phần lớn các định lý toán học là những mệnh đề đúng, có dạng A ⇒ B với A, B là những mệnh đề. A là giả thiết, B là kết luận. Điều kiện cần – Điều kiện đủ: Trong định lý A ⇒ B, ta gọi A là điều kiện đủ để có B, còn B là điều kiện cần để có A. Định lý đảo: Giả sử ta có định lý A ⇒ B. Nếu mệnh đề đảo B ⇒ A là đúng thì B ⇒ A là định lý đảo của định lý A ⇒ B. Điều kiện cần và đủ: Nếu ta có đồng thời định lý thuận A ⇒ B và định lý đảo B ⇒ A thì ta có mệnh đề đúng: A ⇔ B. Lúc đó ta nói A là điều kiện cần và đủ để có B và B là điều kiện cần và đủ để có A. Bài 1. Trong các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”: a. Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thằng ấy song song với nhau. b. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c. Nếu một số tự nhiện có chữ số cuối cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. d. Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dương. Văn Phong Page 2 Bài 2. Phát biểu định lý sau, sử dụng “điều kiện cần”: a. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau. b. Nếu tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. c. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 3. d. Nếu a = b thì a 2 = b 2 Bài 3. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau để được mệnh đề đúng: a. Để tứ giác T là hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau. b. Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số chia hết cho 7. c. Để a.b > 0, điều kiện cần và đủ là cả hai số a và b đều dương. d. Để một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện cần và đủ là nó chia hết cho 9. Tổng hợp: Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? a. 5x – 1 là số nguyên dương b. 4x + 2 là số lẻ c. Nếu n là số nguyên tố thì n là số lẻ d. Em ăn cơm chưa? Bài 2. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề? a. Hình chữ nhật là một hình bình hành b. Tam giác đều là tam giác có ít nhất một góc bằng 60 0 c. Mọi số tự nhiên lẻ lớn hơn 2 đều là số nguyên tố d. 2x + 2 là số chẵn Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? a. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc trong bằng tổng hai góc còn lại. b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau c. Hình vuông là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau. d. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng là hai tam giác đồng dạng VẤN ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề có dạng A ⇒ B ta thực hiện như sau: Giả sử (giả sử B sai hoặc không có B) Dùng phép suy diễn: ⇒ B 1 ⇒ B 2 ⇒ ⇒ ̅ (Trái với giả thiết) Từ đó suy ra có B (B đúng). Vậy A ⇒ B (đpcm) Bài 1. Cho a, b, c ≠ 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm: ax 2 + 2bx + c = 0; bx 2 + 2cx + a = 0; cx 2 + 2ax + b = 0 Văn Phong Page 3 Bài 2. Chứng minh rằng √ 3 là số vô tỷ. Bài 3. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện sau: + + > 0 (1) + + > 0 (2) > 0 (3) Chứng minh: a > 0, b > 0, c > 0 Bài 4. Cho a, b, c ∈ (0, 1). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai: a(1 – b) > (1) b(1 – c) > (2) c(1 – a) > (3) VẤN ĐỀ IV. TẬP HỢP 1. Phần tử của tập hợp Nếu x là phần tử của tập hợp A, ta viết x ∈ A Nếu x là phần tử không thuộc tập hợp A, ta viết x ∉ A 2. Cách xác định một tập hợp Cách liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Các mô tả: Mô tả thuộc tính chung của các phần tử. 3. Tập hợp con Tập hợp A là tập hợp con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Ký hiệu A⊂B. Vậy A⊂B ⇔ ∀ ∈ A⇒ x ∈ B 4. Tập hợp bằng nhau A = B ⇔ ⊂ ⊂ ⇔ ( ∈ A ⇔ x ∈ B) Phương pháp chứng minh A = B ∀x ∈ A chứng minh x ∈ B ∀x ∈ B chứng minh x ∈ A 5. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu Φ 6. Các tập hợp con của R thường gặp Khoảng, nửa khoảng 7. Các phép toán về tập hợp. Giao, hợp, hiệu, phần bù. Văn Phong Page 4 CHƯƠNG I. TẬP HỢP - MỆNH ĐỀ VẤN ĐỀ I. MỆNH ĐỀ Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề và nếu là mệnh đề thì đúng hay sai? a. Số 12 là số lẻ b. 4x – 2 là số nguyên dương c. Bạn ăn cơm chưa? d. Hà Nội không phải là thủ đô của Việt Nam a. Mệnh đề sai b. Không phải là mệnh đề vì nó có thể đúng khi x = 3 nhưng sai khi x = 1 c. Không phải mệnh đề vì không có tính đúng sai. d. Mệnh đề sai. Bài 2. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Giải thích. a. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. c. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc (trong) bằng tổng hai góc còn lại. a. Mệnh đề sai vì: - Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau là mệnh đề đúng - Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau là mệnh đề sai. Vậy mệnh đề tương đương là mệnh đề sai b. Mệnh đề sai vì: - Nếu hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng là mệnh đề đúng - Nếu hai tam giác đồng dạng và có một cạnh bằng nhau thì bằng nhau là mệnh đề sai. Vậy mệnh đề tương đương là mệnh đề sai c. Mện đề đúng vì: - Nếu Δ vuông tại A thì A = B + C là mệnh đề đúng - Nếu Δ có A = B + C thì Δ vuông tại A là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề tương đương là mệnh đề đúng Bài 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai thì sửa lại cho đúng. a. ∃∈,> b. ∀∈,|| < 3 ⇔< 3 c. ∃∈, = 2 a. Mệnh đề đúng. Ví dụ 1/3 > 1/9 b. Mệnh đề sai vì: |x| < 3 ⇒ x < 3 là mệnh đề đúng x < 3 ⇒ |x| < 3 là mệnh đề sai. (lấy ví dụ) c. Mệnh đề sai vì (lấy ví dụ) Văn Phong Page 5 Bài 4. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề này: a. ∃∈, 4 −1 = 0 b. ∀∈,(−1) ≠−1 c. ∀∈, n 2 > n a. Mệnh đề đúng (∃= ± Phủ định: ∀x∈, 4 −1 ≠ 0 b. Mệnh đề sai. Chẳng hạn x = 1, x = 2 Phủ định: ∃∈,(−1) = −1 c. Mệnh đề sai. Chẳng hạn n = 0, n = 1 Phủ định: ∃∈, ≤ VẤN ĐỀ II. ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC Định lý – Điều kiện cần – Điều kiện đủ Định lý: Phần lớn các định lý toán học là những mệnh đề đúng, có dạng A ⇒ B với A, B là những mệnh đề. A là giả thiết, B là kết luận. Điều kiện cần – Điều kiện đủ: Trong định lý A ⇒ B, ta gọi A là điều kiện đủ để có B, còn B là điều kiện cần để có A. Định lý đảo: Giả sử ta có định lý A ⇒ B. Nếu mệnh đề đảo B ⇒ A là đúng thì B ⇒ A là định lý đảo của định lý A ⇒ B. Điều kiện cần và đủ: Nếu ta có đồng thời định lý thuận A ⇒ B và định lý đảo B ⇒ A thì ta có mệnh đề đúng: A ⇔ B. Lúc đó ta nói A là điều kiện cần và đủ để có B và B là điều kiện cần và đủ để có A. Bài 1. Trong các định lý sau, sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”: a. Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thằng ấy song song với nhau. b. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c. Nếu một số tự nhiện có chữ số cuối cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. d. Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dương. a. Trong mặt phẳng, để hai đường thẳng phân biệt song song với nhau thì điều kiện đủ là chúng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. b. Để hai tam giác có diện tích bằng nhau thì điều kiện đủ là chúng bằng nhau c. Để một số chia hết cho 5 thì điều kiện đủ là chữ số tận cùng là chữ số 5. d. Để một trong hai số a và b dương thì điều kiện đủ là a + b > 0 Bài 2. Phát biểu định lý sau, sử dụng “điều kiện cần”: a. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau. b. Nếu tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. c. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 3. Văn Phong Page 6 d. Nếu a = b thì a 2 = b 2 a. Để hai tam giác bằng nhau thì điều kiện cần là chúng có các góc tương ứng bằng nhau. b. Để tứ giác là hình thoi thì điều kiện cần là chúng có hai đường chéo vuông góc với nhau. c. Để một số tự nhiên chia hết cho 9 thì điều kiện cần là nó chia hết cho 3. d. Để a = b thì điều kiện cần là a 2 = b 2 . Bài 3. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau để được mệnh đề đúng: a. Để tứ giác T là hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau. b. Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số chia hết cho 7. c. Để a.b > 0, điều kiện cần và đủ là cả hai số a và b đều dương. d. Để một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện cần và đủ là nó chia hết cho 9. a. Mệnh đề sai. Để tứ giác T là hình vuông, điều kiện cần là nó có bốn cạnh bằng nhau. b. Mệnh đề sai. Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện đủ là mỗi số đều chia hết cho 7. c. Mệnh đề sai. Để a.b > 0, điều kiện đủ là cả hai số a và b đều dương. d. Mệnh đề đúng Tổng hợp: Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? a. 5x – 1 là số nguyên dương b. 4x + 2 là số lẻ c. Nếu n là số nguyên tố thì n là số lẻ d. Em ăn cơm chưa? Bài 2. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề? a. Hình chữ nhật là một hình bình hành b. Tam giác đều là tam giác có ít nhất một góc bằng 60 0 c. Mọi số tự nhiên lẻ lớn hơn 2 đều là số nguyên tố d. 2x + 2 là số chẵn Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? a. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc trong bằng tổng hai góc còn lại. b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau c. Hình vuông là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau. d. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng là hai tam giác đồng dạng Văn Phong Page 7 VẤN ĐỀ III. PHƯƠNG PHÁP CHƯNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề có dạng A ⇒ B ta thực hiện như sau: Giả sử (giả sử B sai hoặc không có B) Dùng phép suy diễn: ⇒ B 1 ⇒ B 2 ⇒ ⇒ ̅ (Trái với giả thiết) Từ đó suy ra có B (B đúng). Vậy A ⇒ B (đpcm) Bài 1. Cho a, b, c ≠ 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm: ax 2 + 2bx + c = 0; bx 2 + 2cx + a = 0; cx 2 + 2ax + b = 0 Giả sử cả ba phương trình đã cho đề vô nghiệm. Khi đó ta có: ∆ = b 2 – ac < 0, ∆ = c 2 – ab < 0, ∆ = a 2 – bc < 0. Suy ra: ∆ + ∆ + ∆ < 0 ⇒ [(a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 ] < 0 (vô lý) Vậy ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm. Bài 2. Chứng minh rằng √ 2 là số vô tỷ. Giả sử √ 3 là số hữu tỷ, ta viết √ 3 = , với m, n ∈ N * và tối giản. √ 2 = ⇔ n 2 = 2m 2 ⇒ n 2 là số chẵn. ⇒ n là số chẵn ⇒ n = 2k (k ∈ N) Vậy từ n 2 = 2m 2 ⇒ 4k 2 = 2m 2 ⇒ m 2 = 2k 2 ⇒ m 2 là số chẵn. ⇒ m là số chẵn m và n đều chẵn suy ra chưa tối giản. Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy √ 2 là số vô tỷ. Bài 3. Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện sau: + + > 0 (1) + + > 0 (2) > 0 (3) Chứng minh: a > 0, b > 0, c > 0 Giả sử các số a, b, c đều không đồng thời là các số dương. Vậy tồn tại ít nhất một số không dương. Do a, b, c có vai trò như nhau nên ta có thể giả sử: a ≤ 0 a ≤0 ⇒ < 0 < 0 (do (3)) Từ (2) ⇒ a(b + c) > -bc > 0 ⇒ b + c < 0 Do < 0 + < 0 ⇒ a + b + c < 0. Điều nay mâu thuẫn với giả thiết (1). Vậy a > 0, b > 0, c > 0 (đpcm) Bài 4. Cho a, b, c ∈ (0, 1). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai: a(1 – b) > (1) b(1 – c) > (2) c(1 – a) > (3) Văn Phong Page 8 Giả sử cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) đều đúng Nhân vế theo vế (1), (2), (3) ta được: a(1 – a).b(1 – b).c(1 – c) > (*) Ta có a(1 – a) = -a 2 + a = - (a - ) 2 ≤ . Vậy ∀x ∈ (0, 1) thì 0 < (1 – ) ≤ Tương tự ta sủy ra: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0 < (1 – ) ≤ 0 < (1 – ) ≤ 0 < (1 – ) ≤ Nhân vế với vế ta được: a(1 – a).b(1 – b).c(1 – c) ≤ (**) Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn với bất đẳng thức (*). Do đó cả ba đẳng thức (1), (2), (3) đều không thể đồng thời đúng. Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức đó sai. (đpcm) VẤN ĐỀ IV. TẬP HỢP 1. Phần tử của tập hợp Nếu x là phần tử của tập hợp A, ta viết x ∈ A Nếu x là phần tử không thuộc tập hợp A, ta viết x ∉ A 2. Cách xác định một tập hợp Cách liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Các mô tả: Mô tả thuộc tính chung của các phần tử. 3. Tập hợp con Tập hợp A là tập hợp con của tập B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Ký hiệu A⊂B. Vậy A⊂B ⇔ ∀ ∈ A⇒ x ∈ B 4. Tập hợp bằng nhau A = B ⇔ ⊂ ⊂ ⇔ ( ∈ A ⇔ x ∈ B) Phương pháp chứng minh A = B ∀x ∈ A chứng minh x ∈ B ∀x ∈ B chứng minh x ∈ A 5. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu Φ 6. Các tập hợp con của R thường gặp Khoảng, nửa khoảng 7. Các phép toán về tập hợp. Giao, hợp, hiệu, phần bù.