SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4,0 điểm) Chứng minh các số sau đây là những số nguyên: 1/. ( ) 2 52 12 5 27 3 1 3 3 1 3 3 a æ ö ÷ ç ÷ = - + + ç ÷ ç ÷ ç è ø - - - 2/. 4 5 3 5 48 10 7 4 3 b = + + - + Bài 2: (6,0 điểm) 1/. Cho phương trình ẩn x , tham số m : 2 2 2( 1) 2 3 0 x m x m m - + + + - = . Xác định m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x sao cho 2 1 2008 2013 x x < < < . 2/. Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 3 3 3 3 2( ) 3 6 x y x y xy x y ì ï + = +ï ï í ï ï + = ï î Bài 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 y x x x x = + + + + + - + Bài 3: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các tiếp tuyến tại A và C đồng quy với đường thẳng BD ở M. Chứng minh rằng : AB.CD = BC.AD. Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm M. Một đường thẳng D đi qua M cắt các cạnh CA, AB tại N và P. Chứng minh rằng: BM CM BP CN - không đổi, khi M và D thay đổi. Hết ĐỀ CHÍNH THỨC SỐ BD: …… PHÒNG: … 1 GII : Bi 1: (4,0 im) Chng minh cỏc s sau õy l nhng s nguyờn: 1) ( ) 2 52 12 5 27 3 1 3 3 1 3 3 a ổ ử ữ ỗ ữ = - + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ - - - (dựng MTCT nhp ton b biu thc trờn vo mỏy v n =, ta c ngay kt qu l: -2) Gii chi tit trờn giy: ( ) 2 52 12 5 27 3 1 3 3 1 3 3 a ổ ử ữ ỗ ữ = - + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ - - - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 52 3 3 1 12 3 3 5 3 3 2 26 6 ộ ự + + + ờ ỳ = - + + ờ ỳ ở ỷ ( ) ( ) 3 1 6 3 2 6 2 3 5 3 3 = + - - + + + ( ) ( ) 5 3 3 5 3 3 25 27 2= - + = - = - ẻ Â Vy a l mt s nguyờn. (pcm) 2) 4 5 3 5 48 10 7 4 3 b = + + - + (Tng t dựng MTCT nhp ton b biu thc trờn vo mỏy v n =, ta c ngay kt qu l: 3) Gii chi tit trờn giy: Kh cỏc cn thc t trong ra ngoi, ta c: ã ( ) 2 7 4 3 2 3 2 3 + = + = + ã ( ) ( ) 2 48 10 7 4 3 48 10 2 3 28 10 3 5 3 5 3 - + = - + = - = - = - ã ( ) 5 3 5 48 10 7 4 3 5 3 5 5 3 25 5 + - + = + - = = ị 4 5 3 5 48 10 7 4 3 4 35 9b = + + - + = + = = ẻ Â Vy b l mt s nguyờn. (pcm) Bi 2: (6,0 im) 1) Cho phng trỡnh n x , tham s m : 2 2 2( 1) 2 3 0 x m x m m - + + + - = . Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim 1 2 , x x sao cho < < < 2 1 2008 2013 x x . Ta cú: 2 2 2 2 ' ( 1) ( 2 3) ' 2 1 2 3 ' 4 m m m m m m m D = + - + - D = + + - - + D = Phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit: 2 1 2 3; 1 x m x m = + = - Ta lại có: 1 2 x x > (vì 1 2 3 1 4 0 x x m m - = + - + = > ) Nên theo đề bài, ta có: 2 1 2008 2013 2008 1 3 2013 2008 1 2009 2009 2010 3 2013 2010 x x m m m m m m m < < < Û < - < + < ì ì ï ï < - > ï ï Û Û Û < < í í ï ï + < < ï ï î î Vậy với < < 2009 2010 m thì phương trình có hai nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. 2) Giải hệ phương trình: ( ) ì ï + = +ï ï í ï ï + = ï î 2 2 3 3 3 3 2( ) 3 ( ) 6 x y x y xy I x y Đặt: 3 3 3 3 u x u x v y v y ì ì ï ï = = ï ï ï ï Û í í ï ï = = ï ï ï î ï î ( ) ( ) ì ì ï ï + = + + - + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = + = ï ï ï ï î î 3 3 2 2 2 3 . ( ) ( ) 9 ( ) : 6 6 u v u v u v u v u uv v uv I u v u v ì ì ï ï - = = ï ï Û Û í í ï ï + = + = ï ï î î 6(36 3 ) 9 . 8 6 6 uv uv u v u v u v Theo Vi-ét thì , u v là nghiệm của phương trình: é = ê - + = Û ê = ê ë 2 2 6 8 0 4 X X X X Suy ra: hoÆc 2 4 4 2 u u v v ì ì ï ï = = ï ï í í ï ï = = ï ï î î . Do đó: hoÆc 8 64 64 8 x x y y ì ì ï ï = = ï ï í í ï ï = = ï ï î î Vậy hệ phương trình (I) có đúng hai nghiệm ( ) ( ) 8;64 , 64; 8 Bài 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 y x x x x = + + + + + - + Điều kiện: 1 x ³ - Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 3 1 2 1 1 1 2 1 1 y x x x x = + + + + + + - + + ( ) ( ) 2 2 3 3 1 1 1 1 y x x= + + + + - 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 y x x x x = + + + - + ³ + + + - + = Dấu “=” xảy ra Û - + ³ Û £ 3 1 1 0 0 x x Vậy: = min 2 y khi - £ £ 1 0 x . Bài 3: (4,0 điểm) · Xét ∆MAD và ∆MBA, ta có: · AMB : chung · · MAD MBA = (cùng bằng ½ sđ ¼ AD ) Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MBA (g-g) Do đó: MA AD MB AB = (*) · Xét ∆MCD và ∆MBC, ta có: · CMB : chung · · MCD MBC = (cùng bằng ½ sđ » CD ) Suy ra ∆MCD đồng dạng ∆MBC (g-g) Do đó: MC CD MB BC = (**) · Hay MA CD MB BC = (**) (vì MC = MA theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau) · Từ (*), (**) suy ra: . . AD CD AB CD AD BC AB BC = Û = (đpcm) D M O A C B Bài 4: (4,0 điểm) · Vẽ qua A, (d) // (∆), cắt BC tại Q · Áp dụng định lý Talet cho ∆BAQ, ta có: BM BP BM BQ hay BQ BA BP BA = = (*) · Áp dụng định lý Talet cho ∆CAQ, ta có: CM CN CM CQ hay CQ CA CN CA = = (**) · Trừ theo vế của (*) và (**), ta được: BM CM BQ CQ BQ CQ BC BP CN BA CA AB AB - - = - = = (do AB = AC). Hay ( ) BM CM BC const BP CN AB - = = (đpcm) (d) Q P B A C M N ________________ Giải đề: Nguyễn Chí Dũng Đơn vị: THCS Long Kiến – Chợ Mới – An Giang Lưu ý: Lời giải trên chỉ mang tính chất tham khảo và chưa qua thẩm định. . SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (4,0 điểm) Chứng. ________________ Giải đề: Nguyễn Chí Dũng Đơn vị: THCS Long Kiến – Chợ Mới – An Giang Lưu ý: Lời giải trên chỉ mang tính chất tham khảo và chưa qua thẩm định.