Phương pháp giải toán DĐĐH

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GV: Th.S Nguyễn Thanh Thiện Trang 1 DAO DỘNG ĐIỀU HÒA 1. Dạng 1: Biết phương trình dao động của vật, tìm x, v, a tại thời điểm t=t 0 nào đó. Phương pháp: Thế t=t 0 vào phương trình của x, v, a ta tìm được kết quả. VD: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=4cos(2πt+ 2  ) (cm). Tìm x, v, a tại thời điểm ban đầu và tại thời điểm t=0,25s. Giải Ta có: v = -8πsin(2πt+ 2  ) (cm/s) ; a = -(2π) 2 .4cos(2πt+ 2  ) (cm/s 2 ). Tại thời điểm ban đầu: x=4cos(2π.0+ 2  ) = 0; v= - 8πsin(2π.0+ 2  ) = - 8π(cm/s). a=-(2π) 2 .4cos(2π.0+ 2  ) = 0 (có thể áp dụng a=-ω 2 x=-(2π) 2 .0=0). Tại thời điểm t=5s: x=4cos(2π.0,25+ 2  )=4cos(π)=-4cm; v= -8πsin(2π.0,25+ 2  ) =-8πsin(π)=0; a=-ω 2 x=-(2π) 2 .(-4)=16π 2 (cm/s 2 ). 2. Dạng 2: Cho 3 trong 4 đại lượng x, ω, v, A tìm đại lượng còn lại. Phương pháp: Sử dụng hệ thức độc lập thời gian: v 2 =ω 2 (A 2 -x 2 ). VD: Một vật dđđh với phương trình: x=2cos(πt)(cm). a. Tìm vận tốc của vật khi vật ở li độ x=1cm. b. Tìm li độ, gia tốc của vật khi vật có vận tốc v=π(cm/s). Giải Từ phương trình dao động của vật ta biết được: A=2cm, ω=π (rad/s). a. Áp dụng hệ thức độc lập thời gian: v= 312 2222   xA (cm/s). b. v 2 =ω 2 (A 2 -x 2 ) 32 2 2 2 2 2 2     v Ax (cm). Gia tốc: a=-ω 2 x=  π 2 3 (cm/s). 3. Dạng 3 Cho phương trình dao động, tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x= x 0 . Phương pháp: Giải phương trình lượng giác: x= x 0 =Acos(ωt+φ)  cos)cos( 0  A x t  t =  2.k     2 kt    ( ,Zk  01 kk  nào đó để 0t )    t = -  2.k t     2 k  ( ,Zk  02 kk  nào đó để 0t ) VD: Vật dao động điều hòa với phương trình x=2cos(2πt) (cm). Tìm các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x=1cm. Giải Khi x=1(cm)  1=2cos(2πt) 3 cos 2 1 )2cos(    t 2πt =   2. 3 k kkt  6 1 2 2 2 3/     (s) ( ,Zk  0k )   2πt= -   2. 3 k kkt  6 1 2 2 2 3/     (s) ( ,Zk  1k ) DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GV: Th.S Nguyễn Thanh Thiện Trang 2 Chú ý: Nếu tìm thời điểm vật qua vị trí có li độ x = x 0 theo một chiều nào đó. Theo chiều dương thì lấy nghiệm sao cho v>0, theo chiều âm thì lấy nghiệm sao cho v<0. 4. Dạng 4: Cho phương trình dao động, tìm thời điểm vật đi qua vị có li độ x=x 0 lần thứ n. Phương pháp: * Nếu n lẻ thì 2 )1( 1 T ntt n  * Nếu n chẵn thì 2 )2( 2 T ntt n  Để tìm t 1, t 2 (thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x=x 0 lần thứ nhất và thứ hai) ta làm như sau: - Tìm vị trí và vận tốc ban đầu của vật. - Giải phương trình lượng giác như ở dạng 3. - Xét xem vật qua vị trí có lí độ x=x 0 lần thứ nhất hoặc thứ 2 theo chiều âm hay dương để chọn nghiệm phù hợp. Tìm giá trị nhỏ nhất của k để t>0 tương ứng với mỗi nghiệm thay vào ta tìm được t 1 , t 2 . VD: Vật dao động điều hòa theo phương trình x=2cos(2πt) (cm). a. Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x=1cm lần thứ 1 và lần thứ 2011. b. Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x=1cm lần thứ 2 và lần thứ 2012. Giải Vận tốc: )/)(2sin(4)sin( scmttAv   . Tại thời điểm ban đầu t=0: x=2cos(2π.0)=2cm; v= -4πsin(2π.0)=0. Chiều âm x’ -2cm 0 1cm 2cm x Chiều dương a. Vật đi qua vị trí có li độ x=1cm lần thứ nhất theo chiều âm, ta chọn nghiệm sao cho v<0, nghĩa là sin(2πt)>0. Do vậy, ta chọn nghiệm 2πt =   2. 3 k  kkt  6 1 2 2 2 3/     (s) ( ,Zk  0k ). *k=0 là giá trị nhỏ nhất để t>0, lúc đó t 1 = 6 1 (s) và t 2011 = 6 1 +(2011-1) 2 T . Với )(1 2 22 sT      , 2011 t = 6 1 +1005 (s). b. Tương tự như vậy vật đi qua vị trí có li độ x=1cm lần thứ 2 theo chiều dương (v>0) nên sin(2πt)<0, ta chọn nghiệm dưới từ đó ta suy ra kkt  6 1 2 2 2 3/     (s) ( ,Zk  1k ). *k=1 là giá trị nhỏ nhất để t>0 nên t 2 = )( 6 5 1 6 1 s và )(1005 6 5 2 )22012( 6 5 2012 s T t  . 5. Dạng 5: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến vị trí có li độ x 2 . Phương pháp: Ta tính 21 t         với 1 1 2 2 s s x co A x co A            và ( 12 0,     ) VD: Vật dao động với phương trình x=2cos(2πt) (cm). Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x 1 =-1cm đến vị trí x 2 =1cm. Giải 3 2 2 1 cos 1 1 1      A x ; 32 1 cos 2 2 2    A x A -A x1x2 M2 M1 M'1 M'2 O   DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GV: Th.S Nguyễn Thanh Thiện Trang 3 Thời gian ngắn nhất: )( 6 1 2 | 3 2 3 | || 12 st              . 6. Dạng 6 Tìm quảng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2. Phương pháp giải:  Xác định vị trị và vận tốc của vật tại thời điểm t 1 , t 2 (x 1 , v 1 , x 2 , v 2 ).  Vẽ vòng tròn lượng giác như dạng 5, chỉ ra vị trí M 1 , M 2 tương ứng với x 1 , x 2 trên đường tròn. (Lưu ý: Nếu v>0 điểm M nằm dưới trục x’Ox và ngược lại)  Lấy t 2 -t 1  Phân tích t 2 -t 1 =n.T+∆t  Quảng đường vật đi được sẽ là: S=S 1 +S 2 (Với S 1 là quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian n.T: S 1 =4.n.A, S 2 là quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian ∆t, được xác định từ hình vẽ). VD: Vật dao động với phương trình x=2cos(2πt) (cm). Xác định quảng đường vật đi được từ thời điểm t 1 =0,5s đến thời điểm t 2 =5,25s. Giải x 1 =2cos(2π.0,5)= -2cm x 2 =2.cos(2π.5,25) =0  Khi t 1 =0,5s : ; Khi t 2 =5,25s : v 1 = -2π.2sin(2π.0,5)=0 v 2 = -2π.2sin(2π.5,25 )= -4π(cm/s) t 2 -t 1 =4,75=4.T+0,75. S 1 =4.(4.A)=4.(4.2)=32cm; Nhìn vào hình vẽ ta thấy S 2 =3.A=3.2=6cm. Vậy: S=S 1 +S 2 =38cm. x 1 x 2 7. Dạng 7 Tìm vận tốc trung bình và tốc độ trung bình của vật chuyển động từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 . Phương pháp giải Áp dụng công thức: - Vận tốc trung bình:            . - Tốc độ trung bình:        . VD: Vật dao động với phương trình x=2cos(2πt) (cm). Xác định vận tốc trung bình và tốc độ trung bình khi vật chuyển động từ thời điểm t 1 =0,5s đến thời điểm t 2 =5,25s. Giải - Vận tốc trung bình:                (cm/s) - Tốc độ trung bình:           (cm/s). (x 1 , x 2 , s ta tìm được ở VD dạng 6). 8. Dạng 8: Tìm số lần vật đi qua vị trí có li độ x=x 0 từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 . Phương pháp giải Tìm thời điểm t vật đi qua vị trí x=x 0 (DẠNG 3), sau đó giải bất phương trình t 1 <t<t 2 tìm ra k. Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn thì có bấy nhiêu lần vật đi qua vị trí x=x 0 . VD Vật dao động với phương trình x=2cos(2πt) (cm). Tìm số lần vật đi qua vị trí x=1cm từ thời điểm t 1 =1s đến thời điểm t 2 =10s. Giải Giải như ở dạng 3 ta tìm được : kkt  6 1 2 2 2 3/     (s) ( ,Zk  0k ) kkt  6 1 2 2 2 3/     (s) ( ,Zk  1k ) DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GV: Th.S Nguyễn Thanh Thiện Trang 4 Với nghiệm thứ nhất: 1< k 6 1 <10          . Có 9 giá trị của k thỏa mãn. Với nghiệm thứ hai: 1< k 6 1 <10         . Có 9 giá trị của k thỏa mãn. Vậy từ thời điểm t 1 =1s đến thời điểm t 2 =10s vật qua vị trí có li độ x=1cm 18 lần. 9. Dạng 9: Các bước giải bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian  t. Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x 0 . * Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(t + ) cho x = x 0 Lấy nghiệm t +  =  với 0   ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc t +  = -  ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương) * Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là x Acos( ) Asin( ) t vt                 hoặc x Acos( ) Asin( ) t vt                 VD: 10. Dạng 10: Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 <  t < T/2. Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều. Góc quét  =  t. Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M 1 đến M 2 đối xứng qua trục sin (hình 1) ax 2Asin 2 M S    Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M 1 đến M 2 đối xứng qua trục cos (hình 2) 2 (1 os ) 2 Min S A c    Lưu ý: + Trong trường hợp  t > T/2 Tách ' 2 T t n t    trong đó * ;0 ' 2 T n N t    Trong thời gian 2 T n quãng đường luôn là 2nA Trong thời gian  t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên. + Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian  t: ax ax M tbM S v t   và Min tbMin S v t   với S Max ; S Min tính như trên. 11. Dạng 11: Các bước lập phương trình dao động dao động điều hoà: B1: Gọi phương trình dao động có dạng : )sin()cos(   tAvtAx B2: Tính ; A - Tìm  và tìm A:                     =                                             (L là chiều dài quỹ đạo) A -A M M 1 2 O P x x O 2 1 M M -A A P 2 1 P P 2   2   DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GV: Th.S Nguyễn Thanh Thiện Trang 5 B3: Tính  dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t 0 (thường t 0 = 0) 0 0 Acos( ) sin( ) xt v A t              Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0 + Trước khi tính  cần xác định rõ  thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác (thường lấy -π <  ≤ π) + Có thể xác định  dựa vào đường tròn bằng cách xác định vị trí tương ứng của vật ở trên đường tròn khi biết li độ x và chiều chuyển động của vật ở thời điểm t=t 0 . VD: 12. Dạng 12: Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ A với chu kỳ T 1 và T 2 lúc đầu hai vật cùng xuất phát từ một vị trí x 0 theo cùng một chiều chuyển động. * Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật cùng trở lại trạng thái lúc đầu (bài toán con lắc trùng phùng): Phương pháp Gọi n 1 và n 2 là số dao động toàn phần mà 2 vật thực hiện được cho đến lúc trở lại trạng thái đầu Thời gian từ lúc xuất phát đến lúc trở lại trạng thái đầu là: t=n 1 T 1 =n 2 T 2 . (n 1 ,n 2 N*) Tìm n 1min , n 2min thoả mãn biểu thức trên  giá trị t min cần tìm. * Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật vị trí có cùng li độ. Phương pháp Xác định pha ban đầu  của hai vật từ điều kiện đầu x 0 và v. Giả sử T 1 >T 2 nên vật 2 đi nhanh hơn vật 1, chúng gặp nhau tại x 1 + Với  < 0 (Hình 1): Từ 12 M OA M OA 12 tt         12 2 t     + Với  > 0 (Hình 2): 12 ( ) ( )tt             12 2( ) t      VD: 13. Dạng 13 Dao động có phương trình đặc biệt: * x = a  Acos(t + ) với a = const Biên độ là A, tần số góc , pha ban đầu  x là toạ độ, x 0 = Acos(t + ) là li độ. Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a  A Vận tốc v = x’ = x 0 ’, gia tốc a = v’ = x” = x 0 ” Hệ thức độc lập: a = - 2 x 0 2 2 2 0 () v Ax   * x = a  Acos 2 (t + ) (ta hạ bậc) Biên độ A/2; tần số góc 2, pha ban đầu 2. VD: 14. Dạng 14 Tìm vị trí vật có động năng bằng n lần thế năng (W đ =nW t ), vị trí có W t =nW đ . Phương pháp: + W=W đ +W t W=nW t +W t =(n+1)W t                       + W t =nW đ                            VD: x A -A x 0 0 M 0 M 1 M 2 Hình 1: Với  < 0 x 1  x M 0 Hình 2: Với  > 0 A -A x 0 0 M 1 M 2 x 1  DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA GV: Th.S Nguyễn Thanh Thiện Trang 6 15. Dạng 15: Bài toán tổng hợp dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x 1 =A 1 cos(ωt+φ 1 ) và x 2 =A 2 cos(ωt+φ 2 ). Phương pháp giải Sử dụng các công thức:  2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 os( )A A A A A c       1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin tan os os AA Ac A c       Lưu ý: +  1 ≤  ≤  2 (nếu  1 ≤  2 ) + Nếu  2 - 1 =0 hoặc  2 - 1 =2kπ 2 dao động cùng pha: A=A 1 +A 2 . + Nếu  2 - 1 = hoặc  2 - 1 =(2k+1)  2 dao động ngược pha: A=|A 1 -A 2 |. 16. Dạng 16: Bài toán tổng hợp nhiều dao động cùng phương, cùng tần số: x 1 =A 1 cos(ωt+φ 1 ), x 2 =A 2 cos(ωt+φ 2 ), x 3 =A 3 cos(ωt+φ 3 ) Phương pháp giải: Dao động tổng hợp cũng là một dao động cùng phương, cùng tần số: x=Acos(ωt+φ) với A, φ được xác định. Chiếu lên trục Ox và OyOy, ta được: 1 1 2 2 os os os x A Ac Ac A c        1 1 2 2 sin sin sin y A A A A        22 xy A A A   và tan y x A A   với  [ Min ; Max ] . Bài toán tổng hợp nhiều dao động cùng phương, cùng tần số: x 1 =A 1 cos(ωt+φ 1 ), x 2 =A 2 cos(ωt+φ 2 ), x 3 =A 3 cos(ωt+φ 3 ) Phương pháp giải: Dao động tổng hợp cũng là một dao động cùng phương, . Gia tốc: a=-ω 2 x=  π 2 3 (cm/s). 3. Dạng 3 Cho phương trình dao động, tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x= x 0 . Phương pháp: Giải phương trình lượng giác: x= x 0 =Acos(ωt+φ)  cos)cos( 0  A x t . có li độ x=x 0 từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 . Phương pháp giải Tìm thời điểm t vật đi qua vị trí x=x 0 (DẠNG 3), sau đó giải bất phương trình t 1 <t<t 2 tìm ra k. Có bao nhiêu