Đề tuyển sinh 2006-2011

www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TS VÀO LỚP 10 THPT NH: 2010-2011 BÌNH ĐỊNH KHÓA NGÀY : 30 - 6 - 2010 Đề chính thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Ngày thi: Sáng 01/7/2010 Bài 1: (1,5 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3(x – 1) = 2 + x b) x 2 + 5x – 6 = 0 Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x 2 – x + 1 – m = 0 ( m là tham số ). Tìm điều kiện của m để phương đã cho có nghiệm. b) Xác đònh các hệ số a, b biết rằng hệ phương trình ax 2y 2 bx ay 4 + =   − =  có nghiệm ( ,2 - 2 ). Bài 3: (2,5 điểm) Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bò hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự đònh ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau. Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ các đường cao BB’ và CC’ (B’ ∈ cạnh AC, C’ ∈ cạnh AB). Đường thẳng B’C’ cắt đường tròn tâm O tại hai điểm M và N ( theo thứ tự N, C’, B’, M). a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AM = AN. c) AM 2 = AC’.AB Bài 5: (1,0 điểm). Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng: a b c b a + + − > 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (1,5 điểm) a) 3(x – 1) = 2 + x <=> 3x – 3 = 2 + x <=> 2x = 5 <=> x = 5 2 b) Ta có a + b + c = 1 + 5 +(-6) = 0 => x 1 = 1 ; x 2 = -6 Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x 2 – x + 1 – m ( m là tham số ). Để phương đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0 <=> (-1) 2 – 4(1 – m) ≥ 0 <=> 1 – 4 + 4m ≥ 0 <=> m ≥ 3 4 b) Hệ phương trình có nghiệm ( ,2 - 2 ) nên ta có : 2a 2 2 2 2a 2b 4  + =   + =   <=> a 2 2 b 2 2  = −   = +   Bài 3: (2,5 điểm) Gọi x (xe là số xe được điều đến chở hàng (x: nguyên, x > 2) Số xe thực chở hàng là x – 2 (xe) Khối lượng hàng chở ở mỗi xe lúc đầu: 90 x (tấn); thực chở là: 90 x 2 − (tấn); Ta có phương trình: 90 x 2 − - 90 x = 1 2 <=> 2.90.x – 2.90(x – 2) = x(x – 2) <=> x 2 – 2x – 360 = 0 => x 1 = 20 ; x 2 = -18 (loại) Vậy số xe được điều đến chở hàng là 20 xe Bài 4: (3,0 điểm) a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 2 tứ giác nội tiếp. Ta có   BC'C BB'C = = 90 0 (gt) Hay B’ ; C’ nhìn BC dưới một góc bằng 90 0 => BC’B’C nội tiếp trong đường tròn đường kính BC b) Chứng minh AM = AN. Ta có:    1 AC'M sđ(AM NB) 2 = + ;    1 ACB sđ(AN NB) 2 = + Mà BC’B’C nội tiếp =>    AC'M B'CB ACB = = <=>   1 sđ(AM NB) 2 + =   1 sđ(AN NB) 2 + <=>   AM AN = <=> AM = AN c) AM 2 = AC’.AB Xét ∆ ANC’ và ∆ ABN có:   AM AN = =>   ANC' ABN = (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau); Và  NAB : chung => ∆ ANC’ ∼ ∆ ABN => AN AC' AB AN = => AN 2 = AC’.AB hay AM 2 = AC’.AB Bài 5: (1,0 điểm). 2 a + b + c Cho 0 < a < b và phương trình (ẩn x) ax + bx + c = 0 vô nghiệm . CMR: 3 b a > − • Vì đa thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c không có nghiệm (gt) nên f(x) cùng dấu với hệ số a của nó . • Mà a > 0 (gt) nên f(x) > 0 (với mọi x thuộc ℝ ) • Suy ra: f( − 2) > 0  4a − 2b + c > 0  a + b + c − 3(b − a) > 0  a + b + c > 3(b − a) a + b + c 3 (Chia hai vế cho số dương là b a) b a ⇔ > − − A C B N M B’ C’ www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 3 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2009 – 2010 Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình: a/ 2(x + 1) = 4 – x b/ x 2 – 3x + 2 = 0 Câu 2: (2 điểm) 1/ Cho hàm số y = ax + b. Tìm a và b biết rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(-2; 5) và B(1; -4) 2/ Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2 a/ Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có haònh độ bằng 2 3 Câu 3: (2 điểm) Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân vào Qui Nhơn. Sau đó 75 phút, một ô tô khởi hành từ Qui Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h. hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Hoài Ân cách Qui Nhơn 100km và Qui Nhơn cách Phù Cát 30km. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC 1. Chứng minh tam giác ABD cân 2. Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E. Kéo dài AE (về phía E) đoạn EF sao cho EF = AE. Chứng minh rằng 3 điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng. 3. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) Câu 5: (1 điểm) Với mỗi số k nguyên dương, đặt S k = ( 2 + 1) k + ( 2 – 1) k . Chứng minh rằng: S m+n + S m-n = S m .S n với mọi m, n là số nguyên dương và m > n www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 4 BÀI GIẢI Câu 1: a/ 2(x + 1) = 4 – x <=> 2x + 2 – 4 + x = 0 <=> 3x – 2 = 0 <=> x = 2 3 b/ Ta có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm x 1 = 1 và x 2 = 2 Câu 2: 1/ Vì đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(-2;5) và B(1; -4) nên ta có hệ phương trình: Vậy đồ thị hàm số cần tìm là y = –3x – 1 Câu 3: Ta có 75 phút = 5 4 h Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x > 0) Vận tốc ô tô là x + 20 (km/h) Ta có phương trình: − = + 1 1 5 x 20 x 4 <=> x 2 + 20x + 16 = 0. Giải phương trình ta được x 1 = -28 (loại); x 2 = 40 Vậy vận tốc xe máy là 40km/h và vận tốc ô tô là 60km/h Câu 4: 1. Chứng minh tam giác ABD cân Ta có:  ACB = 90 0 => BC ⊥ AC Và AC = CD. Tam giác BAD có BC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân tại B 2. Chứng minh rằng 3 điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng. Vì ∆ BAD cân tại B (Câu a) => BD = BA Tương tự ∆ BAF cân tại B => BA = BF => A, D, F cùng nằm trên đường tròn tâm B Mà  FAD = 90 0 (gt) => FD là đường kính => F, B, D thẳng hàng Câu này có thể c/m góc FBD bằng 180 0 hay dựa vào đường trung bình c/m FB, BD cùng // CE 3. Chứng minh rằng đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) Theo câu b/ thì tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F; Mà AB là đường kính => OA + OB = AB Hay OB = BA – OA nên đường tròn đi qua 3 điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường tròn (O) Câu 5: Ta đặt x = 2 + 1 và y = 2 – 1 thì x n .y n = ( 2 + 1) n .( 2 – 1) n = [( 2 + 1).( 2 – 1)] n = 1 n = 1 S m .S n = (x m + y m )(x n + y n ) = x m x n + y m y n + x n y m + x m y n = x m+n + y m+n + x n y n (x m-n + y m- n ) = S m+n – S m-n (vì m, n là số nguyên dương và m > n) 2a b 5 3a 9 a 3 a b 4 a b 4 b 1    − + = − = = −       <=> <=>       + = − + = − = −       A O C D B F E www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 5 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2008 – 2009 Câu 1: (2 điểm) a/ So sánh 25 9 − và 25 9 − b/ Tính giá trị biểu thức: 1 1 2 5 2 5 + + − Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: 2x 2 + 3x – 2 = 0 Câu 3: (2 điểm) Theo kế hoạch, một đội xe vận tải cần chở 24 tấn hàng đến một đại điểm qui định. Khi chuyên chở thì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 1 tấn hàng. Tính số xe của đội lúc đầu Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, A là điểm chính giữa cung BC 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R 2/ M là điểm di động trên cung nhỏ AC, (M khác A và C). Đường thằng AM cắt đường thằng BC tại điểm D. Chứng minh rằng: a/ Tích AM.AD không đổi b/ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < 1. Hãy tìm giái trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x 2 – x + 1) + 3|2x – 1| www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 6 Giải đề : NĂM 2008 – 2009 Câu 1: a/ Ta có 25 9 16 4 − = = > 25 9 − = 5 – 3 = 2 b/ 1 1 2 5 2 5 2 5 2 5 4 1 1 2 5 2 5 − + + = + = − + − − = − − − + − Câu 2: Ta có: ∆ = (-3) 2 – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 => ∆ = 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = 3 5 4 − − = -2; x 2 = 3 5 1 4 2 − + = Câu 3: Gọi x (xe) là số xe của đội lúc đầu (x ∈ N, x > 2); Số xe khi chuyên chở là: x = 2 (xe) Ta có phương trình: 24 24 1 x 2 x − = − <=> x 2 – 2x – 48 = 0 Giải ra ta được: x 1 = -6 (loại); x 2 = 8 (chọn) Vậy số xe của đội lúc đầu là 8 xe. Câu 4: 1/ Tính diện tích tam giác ABC theo R Vì A là điểm chính giữa cung BC => AO ⊥ BC S ABC = 1 2 BC.AO = 1 2 2R.R = R 2 2/ a/ Tích AM.AD không đổi  ADC = 1 2 sđ(   AB MC − ) = 1 2 sđ(   AC MC − ) = 1 2 sđ  AM =  ACM Và  CAD : chung => ∆ AMC ∼ ∆ ACD (g,g) => AC AM AD AC = <=> AC 2 = AM.AD => AM.AD = ( R 2 ) 2 = 2R 2 không đổi b/ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Ta có:   CED 2CMD = (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm); Mà  CMD = 45 0 =>  CED = 90 0 => ∆ MEC vuông cân tại E =>  ECD = 45 0 =>  ACE = 90 0 (vì  ACO = 45 0 ) => CE ⊥ AC Mà AC cố định => CE cố định. Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Câu 5: (1 điểm) Cho -1 < x < 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y = -4(x 2 – x + 1) + 3|2x – 1| Ta có: y = -(4x 2 – 4x + 4) + 3|2x – 1| = -(4x 2 – 4x + 1) + 3|2x – 1| - 3 = -(2x – 1) 2 + 3|2x – 1| - 3 Đặt t = |2x – 1| thì y = - t 2 + 3t – 3 = -(t 2 – 3t + 9 4 ) – 3 4 = -(t – 3 2 ) 2 – 3 4 ≤ – 3 4 Dấu = xảy ra <=> t – 3 2 <=> t = 3 2 <=> |2x – 1| = 3 2 <=> x = 5 4 (loại vì không thuộc -1 < x < 1) hay x = 1 4 − (thoả mãn) A B O C D M E www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 7 Vậy maxy = – 3 4 <=> x = 1 4 − ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2007 – 2008 Câu 1: (2 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = 5 5 1 5 + + b/ Chứng minh đẳng thức: a b 2b 1 a b a b a b − − = − − + với a ≥ 0; a ≥ 0 và a ≠ b Câu 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x 2 + 3x – 108 = 0 Câu 3: (2 điểm) Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11 giờ. Hãy tìm vận tốc ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/h Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M không trùng với B và C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: a/ Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn b/ Tứ giác OPHQ là hình gì? c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1 điểm) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 3 3 3 2a 3b 2b 3a 4 a b 2a 3b 2b 3a + + + ≤ + + + www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 8 Giải đề : NĂM 2007 – 2008 Câu 1: a/ A = 5 5 5(1 5) 5 1 5 1 5 + + = = + + b/ Với a ≥ 0; a ≥ 0 và a ≠ b, ta có: a b 2b a b a b a b − − = − − + a( a b) b( a b) 2b a ab ab b 2b a b 1 a b a b a b a b a b + − + − + − − = − − = = = − − − − − Câu 2: Ta có: ∆ = (-3) 2 – 4.1.(-108) = 9 + 432 = 441 => ∆ = 21 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = 3 21 2 − − = -12; x 2 = 3 21 2 − + = 9 Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc ca nô khi nước yên lặng (x > 2) Thời gian ca nô lúc xuôi dòng là : 120 2 x + (giờ) Thời gian của ca nô lúc ngước dòng là : 120 2 x − ( giờ) Ta có pt: 120 120 11 x 2 x 2 + = + − <=> 120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2) <=> 11x 2 – 240x – 44 = 0; ∆ = 120 2 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884; => ∆ = 122 x 1 = -2/11 (loại); x 2 = 22 Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 22km/h Câu 4: a/ Chứng minh A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn Ta có:    APM AHM AMQ = = = 90 0 => Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM b/ Tứ giác OPHQ là hình gì? O là trong điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM => OP = OH = OQ và   POH HOQ = = 60 0 ∆ OPH và ∆ OHQ là các tam giác đều bằng nhau => OP = PH = HQ = OQ => Tứ giác OPHQ là hình thoi c/ Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. Ta có: PQ = OQ 3 = OM 3 = AM 3 2 PQ nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AM vuông góc BC <=> M trùng H Vậy M trùng H thì PQ có độ dài nhỏ nhất Câu 5: đặt a t b = . Do a>o, b>o nên t>o. Khi đó BĐT đã cho trở thành A B C H M P O Q www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 9 ( ) ( ) 2 2 5 3 2 6 3 3 3 6 5 2 2 2 4 3 2 2 2 2 4 3 2 2 4 3 2 2 4 2 3 2 3 4 ( 1)(12 13 13 12) 4(6 13 6) 2 3 2 3 1 12( 1) 13 ( 12 1) 0 12( 1) ( 1) 13 ( 1) 0 ( 1) 12 1 13 0(*) 12 1 13 12 12 ( 1) t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t + + + ≤ ⇔ + + + + ≤ + + + + + ⇔ − − + − − + ≥ ⇔ − + + + + − − ≥   ⇔ − + + + + − ≥   + + + + − = + − 2 2 23 12 0, 0t t+ + > ∀ > Do đó (*) đúng với mọi t>0 vậy BĐT đã cho đúng với mọi a, b dương. Dấu BĐT xảy ra khi và chỉ khi t=1 ⇔ a=b www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 10 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2006 – 2007 Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức A = 1 1 3 27 2 3 3 3 − + Câu 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 3x 2y 6 mx y 3  − =     + =   a/ Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất b/ Giải hệ phương trình khi m = 1 Câu 3: (2 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Câu 4: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ ID vuông góc với cạnh huyền BC, (D ∈ BC). Chứng minh AB 2 = BD 2 – CD 2 Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. các đường cao AD, BK của tam giác gặp nhau tại H. Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK kéo dài với đường tròn (O) a/ Chứng minh EF//AC b/ Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = 1 2 BH Câu 6: (1 điểm) Cho a, b, c là các số dương và a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = bc ac ab a b c + + [...]...www.MATHVN.com BÀI GIẢIĐỀ 06 – 07 Câu 1: A = 3 1 1 − 27 + 2 3 = 3 − 3 + 2 3 = 2 3 3 3 Câu 2: a/ Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì: m ≠ − 3 2 3 −2 ≠ 3 ≠ -2m m 1  12    x = 5 3x − 2y = 6  3x − 2y . M B’ C’ www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 3 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2009 – 2010 Câu 1: (2 điểm) Giải các phương trình: a/ 2(x + 1) = 4 – x b/. D B F E www.MATHVN.com Biên soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 5 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2008 – 2009 Câu 1: (2 điểm) a/ So sánh 25 9 − và 25 9 − b/ Tính giá. soạn: Lê Văn Bính – Bình Định – www.mathvn.com 7 Vậy maxy = – 3 4 <=> x = 1 4 − ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 NĂM 2007 – 2008 Câu 1: (2 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = 5 5 1 5 + + b/ Chứng