Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20062000@yahoo.com Trang1 THTT SỐ 405-3/2011 Đ Đ Đ Ề Ề Ề S S S Ố Ố Ố 0 0 0 6 6 6 Thời gian làm bài 180 phút PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I: Cho hàm số: 3 2 y x 3x 9x 3. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số. 2) Tìm các giá trị của k để tồn tại hai tiếp tuyến với (C) phân biệt nhau và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến với (C) cắt các trục tọa độ Ox, Oy tương ứng ở A và B sao cho OB = 2011.OA. Câu II: 1) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 3 3 x 2y x y 2xy 2 x 2y 1 y 14 x 2. 2) Giải phương trình: 2 3x x 2 3 17. Câu III: Tính tích phân: 3 2011 3 2 1 I x 3x 2 dx. Câu IV: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = a và 0 ABC 30 . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60 0 . Biết rằng hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Câu V: Tính giá trị lớn nhất biểu thức 3 3 2 x y P x yz y zx z xy , trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn x y 1 z. PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết ba chân đường cao ứng với các đỉnh A, B, C lần lượt là A' 1;1 ,B' 2;3 ,C' 2;4 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;2; 7 ,B 4;0;0 ,C 5;0; 1 và mặt cầu 2 2 2 S : x y z 2x 4y 7 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện MABC lớn nhất, nhỏ nhất. Câu VII.a: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2z 3 i , biết rằng 2 3z i zz 9. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b: 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 2; 1 và đường tròn 2 2 1 C :x y 9. Viết phương trình đường tròn (C 2 ) có bán kính bằng 4 và cắt (C 1 ) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20062000@yahoo.com Trang2 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ giác ABCD với A 1;2;1 ,C 2;4; 1 . Hai điểm B, D thuộc đường thẳng x 1 y 2 z 1 2 3 sao cho BD = 4. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của tứ giác và biết rằng ABCD IAD S 2011.S . Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC. Câu VII.b: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết rằng z 2 z 2 6. H H H Ư Ư Ư Ớ Ớ Ớ N N N G G G D D D Ẫ Ẫ Ẫ N N N G G G I I I Ả Ả Ả I I I V V V À À À Đ Đ Đ Á Á Á P P P S S S Ố Ố Ố PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I: 1) Tự giải 2) 2 2 k y' 3x 6x 9 3x 6x 9 k 0 (*) Để (C) có hai tiếp tuyến phân biệt, cùng hệ số góc k thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 36 4.3. 9 k 0 k 6 Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai tiếp điểm: 3 2 3 2 2 1 1 k 12 k y x 3x 9x 3 3x 6x 9x 3x 6x 9 12x kx k 12x x 3 3 3 3 Tọa độ giao điểm của (d) với Ox, Oy tương ứng lần lượt là k A ;0 k 12 , k B 0; 3 Ta có: k k OB 2011.OA 2011. k 6021 3 k 12 Vậy k = 6021. Câu II: 1) 3 2 2 2 3 3 x 2y x y 2xy (1) (2) 2 x 2y 1 y 14 x 2 Điều kiện: 2 x 2y 1 Từ (1) suy ra: 2 2 0 x 2y VN x 2y x y 0 x y Với x = y từ (2) ta có phương trình: 32 3 2 x 2x 1 x 14 x 2 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 x 14 x 2 2 x 2x 1 0 x 14 x 14 x 2 x 2 6x 12x 6 2 x 2x 1 0 x 14 x 14 x 2 x 2 3 x 2x 1 2 x 2x 1 1 0 x 14 x 14 x 2 x 2 2 x 2x 1 0 x 2x 1 0 x 1 2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 1 2;1 2 , 1 2;1 2 . 2) 2 3x x 2 3 17 (*) Điều kiện: x 0 www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20062000@yahoo.com Trang3 Đặt xy 8 1 x log 9 8 9 y (1) Phương trình (*) x y 8 8 17 (2) Lấy (1) trừ (2) ta được: xy x y xy x y 8 8 8 8 8 8 8 8 (3) Với y = 1, (3) thỏa mãn 8 x log 9 Với y 1 , đặt y a 8 8 Xét hàm số: x x f x a 8 , với a > 8 Ta có: x x f ' x a ln a 8 ln8 0 f x luôn tăng Mà từ (3) ta có: 8 f x f 1 x 1 y log 9 1 (thỏa mãn) Với y 1 , đặt y a 8 8 Xét hàm số: x x f x a 8 , với a < 8 Ta có: x x f ' x a ln a 8 ln8 0 f x luôn giảm Mà từ (3) ta có: 8 f x f 1 x 1 y log 9 1 (không thỏa mãn) Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 hoặc 8 x log 9. Câu III: 3 3 2011 2011 2011 2 3 2 1 1 I x 3x 2 dx x 1 . x 1 3 dx Đặt: t x 1 dt dx Đổi biến: x 1 t 2 x 3 t 2 2 2011 2011 2 2 I t . t 3 dt (1) Đặt: u t du dt Đổi biến: t 2 u 2 t 2 u 2 2 2 2011 2011 2011 2 2011 2 2 2 I u . u 3 du u . u 3 du (2) Từ (1) và (2) suy ra: I I I 0 Vậy I = 0. Câu IV: Vẽ HI AB,HK AC. Ta có: AB HI AB SHI AB SI AB SH SIH là góc tạo bởi (SAB) và đáy 0 SIH 60 Tương tự: SKH là góc tạo bởi (SAC) và đáy 0 SKH 60 Hai tam giác vuông SHI và SHK bằng nhau HI HK tứ giác AIHK là hình vuông a 3 AB BC.cosB 2 , a AC BC.sin B 2 www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20062000@yahoo.com Trang4 Ta có: HK HC HK / /AB HK HI AB BC 1 HI / /AC HI HB AB AC AC BC 3 3 a 2x 2x 1 x a 4 a 3 3 3 a 3 3 1 a SH HI.tanSIH . 3 4 4 2 ABC 1 1 a 3 a a 3 S AB.AC . 2 2 2 2 8 3 2 S.ABC ABC 3 3 1 a 3 3 a 1 1 a 3 V SH.S . . 3 3 4 8 32 Câu V: Ta có: x yz yz y z 1 y 1 z 1 y zx zx x z 1 x 1 z 1 z xy xy x y 1 x 1 y 1 z 1 x y 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 x y x y x y P x yz y zx z xy z 1 x 1 y 1 x y x 1 y 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: 2 2 3 2 3 2 3 2 3 x y 2 xy x y 4xy x x x 27 x 1 1 3 x 1 x 2 2 4 4 y y y 27 y 1 1 3 y 1 y 2 2 4 4 Suy ra: 3 3 2 2 x y 4 P 27 27 729 4xy. x . y 4 4 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 4 729 , khi đó: x y 2,z 5. PHẦN RIÊNG A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: 1) Ta dễ dàng chứng minh được AA’ là phân giác trong của tam giác ABC Mà BC AA' BC là phân giác ngoài tại A' của A'B'C' . A'B' 3;2 véctơ pháp tuyến đường thẳng A’B’: A'B' n 2;3 Phương trình đường thẳng A’B’: 2 x 1 3 y 1 0 2x 3y 5 0 A'C' 1;3 véctơ pháp tuyến đường thẳng A’C’: A'C' n 3; 1 Phương trình đường thẳng A’C’: 3 x 1 y 1 0 3x y 2 0 www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20062000@yahoo.com Trang5 Phương trình đường phân giác trong(AA’) và phân giác ngoài(BC) của góc A’: 2 3 3 1 5 2 2x 3y 5 3x y 2 x y 0 (1) 13 10 13 10 13 10 13 10 2x 3y 5 3x y 2 2 3 3 1 5 2 x y 0 (2) 13 10 13 10 13 10 13 10 Ta thấy B và C nằm về cùng một phía đối với BC. Thay tọa độ B và C lần lượt vào (1) và (2) ta thấy (1) thỏa mãn. Vậy phương trình cạnh BC là: 2 3 3 1 5 2 x y 0. 13 10 13 10 13 10 2) AB 5; 2;7 ,AC 4; 2;6 Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC): n AB,AC 2;58;18 Phương trình mặt phẳng (ABC): 2 x 4 58y 18z 0 x 29y 9z 4 0 Mặt cầu (S) có tâm I 1;2;0 , bán kính R 1 4 7 2 3 Ta có: 2 2 1 29.2 4 63 d I, ABC R 2 3 923 1 29 9 Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu (S) MABC MinV 0 , khi đó tọa độ điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S) Thể tích MABC lớn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu (S) vuông góc mặt phẳng (ABC) với mặt cầu (S). Phương trình đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc (ABC): x 1 t y 2 29t z 9t Tọa độ giao điểm của M của (d) với mặt cầu (S): 2 2 2 2 12 2 3 t 29t 9t 12 t t 923 923 1 2 3 58 3 18 3 M 1 ;2 ; 923 923 923 hoặc 2 2 3 58 3 18 3 M 1 ;2 ; 923 923 923 1 2 3 58 3 18 3 1 29 2 9. 4 923 923 923 63 d M , ABC 2 3 923 923 2 2 3 58 3 18 3 1 29 2 9. 4 923 923 923 63 d M , ABC 2 3 923 923 1 2 d M , ABC d M , ABC Thể tích MABC lớn nhất khi 1 M M Vậy tọa độ điểm M để thể tích MABC lớn nhất là: 2 3 58 3 18 3 M 1 ;2 ; . 923 923 923 Câu VII.a: Đặt z a bi Z 2z 3 i 2a 3 2b 1 i www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20062000@yahoo.com Trang6 Số phức Z được biểu diễn dưới dạng Z x yi x 3 a x 2a 3 2 y 2b 1 y 1 b 2 Ta có: 22 2 2 2 2 2 3z i zz 9 9a 3b 1 a b 9 4a 4b 3b 4 0 2 2 2 2 2 2 3 x 3 y 1 y 1 4 0 2 7 3 x 3 y y 0 2 2 7 73 x 3 y 4 16 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2z + 3 – i là các điểm nằm bên trong và kể cả biên của đường tròn tâm 7 I 3; 4 , bán kính 73 R 4 . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b: 1) Ta có: 2 2 M M x y 5 9 M nằm trong đường tròn (C 1 ) Xét các dây cung đi qua M ta thấy dây cung vuông góc với O 1 M tại M là dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khi đó: 2 2 1 1 1 O M 5 MA MB R O M 2 2 2 2 2 O M R MA 2 3 Tọa độ tâm (C 2 ) nằm trên đường thẳng OM nên tọa độ O 2 có dạng: 2 O 2t; t 2 2 2 2 2 O M 2 3 2t 2 t 1 2 3 4 3 2 3 2 3 O 2 ; 1 t 1 5 5 5 5 t 1 2 3 2 3 4 3 2 3 t 1 O 2 ; 1 5 5 5 Vậy ta có hai phương trình đường tròn (C 2 ) thỏa mãn: 2 2 4 3 2 3 x 2 y 1 16 5 5 hoặc 2 2 4 3 2 3 x 2 y 1 16. 5 5 2) Phương trình đường thẳng AC: x 1 t y 2 2t z 1 2t Góc tạo bởi AC và BD: 1.1 2.2 2 .3 1 cos 1 4 4. 1 4 9 3 14 AC 1 4 4 3 www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20062000@yahoo.com Trang7 ABCD 1 1 1 2 S AC.BD.cos .3.4. 2 2 3 14 14 Ta có: ABCD IAD IAD 2 S 2011.S S 2011 14 Tọa độ giao điểm I của AC và BD: 1 1 t 1 t' t 6 12 3 5 2 2t 2 2t' I ; ; 1 5 5 5 t ' 1 2t 3t' 5 2 2 2 6 12 3 3 IA 1 2 1 5 5 5 5 IAD IAD 2S1 4 5 20 S DH.AI DH . 2 AI 3 2011 14 6033 14 Vậy khoảng cách từ D đến đường thẳng AC bằng 20 . 6033 14 Câu VII.b: Đặt z x yi Ta có: 2 2 2 2 z 2 z 2 6 x 2 y x 2 y 6 Đặt: 2 2 a x 2 y , 2 2 b x 2 y Ta có: 2 2 2 2 2 2 a b x 2 y x 2 y 8x a b a b 8x Mà: 4 a b 6 a b x 3 Như vậy ta có hệ: 2 2 2 2 2 a b 6 2 2 x y a x 3 x 2 y x 3 1 4 3 3 9 5a b x 3 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elíp (E): 2 2 x y 1. 9 5 www.VNMATH.com . Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20 062 000@yahoo.com Trang1 THTT SỐ 405-3 /2011 Đ Đ Đ Ề Ề Ề S S S Ố Ố Ố 0 0 0 6 6 6 Thời gian làm bài 180. a bi Z 2z 3 i 2a 3 2b 1 i www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20 062 000@yahoo.com Trang6 Số phức Z được biểu diễn dưới dạng Z x yi x 3 a x 2a 3 2 y. www.VNMATH.com Thử sức trước kì thi phamtuan_khai20 062 000@yahoo.com Trang7 ABCD 1 1 1 2 S AC.BD.cos .3.4. 2 2 3 14 14 Ta có: ABCD IAD IAD 2 S 2011. S S 2011 14 Tọa độ