Bài tập hay về ĐLH vật rắn 12

Tác dụng một xung lực X theo phương ngang vào một đầu của cạnh ngắn và vuông góc với nó.. 1, Tìm mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng của

Câu 1:Một thanh cứng đồng chất, tiết diện đều hình thước thợ có khối

lượng m đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang, nhẵn Một cạnh của

thanh có chiều dài H cạnh kia dài 2H (hình 1) Tác dụng một xung lực

X theo phương ngang vào một đầu của cạnh ngắn và vuông góc với

nó

1, Tìm mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua khối

tâm và vuông góc với mặt phẳng của thanh

2, Tìm vận tốc góc của thanh sau khi tác dụng xung lực

3, Ngay sau khi tác dụng xung lực, thanh sẽ quay quanh tâm

quay tức thời T Tìm vị trí của T

Solution:

a, Tọa độ khối tâm của thanh: chọn trục toạ độ như hình vẽ

2

2 3

3

G

m

H H x

m

3 2

6

G

m H

H y

m

6

Mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua O và vuông góc với mặt phẳng thanh:

2

2 (2 )

O

Theo định lí Huyghen – Steiner: mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua G và vuông góc với mặt phẳng của thanh:

17 19

I I m OG I I m OG m H m 

b, Áp dụng định luật II Niutơn:

F = m.aG  X v G 0

m





   G

X v m



Áp dụng đinh lí biến thiên mômen động lượng:

( G) G

X Hy I  suy ra: 30

19

X

m H

 

Vậy thanh quay với vận tốc góc  theo chiều kim đồng hồ

c, Gọi T là tâm quay tức thời của thanh ngay sau khi tác

dụng xung lực ta có:

H

2H

X



Hình 1

H

2H

X



x

y

O

G vG

T

Câu 2: Một thanh đồng chất có khối lượng 2m, dài l nằm trên sàn ngang nhẵn Một viên bi nhỏ

khối lượng m chuyển động với vận tốc v đến va chạm vuông góc với thanh tại điểm A cách khối tâm của thanh một đoạn là d Va chạm tuyệt đối đàn hồi

a Xác định vận tốc lớn nhất và nhỏ nhất có thể của khối tâm của thanh khi thay đổi d

b Xác định d để sau va chạm hòn bi đứng yên

Giải:

a Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn cơ năng cho hệ ta có:







































2 2 2 2 G 2

2 2

2 G 2

G G

' v 12

l 2 v 2 v ' mv 2

1 J

2

1 mv 2 2

1 mv

2

1

' v v 2 v ' mv mv

2 mv

Biến thiên momen động lượng của thanh bằng momen xung lượng mà thanh nhận được: J = 2mvGd   = 2

l

d 12

vG

Giải các phương trình trên ta được:































G G

2 G

v 2 v

'

v

v l

n 12

n 12 3

v 2 v

với n =

l

d

Khối tâm có vận tốc cực đại khi: n = 0 =>d = 0

vGmax = v

3

2

;  = 0; v' =

-3

v

Khối tâm có vận tốc cực tiểu khi: n =

2

1 l

d

 lúc này điểm A ở mép thanh

vGmin =

3

v

;  =

l

v 2

0; v' =

3

v

b Để sau va chạm hòn bi đứng yên:

v' = 0  vG =

2

v

=

2 n 12 3

v 2

2 =

12

1

 d =

3 2 l

Khi đó  =

l

3 v

Câu 3: Một thanh cứng không đồng chất chiều dài L, khối lượng M Mật độ

khối lượng theo chiều dài ρ = kx, với k là hằng số, x là khoảng cách tới đầu

O của thanh

1)Xác định giá trị của k và vị trí khối tâm C của thanh

2)Tính mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua đầu O và

vuông góc với thanh

3) Thanh có thể quay xung quanh trục nằm ngang O Một viên đạn

nhỏ khối lượng m bay với vận tốc v theo phương ngang cắm vào đầu B.Xác

định giá trị của m để thanh mang viên đạn quay trọn vòng quanh O và điều

kiện của vận tốc v khi đó.Lấy gia tốc trọng trường g, bó qua ma sát

1)Xác định giá trị của k và vị trí khối tâm C của thanh

- Xét một phần tử nhỏ dx cách đầu ở toạ độ x có khối lượng dm = kx.dx

M =

2

2

0

kl dx kx dm

l





  => k = 22

l M

- Xác định khối tâm C

xC =   

l dx kx M

xdm

2 1 1

=> xc =

M

kl

3

3 , thay k => xC =

3

2l

2) Xác định mômen quán tính I0

dI0 = x2dm => I0 =

l dm x

0

2

= 

l dx kx

0

3 Thay k => I0 =

2

2

Ml

3)Xác định giá trị của m để thanh mang viên đạn quay trọn vòng quanh O

Xác định vận tốc góc ω sau va chạm mềm

 ĐLBT mômen động lượng

Mvl = Ihệ ω => ω =

he I

mvl

(1) Với Ihệ =  

2

2 2

2 2

ml





 Động năng quay ngay sau va chạm

K = I he  K 

2

2



m M

v m

2

2 2

* Khối tâm G của hệ cách 0: xG

M m

l m M m

M

ml l

M











3

3 2 3

2

(4)

 Độ tăng thế năng khi hệ tới vị trí cao nhất của vòng quay

ΔWt = 2(M+m)g.xG Thay (4) => ΔWt =

3

2l

(2M + 3m)g (5)

* Điều kiện quay trọn vòng: K  ΔWt

v

0

C

B





Câu 4: Một quả tạ gồm hai vật nặng có cùng khối lượng m gắn ở hai đầu của

một thanh có chiều dài 2l và khối lượng 2m Ban đầu hai quả đặt sát vào chân

tường Đẩy nhẹ cho quả dưới trượt trên sàn nằm ngang làm cho quả tạ đổ

xuống Bỏ qua mọi ma sát Tìm gia tốc góc và vận tốc góc của thanh tại thời

điểm quả trên bắt đầu dời khỏi tường

- Tại thời điểm đầu B dời tường thì phản lực N2 = 0  quả tạ chỉ có gia tốc

theo phương thẳng đứng Do vật nặng B trượt trên tường nên gia tốc của nó có

phương thẳng đứng, vật nặng A chỉ trượt trên sàn nằm ngang nên gia tốc của nó (nếu có) chỉ có phương nằm ngang  để gia tốc của quả tạ có phương thẳng đứng thì gia tốc của A phải bằng 0

 Phản lực của thanh đỡ tác dụng lên các vật nặng T = T’ = 0 (1)

- Xét phương trình định luật II Newton đối với vật nặng A Do gia tốc a1 = 0 và T = 0  phản lực của sàn N1 = mg

- Viết phương trình động lực học cho quả tạ với trục quay là khối tâm:

N1.l.sin α = IG.γ  γ =

2 ml 3 8

sin mgl 

- Gọi toạ độ của các quả nặng là x và y ta có Vận tốc của các quả:

V1 = dt

dx , V2 = -

dt

dy Mặt khác: y = 2 2

x l

2 2

y

x dt

dx x l 4

x dt

dy









2 1 2 3

2 1 2 3

2 1 2 2 2 1 2 1 2

1 1

2

2

y

v l 4 y

v x y

v y y

v xv y

u dt

dy y

xv dt

dx y

v dt

y

d













- Xét tâm quay tức thời I: tốc độ góc: ω =

y

v1

- Mômen quán tính của thanh đối với I:

I = IG + 2m.IG2 = ml2

3 14

- Bảo toàn cơ năng:

2 1 2 2

2 1 2 2

2 2 1 2

2 2 2 1

y

v ml 3

13 y

v ml 3

7 y

x 1 mv 2

1 I 2

1 ) v v ( m 2

1

























- Thay (1) vào phương trình trên ta được:

2mg(2l – y) = myg

12

13

 y = l

37

48  v1 = 3

3 37

gl 24 2

 ω  0,57

l g

 sin α =

l 2

x

0,76  γ  0,29

l g

Câu 5: Một thanh cứng đồng chất tiết diện đều, chiều dài L = 40cm, khối lượng M = 250g được

giữ nằm ngang sao cho đầu B tựa trên mép một chiếc bàn (Hình 2)

Buông thanh, đồng thời tác dụng một xung lực X = 100 (N.s) vào đầu

A theo phương thẳng đứng lên trên

Cho 3,14;g 10m2

s

a- Tìm xung lực Y do bàn tác dụng vào đầu B ngay khi tác dụng xung X ?

b- Tìm X nhỏ nhất sao cho thanh bay lên rồi trở lại vị trí ban đầu nhưng hai đầu đổi chỗ cho

nhau? Bỏ qua ảnh hưởng của không khí

Câu 6:Một vật đồng chất, có dạng là một bản mỏng phẳng ABCD (hình 1) với BC và AD là hai

cung tròn đồng tâm bán kính R 1 = 2,2m và R 2 = 2,8m Vật được treo vào điểm cố định O bằng hai dây treo nhẹ OA và OB, không giãn hướng theo phương bán kính, góc ở tâm AOD = α 0 = 100 o Cho vật dao động trong mặt phẳng OAD với biên độ nhỏ Bỏ qua ma sát, hãy tính chu kì dao động của vật

Gọi khối lượng trên một đơn vị diện tích của vật là ρ Xét một

cung mỏng dr bán kính r, khối lượng của nó là dm = ρα0rdr

(hình 5.2) Momen quán tính của yếu tố dm đối với trục quay

đi qua O là dI = r2dm = ρα0r3dr Momen quán tính của cả vật

đối với trục quay đi qua O và vuông góc với mặt phẳng OAD

là:

R

R

4 1 4 2 0 3

0

4

1

2

1





Gọi trọng tâm của vật là G Ta thấy vật có tính đối xứng nên trọng tâm nằm trên trục đối xứng

Ox (hình 5.2) Đặt OG = d Khối lượng của vật là M Xét một yếu tố diện tích dS = rdrdα (chắn góc ở tâm là dα) Khối lượng của diện tích dS là dm = ρdS = ρrdrdα, toạ độ x = r.cosα Áp dụng công thức tính khối tâm ta có   







2

2 2

0

0 2

1

/

/ R

R S

d cos dr r xdm Md









2 1

2 ( ).sin



Chu kì dao động với biên độ nhỏ của vật là

4 4

0 2 1

2 1

2 ( ) sin

2

I









Vậy chu kì dao động với biên độ nhỏ của vật là T = 3,4 (s)

A

X

B

O

D

A

x

dS

α

d

x r

Câu 7: Cho một thanh đồng chất tiết diện đều có khối lượng

M, chiều dài L được đặt trên nằm yên trên mặt bàn nằm

ngang Thanh có thể quay quanh trục thẳng đứng đi qua

trung điểm của thanh Hệ số ma sát trượt giữa thanh và mặt

bàn là  Bắn một viên bi có khối lượng m với vận tốc v0

theo phương ngang, vuông góc với thanh và vào một đầu của

thanh Biết va chạm là hoàn toàn đàn hồi và vận tốc của viên bi sau va chạm không đổi phương chiều a.Tìm vận tốc góc của thanh ngay sau va chạm?

b Sau va chạm thanh quay được góc lớn nhất bằng bao nhiêu?

a Tính vận tốc góc của thanh ngay sau va chạm

+ Xét thời điểm ngay sau va chạm: theo định luật bảo toàn cơ năng và bảo toàn mômen động lượng ta có

0

0

(1)

(2)













Từ (2) ta có: mv mv0 2I

L 

Thay vào (1):

2mv  2I  2mv mL I   L v I2I mL I   L v I 2 mL I  L v

Với 1 2

12

I ML (1 ) 2 0

2 6

M

v

2 6

L

m







b Tính góc mà thanh quay được sau va chạm

+ Xét phần tử nhỏ dm của thanh, có độ dài dx dm M dx

L

+ Lực ma sát tác dụng vào phần tử dm là: dF ms gdm M gdx

L

+ Khi thanh quay được góc  thì quãng đường đi được của phần tử dm là: Sx

+ Độ lớn công của lực ma sát khi thanh quay góc  là:

dA dF S ms M gx dx M g xdx

Do tính đối xứng nên:

0

L M

g x

L   = 1

4ML g 

+ Khi thanh dừng lại thì động năng thanh chuyển toàn bộ thành công của lực ma sát

2

L

g





v

O

O

0

x x+dx

Câu 8:

Một sợi dây mềm có chiều dài L, khối lượng M

phân bố đều theo chiều dài của dây Dây được đặt

trên mặt bàn nằm ngang sao cho ¼ chiều dài của

dây nằm dưới mép bàn Thả nhẹ cho dây chuyển

động Biết hệ số ma sát giữa dây và mặt bàn là 

a.Tính công của lực ma sát tác dụng vào dây kể

từ khi bắt đầu chuyển động đến khi dây rời mặt

bàn

b.Tính vận tốc của dây khi dây rời mặt bàn

Giải:

a Tính công của lực ma sát

+ Xét phần tử dây nhỏ dx cách mép bàn đoạn x

+ Khối lượng của phần tử dx là: dm M dx

L



+ Lực ma sát tác dụng vào phần tử dx: dF ms g M dx

L



 + Công của lực ma sát để di chuyển phần tử dx đến mép bàn:

dA dF ds ms xdF ms g M xdx

L



+ Công lực ma sát để di chuyển dây đến khi rời mặt bàn:

2

3 1

4 2

0

L

32MgL



b Tính vận tốc của dây khi rời bàn

+ Chọn gốc thế năng  mặt bàn

+ Cơ năng của dây lúc bắt đầu thả:

M L

W   g   MgL

+ Cơ năng của dây khi rời bàn:

1 2

L

W  Mv Mg

+ Theo định lý biến thiên cơ năng:

0

L

16 16

L/4

O x

x+dx

Câu 9

Cho một vòng dây mảnh có khối lượng M, bán kính

R Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vòng

dây, cách tâm vòng dây một đoạn h có chất điểm khối

lượng m Lúc đầu chất điểm được giữ cân bằng, sau đó

truyền cho chất điểm vận tốc ban đầu v0



hướng vào tâm vòng dây Bỏ qua tác dụng của lực hút trái đất

a Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm ngay sau khi

chuyển động

b Tính vận tốc của chất điểm khi nó đến tâm vòng dây

a Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu

+ Chia vòng dây làm 2n đoạn nhỏ bằng nhau Khối lượng mỗi đoạn là:

2

M dM

n

 +Xét lực hấp dẫn do 2 phần tử đối xứng nhau qua tâm tác dụng lên chất điểm ở A:

F F1F2

 F2F c1 os ( vì F1 F2 G.m dM.2

r

2 2

2 2

 + Lực hấp dẫn vòng dây tác dụng vào chất điểm :

2 2

2

hd

h

F n F n G m dM



2 2

h GMm

R h

+ Gia tốc của chất diểm tại vị trí cách tâm vòng khoảng h là:

2 2

hd



b Vận tốc của chất điểm tại tâm vòng dây

+ Công của lực hấp dẫn khi đưa chất điểm từ vị trí cách tâm khoảng h về tâm:

0

hd

h

2 2 3 2 2

0

1

2

h

0 3

h GMm

2 2

3

GMm



+ Theo định lý biến thiên động năng:

2 2

GMm



2 2

3

GM v



h

R

dm

A

Câu 10:

Một khối trụ đồng chất khối lượng M, bán kính R, có

mômen quán tính đối với trục là I = MR 2 /2, được đặt lên

mặt phẳng nghiêng góc α = 30 0 Giữa chiều dài khối trụ có

một khe hẹp trong đó có lõi có bán kính R/2 Một sợi dây

nhẹ không giãn được quấn nhiều vòng vào lõi rồi vắt qua

ròng rọc B (khối lượng không đáng kể) Đầu còn lại của

dây mang một vật C khối lượng m = M/5 (hình H 3) Phần

dây AB song song với mặt phẳng nghiêng Hệ số ma sát

nghỉ cực đại (cũng là hệ số ma sát trượt) là μ

a Tìm điều kiện về μ để khối trụ lăn không trượt trên mặt

phẳng nghiêng Tính gia tốc a 0 của trục khối trụ và gia tốc

a của m khi đó

b Giả sử α không thoả mãn điều kiện trên Tìm gia tốc a 0 của trục khối trụ và gia tốc a của m

a Điều kiện của  và gia tốc của các vật

Khối trụ lăn không trượt, điểm tiếp xúc I

giữa khối trụ và mặt nghiêng đứng yên tức thời và

đóng vai trò làm tâm quay tức thời Ta gọi gia tốc

góc của khối trụ quanh trục của nó là , cũng là gia

tốc góc quanh tâm quay tức thời I Ta có quan hệ

với gia tốc dài:































0

0

a 2

3 2

R

R

a

.

R

a





(1)

Mặt khác, phương trình định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của các vật khi chiếu trên các trục với chiều dương như đã chỉ ra trên hình vẽ:

0

ms M a f

T sin Mg

a m mg T











Đối với chuyển động quay quanh trục của khối trụ:

0 ms

0 2

R

a R M 2

1 I 2

R T R

sin

B

C A

α

H 3



C

m

A

a0

+ a

B

I

fms

P2

P1 N

+

Điều kiện để khối trụ lăn khụng trượt:









cos Mg N 3

sin Mg

9

3 3

tg



b Gia tốc của cỏc vật khi khối trụ trượt

Theo phần 1 khối trụ sẽ vừa lăn vừa trượt khi cú

điều kiện:

9

3 3

tg



 Lỳc đú, lực ma sỏt cú độ lớn

bằng:





f ms  

Ta cú quan hệ về gia tốc cỏc vật:

trượt) vừa lăn (vừa

0

0 0

a

R

.

Ma 2 Ma 2 MR 2

R a

a



















(4) Định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của cỏc vật:

0

ms M a f

T sin

Mg

mg ma T a

m mg

T

















Và chuyển động quay quanh trục của khối trụ:

T f 2 R M R

M 2

1 I 2

R T

R

.

fms     2    ms  (6)

Kết hợp với (4)  2 fms  T  2 Ma  2 Ma0

hay 2 fms  ma  mg  2 Ma  2 Ma0 (7)

Cộng hai vế của (5) với nhau ta được:

0

ms m a mg M a f

sin

Nhõn (8) với 2 rồi cộng với (7):

Ma 2 mg 3 ma 3 sin Mg

 2 Mg sin   3 mg  3 ma  2 Ma



13

g M

2 m

3

mg 3 sin

Mg

2





;

13

mg 15 13

mg 2 mg

39

g g 26

3 13 7 M

mg a m f sin Mg

;

R 13

g 3 3 13 MR

13 / mg 15 cos Mg 2 MR

T

f













C

m

A

a0

+ a

B

I

fms

P2

P1

N

+

Câu 11:

Hai hình trụ bán kính R1 và R2 có các momen quán

tính lần lượt bằng I1 và I2 có thể quay quanh các trục O1 và

O2 vuông góc với mặt phẳng hình vẽ Bỏ qua ma sát ở các

trục Ban đầu hình trụ lớn quay với tốc độ góc 0 Giữ trục

O1 cố định, còn trục O2 được tịnh tiến sang phải cho đến lúc

hình trụ nhỏ tiếp xúc với hình trụ lớn và bị lực ma sát giữa

hai hình trụ làm cho quay Cuối cùng hai hình trụ quay ngược chiều nhau với các tốc độ góc không đổi khi không còn trượt Tìm tốc độ góc 2 của hình trụ nhỏ theo I1, I2, R1, R2 và 0

Giải:

Gọi 1 và 2 lần lượt là tốc độ góc cuối cùng (không đổi) của các hình trụ bán kính R1 và R2 (R1 > R2) Lực ma sát F1

do hình trụ R2 tác dụng lên hình trụ có tác dụng làm hình trụ R1 quay chậm lại, tốc độ góc của nó giảm từ 0 xuống 1

Ta có : M = F.R và M = I

t





( =

t





: gia tốc góc)

 F.R = I

t





 F.R. = I.t 

Vậy : F1.R1. = It 1(0 1) (1)

Theo định luật III Newton lực ma sát F2

do hình trụ R1 tác dụng lên hình trụ R2: F2

= - F1

Lực F2

có tác dụng làm hình trụ R2 quay nhanh dần từ tốc độ góc bằng không đến 2

nên ta được : F2.R2.t = I2.2 (2)

Từ (1) và (2) ta có :

2

1

R

R

=

2 2

1 0 1

) (







I

(3)

Khi sự trượt dừng lại : 1.R1 = 2.R2  1 =

1

2

2

R

R



(4)

Từ (3) và (4) ta được : I2.2

2

1

R

R

= I1.0 - I1

1

2

2

R

R















1

2 1 2

1

2

R

R I R

R

I = I1.0

2 2