1 Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng năm 2002 Môn Toán, khối D Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Câu Nội dung Điểm ĐH CĐ I 3đ 4đ 1. 1 1,5 Khi m = -1 ,ta có 1x 4 3 1x 1x3 y = = -TXĐ : 1x - CBT : () > = 1x,0 1x 4 y 2 , hàm số không có cực trị. 1/4 1/4 3ylim x = ; =+= + 1x1x ylim;ylim . - BBT : x - 1 + y / + + + y -3 -3 - 1/4 1/4 - TC: x=1 là tiệm cận đứng vì = ylim 1x . y=-3 là tiệm cận ngang vì 3ylim x = 1/4 1/4 - Giao với các trục : x = 0 y = 1; y = 0 x = - 1/3. 1/4 - Đồ thị : x y 1/4 1/2 2 2. 1 1,5 Diện tích cần tính là : dx 1x 1x3 S 0 3/1 = 1/4 1/2 = 0 3/1 0 3/1 1x dx 4dx3 1/4 1/4 3/1 0 1xln4 3 1 .3 = 1/4 1/2 3 4 ln41+= ( đvdt). 1/4 1/4 3. 1 1 Ký hiệu () 1x mx1m2 )x(f 2 = . Yêu cầu bài toán tơng đơng với tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm: (H) () = = .x)x(f x)x(f / / 1/4 1/4 Ta có (H) () () = = 0 1x mx 0 1x mx / 2 2 1/4 1/4 () ()()() () = + = 0 1x mx1xmx2 0 1x mx 2 2 2 1/4 1/4 Ta thấy với 1m ; x = m luôn thoả mãn hệ ( H ) . Vì vậy 1m , (H) luôn có nghiệm , đồng thời khi m = 1 thì hệ ( H ) vô nghiệm. Do đó đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x khi và chỉ khi 1m . ĐS : 1m . 1/4 1/4 II 2đ 3đ 1. 1 1,5 Bất phơng trình > = 0x3x 02x3x2 02x3x2 2 2 2 1/4 1/2 TH 1: . 2 1 x2x02x3x202x3x2 22 ==== 1/4 1/4 TH 2: > > 0x3x 02x3x2 0x3x 02x3x2 2 2 2 2 >< 3x0x 2x 2 1 x 1/4 3 3x 2 1 x < 1/4 1/4 Từ hai trờng hợp trên suy ra ĐS: 3x2x 2 1 x = 1/4 1/4 2. 1 1,5 Hệ phơng trình = = y2 y4y52 x 2x3 1/4 1/2 =+ >= 0y4y5y 0y2 23 x 1/4 1/4 === >= 4y1y0y 0y2 x 1/4 1/4 = = = = 4y 2x 1y 0x 1/4 1/2 III 1đ 1đ Phơng trình ()() 01x2cos4xcos3x3cos =++ 0xcos8xcos4 23 = () 02xcosxcos4 2 = 0xcos = 1/4 1/2 + = k 2 x. 1/4 1/4 [] 3k2k1k0k14;0x ==== 1/4 ĐS : ; 2 x = 2 3 x = ; 2 5 x = ; 2 7 x = . 1/4 1/4 IV 2đ 2đ 1. 1 1 Cách 1 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Do đó có thể chọn hệ toạ độ Đêcac vuông góc, gốc A sao cho B(3;0;0) , C(0;4;0), D( 0;0;4). Mặt phẳng (BCD) có phơng trình : 01 4 z 4 y 3 x =++ . 1/4 1/4 Khoảng cách cần tính là : 17 346 16 1 16 1 9 1 1 = ++ (cm). 1/4 1/4 4 Cách 2 Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 D H C A E B Gọi AE là đờng cao của tam giác ABC; AH là đờng cao của tam giác ADE thì AH chính là khoảng cách cần tính. Dễ dàng chứng minh đợc hệ thức: 2222 AC 1 AB 1 AD 1 AH 1 ++= . 1/4 1/4 Thay AC=AD=4 cm; AB = 3 cm vào hệ thức trên ta tính đợc: cm 17 346 AH = 1/4 1/4 Cách 3: Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có V= 8ADACAB 6 1 = . áp dụng công thức )BCD(dt V3 AH = với V = 8 và dt( BCD) =2 34 ta tính đợc cm 17 346 AH = . 1/2 1/2 2 1 1 Cách 1: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến () 0;1;2n . Đờng thẳng m d có vec tơ chỉ phơng ()( )( )() () m1m;1m2; 1m2m1u 2 ++ . 1/4 1/4 Suy ra u. n =3(2m+1). m d song song với (P) )P(d nu m 1/4 1/4 5 () = PA,dA 0n.u m Ta có : điều kiện 0n.u = 2 1 m = 1/4 1/4 Mặt khác khi m = - 1/2 thì m d có phơng trình : = = 0x 01y , mọi điểm A( 0;1;a) của đờng thẳng này đều không nằm trong (P), nên điều kiện () PA,dA m đợc thoả mãn. ĐS : m = - 1/2 1/4 1/4 Cách 2: Viết phơng trình d m dới dạng tham số ta đợc = += += m)t.m(12z t1)(2m1 y 1)tm)(2m(1 x 2 1/4 1/4 m d // (P) hệ phơng trình ẩn t sau =+ = += += 02yx2 t)m1(m2z t)1m2(1y t)1m2)(m1(x 2 vô nghiệm 1/4 1/4 phơng trình ẩn t sau 3(2m+1)t+1 = 0 vô nghiệm 1/4 1/4 m=-1/2 1/4 1/4 Cách 3: m d // (P) hệ phơng trình ẩn x, y, z sau (H) ()() =++++ =+++ =+ 02m4z)1m2(mx 01myx1x1m2 02yx2 vô nghiệm 1/4 1/4 Từ 2 phơng trình đầu của hệ phơng trình trên suy ra + = = 3 4m2 y 3 1m x 1/4 1/4 Thế x , y tìm đợc vào phơng trình thứ ba ta có : )6m11m( 3 1 z)1m2( 2 ++=+ 1/4 1/4 Hệ (H) vô nghiệm 2 1 m = 1/4 1/4 V 2đ 1. 1 Ta có : () = =+ n 0k kk n n xC1x , 1/4 Cho x = 2 ta đợc = = n 0k kk n n 2C3 1/4 5n32433 5n === . 1/2 6 2. 1 Cách 1 Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên hai tia Ox và Oy. Đờng thẳng MN có phơng trình : 01 n y m x =+ 1/4 Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi : 1 n 1 9 m 1 16 22 = + . 1/4 Theo BĐT Côsi ta có : () 2 2 2 2 22 22222 n m 9 m n 1625 n 9 m 16 nmnmMN ++= ++=+= 499.16225 =+ 7MN 1/4 Đẳng thức xảy ra >> =+ = 0n,0m 49nm n m9 m n16 22 2 2 2 2 21n,72m == . KL: Với ( ) ( ) 21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7. 1/4 Cách 2 Giả sử M(m;0) và N(0;n) với m > 0 , n > 0 là hai điểm chuyển động trên hai tia Ox và Oy. Đờng thẳng MN có phơng trình : 01 n y m x =+ 1/4 Đờng thẳng này tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi : 1 n 1 9 m 1 16 22 = + . 1/4 Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có () 49 n 3 .n m 4 .m n 9 m 16 nmnmMN 2 22 22222 = + ++=+= . 7MN 1/4 - Đẳng thức xảy ra >> =+ = 0n,0m 7nm n 3 :n m 4 :m 22 21n,72m == . KL: Với ( ) ( ) 21;0N,0;72M thì MN đạt GTNN và GTNN (MN) = 7. 1/4 Cách 3: Phơng trình tiếp tuyến tại điểm (x 0 ; y 0 ) thuộc (E) : 1 9 yy 16 xx 00 =+ 1/4 7 Suy ra toạ độ của M và N là 0; x 16 M 0 và 0 y 9 ;0N + +=+= 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 y 9 x 16 9 y 16 x y 9 x 16 MN 1/4 Sử dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacôpski (nh cách 1 hoặc cách 2) ta có : 22 7MN 1/4 - Đẳng thức xảy ra 7 213 y; 7 78 x 00 == . - Khi đó ( ) ( ) 21;0N,0;72M và GTNN (MN) = 7 1/4 Hết 8 Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 Hớng dẫn chấm thi môn toán khối D Câu I: 1. -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. -Nếu TS xác định đúng hàm số và chỉ tìm đúng 2 tiệm cận thì đợc 1/4 điểm. 2. Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. 3. -Nếu TS dùng điều kiện nghiệm kép thì không đợc điểm. -Nếu TS không loại giá trị m = 1 thì bị trừ 1/4 điểm. Câu II: 1. -Nếu TS làm sai ở bớc nào thì kể từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. -Nếu TS kết luận nghiệm sai bị trừ 1/4 điểm . -Nếu TS sử dụng điều kiện sai: < 0)x(g 0)x(f 0)x(g 0)x(f 0)x(g).x(f và dẫn đến kết quả đúng sẽ bị trừ 1/4 điểm. 2. TS làm đúng ở bớc nào đợc điểm ở bớc đó. Câu III: TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó . Câu IV: TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó . Câu V: 1. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. 2. TS làm đúng bớc nào đợc điểm bớc đó. Hết . A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có V= 8ADACAB 6 1 = . áp d ng. thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 D H C A E B Gọi. thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A , do đó .ACAB 1/4 1/4 Lại có () ABCmpAD ABAD và ACAD , nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. 1/4 1/4 Do đó có thể chọn hệ toạ độ Đêcac vuông