DA_Toan_D.DH.2005

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 Môn: TOÁN, Khối D (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 I.1 1,0 32 11 m2 y x x 33 =⇒= − +. a) TXĐ: \. b) Sự biến thiên: 2 y' x 2x, y' 0 x 0, x 2.=− =⇔= = 0,25 Bảng biến thiên: x − ∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 − 0 + y 1 3 − 1 + ∞ ∞ − y CĐ 1 () () CT 1 y0 ,y y2 1. 3 == ==− 0,25 c) Tính lồi lõm, điểm uốn y'' 2x 2, y'' 0 x 1.=− =⇔= x − ∞ 1 +∞ y’’ − 0 + Đồ thị hàm số lồi 1 U1; 3 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ lõm Đồ thị của hàm số nhận 1 U1; 3 ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ là điểm uốn. 0,25 d) Đồ thị -1 2 O y x 0,25 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn I.2 1,0 Ta có: 2 y' x mx.=− Điểm thuộc (C m ) có hoành độ x1 = − là m M1; 2 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ . 0,25 Tiếp tuyến tại M của (C m ) là ∆: ()( ) ( ) mm yy'1x1ym1x 22 2 . + += − +⇔= + + 0,25 ∆ song song với ( hay d:5x y 0−= d:y 5x = ) khi và chỉ khi m15 m4 m20 += ⎧ . ⇔ = ⎨ +≠ ⎩ Vậy m4= . 0,50 II. 2,0 II.1 1,0 2x 2 2x 1 x1 4.++ +− += ĐK: x1≥− . 0,25 Phương trình đã cho tương đương với () () 2 2 x11 x14 2 x11 x14 x12 + + − +=⇔ ++ − +=⇔ += 0,50 x3⇔=. 0,25 II.2 1,0 Phương trình đã cho tương đương với 22 13 1 2sin x cos x sin 4x sin 2x 0 22 ⎡⎤ π ⎛⎞ −+−+− ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ 2 = 0,25 2 2 sin 2x cos4x sin 2x 3 0⇔− − + −= () 22 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 1 0⇔− − − + − = 2 sin 2x sin 2x 2 0 sin 2x 1⇔+−=⇔= hoặc sin 2x 2 = − (loại). 0,50 Vậy () sin 2x 1 2x 2k x k k . 24 ππ =⇔ =+π⇔=+π ∈ ] 0,25 2 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn III. 3,0 III.1 1,0 Giả sử ( ) oo Ax;y . Do đối xứng nhau qua Ox nên A,B oo B(x ; y ). − Ta có và 2 o AB 4y= 2 ( ) 2 22 o0 AC x 2 y .=−+ 0,25 Vì ( ) AE∈ nên 22 22 oo oo xx y1y1 (1) 44 +=⇒=− . Vì nên AB AC= ( ) 2 22 ooo x2 y4y (2)−+= . 0,25 Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được o 2 oo o x2 7x 16x 4 0 2 x 7 = ⎡ ⎢ − +=⇔ ⎢ = ⎢ ⎣ . 0,25 Với thay vào (1) ta có 0 x= 2 0 0 y = . Trường hợp này loại vì AC≡ . Với 0 2 x 7 = thay vào (1) ta có 0 43 y. 7 =± Vậy 243 2 43 A; ,B; 77 7 7 ⎛⎞⎛ − ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ hoặc 243 243 A; ,B; 77 77 ⎛⎞⎛ − ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ . ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0,25 III.2a 1,0 1 d đi qua ( ) 1 M1;2;1−− và có vectơ chỉ phương ( ) 1 u3;1;2=− . J JG 2 d có vectơ chỉ phương là () 2 1 1 1 1 1 1 u;;3; 3 0 0 1 1 3 ⎛⎞ −− == ⎜⎟ ⎝⎠ 1;2 − J JG . 0,25 Vì và nên 1 uu= JJGJJG 2 21 Md∉ 12 d//d. 0,25 Mặt phẳng (P) chứa nên có phương trình dạng 2 d ( ) ( ) ( ) 22 xyz2 x3y12 0 0α + − − +β + − = α +β ≠ . Vì ( ) 1 MP∈ nên ( ) ( ) 1212 1612 0 2 17 0.α−+− +β−− =⇔α+β= 0,25 Chọn Phương trình (P) là: 17 2.α= ⇒β=− 15x 11y 17z 10 0. + −−= 0,25 III.2b 1,0 Vì nên A,B Oxz∈ AB yy0==. Vì nên 1 Ad∈ AA x12z 312 −+ == 1 − ⇒= , AA xz 5=− ( ) A5;0;5−⇒− BB B 2 BB xz20 x12 Bd B(12;0;10). x120 z10 −−= = ⎧⎧ ∈⇒ ⇔ ⇒ ⎨⎨ −= = ⎩⎩ 0,50 ()() ( OA 5;0; 5 ,OB 12;0;10 OA,OB 0; 10;0 . ⎡⎤ =− − = ⇒ = − ⎣⎦ JJJG JJJG JJJG JJJG ) OAB 11 SOA,OB.10 22 ∆ ⎡⎤ == ⎣⎦ JJJG JJJG 5 = (đvdt). 0,50 3 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn IV 2,0 IV.1 1,0 () 22 sin x 00 1cos2x Iedsinx d 2 ππ + =+ ∫∫ x 0,25 sin x 22 00 11 exsin2x 22 ππ ⎛⎞ =++ ⎜⎟ ⎝⎠ 0,50 e1 4 π =+ − . 0,25 IV.2 1,0 ĐK: . n3≥ Ta có 22 22 n1 n 2 n3 n4 C 2C 2C C 149 ++ ++ +++= ( ) () ( ) ( ) () ( ) () n 1! n 2! n 3! n 4! 2 2 149 2! n 1 ! 2!n! 2! n 1 ! 2! n 2 ! ++++ ⇔++ + = −++ 0,25 2 n4n450n5,n⇔+−=⇔= =−9 . . Vì n nguyên dương nên n5 = 0,25 43 65 6! 5! 3. A3A 3 2! 2! M. 6! 6! 4 + + === 0,50 V 1,0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 33 33 3 33 1 x y 3 1.x .y 3xy 1x y 3 (1). xy xy ++≥ = ++ ⇔≥ 0,25 Tương tự 33 33 1y z 3 (2) yz yz 1z x 3 (3). zx zx ++ ≥ ++ ≥ 0,25 Mặt khác 3 333 333 3. xy yz zx xy yz zx ++≥ 333 33 (4). xy yz zx ⇒++≥ 0,25 Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) và (4) ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) và (4) là các đẳng thức ⇔ ⇔ .xyz1 0,25 = == Hết 4 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn . OAB 11 SOA,OB.10 22 ∆ ⎡⎤ == ⎣⎦ JJJG JJJG 5 = (đvdt). 0,50 3 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn IV 2,0 IV.1 1,0 () 22 sin x 00 1cos2x Iedsinx d 2 ππ + =+ ∫∫ x 0,25 sin x 22 00 11 exsin2x 22 ππ ⎛⎞ =++ ⎜⎟ ⎝⎠ . 3 ⎛⎞ −− == ⎜⎟ ⎝⎠ 1;2 − J JG . 0,25 Vì và nên 1 uu= JJGJJG 2 21 Md∉ 12 d/ /d. 0,25 Mặt phẳng (P) chứa nên có phương trình d ng 2 d ( ) ( ) ( ) 22 xyz2 x3y12 0 0α + − − +β + − = α +β ≠ . Vì ( ) 1 MP∈. 2k x k k . 24 ππ =⇔ =+π⇔=+π ∈ ] 0,25 2 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn III. 3,0 III.1 1,0 Giả sử ( ) oo Ax;y . Do đối xứng nhau qua Ox nên A,B oo B(x ; y ). − Ta có