Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. 1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có: a) Điều kiện đủ: - f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b). - f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b). b) Điều kiện cần. - f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) ⇒ f’(x) 0≥ trên khoảng (a ; b). - f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) 0)(' ≤⇒ xf trên khoảng (a ; b). 2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. - Tìm TXĐ của hàm số. - Tính y’, - Giải phương trình y’ = 0. - Lập bảng xét dấu y’. - Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận. • Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng • Cần nhớ: f(x) = ax 2 + bx + c . Nếu 0 <∆ thì f(x) luôn cùng dấu a. . Nếu 0 =∆ thì f(x) luôn cùng dấu a a b x 2 −≠∀ . Nếu 0>∆ thì f(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 . Ta có bảng xét dấu sau: x - ∞ x 1 x 2 + ∞ f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a • Đặc biệt: + ≤∆ > ⇔∈∀≥ 0 0 0)( a Rxxf + ≤∆ < ⇔∈∀≤ 0 0 0)( a Rxxf + 0)(0)( =⇔< xfaf α có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và x 1 < α < x 2 . BÀI TẬP Bài 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số. a) y = 4 + 3x – x 2 b) y = 2x 3 – 6x + 2 c) y = - 173 3 1 23 ++− xxx d) y = x 3 + 3x + 1 e) y = 32 3 4 23 −+− xxx f) y = x 4 – 2x 2 + 3 g) y = -x 4 + 2x 2 – 1 h) y = x 4 + x 2 k) y = x x − + 1 13 l) y = 1 1 − + x x m) y = 1 1 2 − +− x xx n) y = x + x 4 p) y = 2 4 x− q) y = 20 2 −− xx Bài 2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R. Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng ! Trang 1 Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong a) y = x 3 – 3mx 2 + (m + 2)x – 1 ĐS : 1 3 2 ≤≤− m b) y = mx 3 – (2m – 1)x 2 + 4m – 1 ĐS : m = 2 1 Bài 3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ a) y = 1)8()2( 3 2 3 +−+−+− xmxm x ĐS : 41 ≤≤− m b) y = 3)23( 3 )1( 2 3 +−++ − xmmx xm ĐS : 2 1 ≤m Bài 4. Tìm m để các hàm số : a) y = mx mx + +1 đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : m < -1 hoặc m > 1 b) y = mx mmx + +− 102 nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : 2 2 5 <<− m Bài 5. Chứng minh rằng : a) Hàm số y = sin 2 x + cosx đồng biến trên 3 ;0 π và nghịch biến trên π π ; 3 . b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nửa khoảng 2 ;0 π Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số. Bµi 1: Hµm bËc hai 1/ y = x 2 - 2x + 5 2/ y = - 2x 2 + x Bµi 2 : Hµm bËc ba 1/ y = 2x 3 - 9x 2 + 12x + 3 3/ y = 4x 3 + x - 1 2/ y = - x 3 + 3 2 x 2 + 6x - 3 4/ y = - 5x 3 + x 2 - 4x + 7 Bài 2 : Hàm số trùng phương 1/ y = - x 4 + 2x 2 3/ y = 2x 4 - x 2 + 5 2/ y = x 4 + x 2 - 3 4/ y = - 3x 4 - 2x 2 + 1 Bài 3 : Hàm bậc nhất / bậc nhất 1/ y = 3 5 1 x x − − 3/ y = 1 1x + 2/ y = 3 1 2 x x − − 4/ y = 3 2 x x − − Bài 4 : Hàm bậc hai / bậc nhất 1/ y = 2 1x x − 4/ y = x+1 - 1 1x + 2/ y = + + + 2 2 1 1 x x x 5/ y = − + − 2 1 1 x x x 3/ y = − + + 2 2 3 1 x x x 6/ y = − + − 2 5 3 2 x x x Bµi 5 : Hµm sè v« tØ 1/ y = 6 2x− 6/ y = x + 2 9 x− 2/ y = 2 2x x− 7/ y = 2x - 1 - 3 5x − Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng ! Trang 2 Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong 3/ y = 1 x x + 8/ y = 1 + 2 10 2 8x x− − 4/ y = x + 1 - 2 4 x− 9/ y = 1 3 x x + 5/ y = 2 16 x x− 10/ y = 3 2 6 x x − 11/ y = ( 3)x x − Bµi 6 : Hµm sè lîng gi¸c 1/ y = x - sinx trªn ®o¹n [0;2π] 3/ y = sin 1 x víi x > 0 2/ y = x + 2cosx víi x ∈ 5 ; 6 6 π π ÷ 4/ y = sin 2 x + cosx trªn ®o¹n [ ] 0; π Bµi 7 : C¸c hµm sè kh¸c 1/ y = 4 3 1 1 2 3 4 3 x x x− + − 6/ y = 9x 7 - 7x 6 + 5 7 12 5 x + 2/ y = 5 3 4 2 3 3 2 1 5 4 3 2 x x x x x− + + − − 7/ y = 1 1 2x x − − 3/ y = 4 3 2 3 3 2 6 11 4 2 x x x x− + − + 8/ y = 2 3 1 x x + 4/ y = x 3 - 5 4 8 5 x + 9/ y = 2 2 8 24 4 x x x + − − 5/ y = 2 1 ( 5)x − 10/ y = 4 48x x + 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ. * Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x 0 );( ba∈ a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x 0 ) );;( 00 hxhxx +−∈∀ và x 0 x≠ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x 0 ) );( 00 hxhxx +−∈∀ và x 0 x≠ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x 0 . * Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x 0 – h ; x 0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x 0 }, với h > 0. Khi đó: a) Nếu +∈∀< =∈∀> );(,0)(' );(,0)(' 00 00 hxxxxf xhxxxf thì x 0 là điểm cực đại của f(x). b) Nếu +∈∀> −∈∀< );(,,0)(' );(,0)(' 00 00 hxxxxf xhxxxf thì x 0 là điểm cực tiểu của f(x). * Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x 0 – h ; x 0 + h) với h > 0. Khi đó: a) Nếu > = 0)(" 0)(' xf xf thì x 0 là điểm cực tiểu của f(x). b) Nếu < = 0)(" 0)(' xf xf thì x 0 là điểm cực đại của f(x). Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng ! Trang 3 Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong * Quy tắc tìm cực trị của y = f(x). Quy tắc 1: 1. Tìm TXĐ 2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. 3. Lập bảng biến thiên 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2. 1.Tìm TXĐ 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x i ( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó. 3. Tính f”(x) và f”(x i ). 4, Dựa vào dấu của f”(x i ) suy ra tính chất cực trị của x i . BÀI TẬP 1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số. a) y = x 2 – 3x – 4 b) y = 2x 3 – 3x 2 + 1 c) y = xx 4 3 1 3 +− d) y = x 3 – 3x 2 +3x e) y = 14 2 1 24 −− xx f) y = 24 4 1 xx +− g) y = x 3 (1 – x) 2 h) y = 1 2 + − x x k) y = 2 2 −x x l) y = x + x 1 m) y = 1 22 2 − +− x xx n ) y = 1 3 2 + − x xx p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; π ] 2. Tìm m để hàm số : a) y = x 3 – 2mx 2 + 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m 0≠ b) y = 1)13(2 3 23 −++− xmxx m có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 0;1 3 4 ≠<<− mm c) y = 1 2 2 − +− x mxx có cực đại và cực tiểu. ĐS : m < 3 d) y = x 4 – mx 2 + 2 có 3 cực trị. ĐS : m > 0 e) y = x 3 – 3mx 2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1 f) y = x 3 – mx 2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1 g) y = x 3 + (m + 1)x 2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2 h) y = mx mxx + ++ 1 2 đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3 k) y = 1 1 2 + −+− x mmxx đạt cực tiểu tại x = 1 Sö dông quy t¾c 1 ®Ó t×m cùc trÞ cña c¸c hµm sè sau : Bµi 1: Hµm bËc hai 1/ y = 2x 2 - 2x + 5 2/ y = - 3x 2 + 2x Bµi 2 : Hµm bËc ba 1/ y = 2x 3 - 9x 2 + 12x + 3 3/ y = 4x 3 + x - 1 2/ y = - x 3 + 3 2 x 2 + 6x - 3 4/ y = - 5x 3 + x 2 - 4x + 7 B à i 2 : Hàm số trùng phương 1/ y = - x 4 + 2x 2 3/ y = 2x 4 - x 2 + 5 2/ y = x 4 + x 2 - 3 4/ y = - 3x 4 - 2x 2 + 1 B à i 3 : Hàm bậc nhất / bậc nhất 1/ y = 3 5 1 x x − − 3/ y = 1 1x + Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng ! Trang 4 Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong 2/ y = 3 1 2 x x − − 4/ y = − 3 2 x x B à i 4 : Hàm bậc hai / bậc nhấ t 1/ y = 2 1x x − 4/ y = x+1 - 1 1x + 2/ y = + + + 2 2 1 1 x x x 5/ y = − + − 2 1 1 x x x 3/ y = − + + 2 2 3 1 x x x 6/ y = − + − 2 5 3 2 x x x Bµi 5 : Hµm sè v« tØ 1/ y = 6 2x− 8/ y = x + 2 9 x− 2/ y = 2 2x x− 9/ y = 2x - 1 - 3 5x − 3/ y = 1 x x + 10/ y = 1 + 2 10 2 8x x− − 4/ y = x + 1 - 2 4 x− 11/ y = 1 3 x x + 5/ y = 2 16 x x− 12/ y = 3 2 6 x x − 6/ y = x 2 2 2x + 13/ y = ( 3)x x − 7/ y = x- 6 2 3 x 14/ y = (7-x) 3 5x + Bµi 7 : C¸c hµm sè kh¸c 1/ y = 4 3 1 1 2 3 4 3 x x x− + − 8/ y = (x-1) 8 + 1000 2/ y = x 4 - 8x 3 + 22x 2 - 24x + 10 9/ y = 1 1 2x x − − 3/ y = 4 3 2 3 3 2 6 11 4 2 x x x x− + − + 10/ y = 2 3 1 x x + 4/ y = x 3 - 5 4 8 5 x + 11/ y = 2 2 8 24 4 x x x + − − 5/ y = 2 1 ( 5)x − 12/ y = 4 48x x + 6/ y = (x+2) 2 (x-3) 3 13/ y = 2 2 ( 4) 2 5 x x x − − + 7/ y = 2 2 8 24 4 x x x + − − 14/ y = x-3 + 9 2x − Sö dông quy t¾c 2 ®Ó t×m cùc trÞ cña c¸c hµm sè sau : Bµi 8 1/ y = 5 3 2 5 3 x x − + 1/ y = 4 3 1 1 2 3 4 3 x x x− + − Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng ! Trang 5 Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong 2/ y = 9x 7 - 7x 6 + 5 7 12 5 x + 2/ y = 5 3 4 2 3 3 2 1 5 4 3 2 x x x x x− + + − − 3/y = (x-2008) 9 + 2009 3/ y = 4 3 2 3 3 2 6 11 4 2 x x x x− + − + Bµi 9 : Hµm sè lîng gi¸c 1/ y = x + cox2x 6/ y = x - sin2x + 2 2/ y = sinx 7/ y = 3 - 2cosx - cos2x 3/ y = sinx - cosx 8/ y = 2sin2x - 3 4/ y = 2sinx + cos2x , x ∈[0; π] 9/ y = sinx + cosx , x ∈(- π ;π) 5/ y = cos 2 x 10/ y = sin 2 x - 3 cosx , x ∈ [0; π] 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. * Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. - Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu : MxfDxvàDxMxf =∈∃∈∀≤ )(:,)( 00 Kí hiệu : M = )(max xf D . - Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu : mxfDxvàDxmxf =∈∃∈∀≥ )(:,)( 00 Kí hiệu : m = )(min xf D * Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại )(min,)(max ];[ ];[ xfxf ba ba . * Cách tìm : 1. Tìm các điểm x 1 , x 2 , … , x n trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. 2. Tính f(a), f(x 1 ), ……., f(x n ), f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M = )(min),(max ];[ ];[ xfmxf ba ba = . BÀI TẬP Bài 1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số. a) y = x 3 – 3x 2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x 3 – 3x 2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4] c) y = x 4 – 2x 2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x 4 – 2x 2 + 1 trên đoạn [1 ; 4] e) y = x + x 1 trên khoảng (0 ; + )∞ f) y = x - x 1 trên nữa khoảng (0 ; 2] g) y = 1 1 − + x x trên đoạn [2 ; 5] h) y = 2 452 2 + ++ x xx trên đoạn [-3 ; 3]. k) y = x36 − trên đoạn [-1 ; 1] l) y = 2 100 x− trên doạn [-8 ; 6] m) y = (x + 2). 2 1 x− n) y = 1 1 2 + + x x trên doạn [1 ; 2] p) y = x + 2 4 x− q) y = xx −++ 63 r) y = xx sin42cos.2 + trên 2 ;0 π s) y = 2sinx - x 3 sin 3 4 trên ];0[ π u) y = sin 2 x + 2sinx – 1 t) y = cos 2 2x - sinxcosx + 4 o) y = sin 4 x + cos 2 x + 2 w) y = x – sin2x trên − π π ; 2 Bài 2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất. Bài 3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là 48cm 2 . Bài 4. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số. 1) y = x 4 – 2x 2 + 1 trên đọan [-1;2]. 2) y = 2 1 x− . Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng ! Trang 6 Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong 3) y = .lnx x trên đọan [ 1; e ]. 4) y = sin2x – x trên đọan ; 6 2 π π − . 5) y = x – lnx + 3. 6) 2 1x x y x + + = với 0>x 7) 4 2 8 16y x x= − + trên đoạn [ -1;3]. 8) y = 3 2 2 4 2 2x x x− + − + trên [ 1; 3]− 9) y = 3 2 2 4 2 1x x x− + + trên [ 2;3]− 10) 3 2 ( ) 3 9 3f x x x x= + − + trên đoạn [ ] 2;2− 11) 2 4 4 .y x= + − 12) 4 2 1 ( ) 2 4 f x x x= − + trên đoạn [-2 ;0] 13) y = (x – 6) 2 4x + trên đoạn [0 ; 3]. 14) y = x+ 2 1 x− 15) y = 2sin 2 x + 2sinx – 1 16) 2 9 7y x= − trên đoạn [-1;1]. 17) 3 2 2 3 12 10y x x x= − − + trên đoạn [-3;3]. 18) 5 4y x= − trên đoạn [-1;1]. 19) 1 x y x − = trên đoạn [-2;-1]. 20) 3 2 1 2 3 4 3 y x x x= + + − trên đoạn [-4;0]. 21) 1 y x x = + trên khoảng ( 0 ; +∞ ). 22) 3 2 8 16 9y x x x= − + − trên đoạn [1;3]. 23) 4 2 3 2 2 x y x= − − + trên đoạn 1 2 ; 2 3 − 24) 2 3 6 1 x x y x − + = − trên khoảng (1 ; +∞ ). 25) 3 3 1y x x= − + trên đoạn [0;2]. 26) 3 2 3 9 35y x x x= − − + trên đoạn [-4;4]. 27) 3 2 2 3 1y x x= + − trên đoạn 1 2; 2 − − 28) 3 2 3 7 1y x x x= − − + trên đoạn [0;3]. 29) 3 2 3 9y x x x= + − trên đoạn [-2;2]. 30) 2 2 5 4 2 x x y x + + = + trên đoạn [0;1]. 31) 1 1 5 y x x = + + − (x > 5 ) 32) 2 3 1 x y x = − trên đoạn 1 1; 2 − − 33) 2 1 1 3 x y x + = − trên đoạn [-1;0]. 34) 3 2 3 4y x x= − − trên đoạn 1 1; 2 − 35) 2 4y x= − 36) 1 1 y x x = + − trên khoảng (1; )+∞ . 37) 3 3 3y x x= − + trên đoạn 3 3; 2 − Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng ! Trang 7 4. NG TIM CN CA TH HM S. a) Tim cn ng. Nu +=+= + )(lim;)(lim 00 xfxf xxxx hoc == + )(lim;)(lim 00 xfxf xxxx thỡ ng thng x = x 0 l tim cn ng ca (C). b) Tim cn ngang. Nu 0 )(lim yxf x = + hoc 0 )(lim yxf x = thỡ ng thng y = y 0 l tim cn ngang ca (C). BI TP. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau : Bài 1 : 1/ y = 3 1 x x + 2/ y = 1 2x x 3/ y = 2 3 1 x x + 4/y = 2- 1 2x 5/ y = 3 5 2x 6/ y = 2 3 1 x x 7/ y = 2 2 1 2 2 5 x x x x + + 8/ y = 2 3 2 1 x x x + + 9/ y = x+2- 1 3x 10/ y = 3 1 x x 11/ y = 2 2 1 3 x x x + 12/ y = 3 2 2 2 x x x + 13/ y = 2 2 2 ( 1) x x x + 14/ y = 3 3 2 ( 1) x x x + + 15/ y = 2 2 1 x x x + Bài 2 1/ y = 2 1 1x 2/ y = 2 1 3 x x + 3/ y = 2 1 2 x x + 4/ y = 2 2 3x x x+ + 5/ y = 4x + 2 2 1x x + 6/ y = 2 2 1 4 x x + 7/ y = 3 1 x x + + 8/ y = x + 2 x 9/ y = 2 2 x x + 5. KHO ST V V TH HM S. I / Hm s y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a 0) . 1) Tp xỏc nh : +/ D = R . 2) S bin thiờn : +/ Chiu bin thiờn : y = 3ax 2 + 2bx + c . y = 0 <=> x i = ? ; f(x i ) = ? . +/ Hm s ng bin . Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., y CT = …. Hàm số đạt cực Đại tại x = …., y CĐ = …. + / Giới hạn ở Vô cực : = −∞→ y x lim ? ; = +∞→ y x lim ? . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? ? + ∞ y’ ? ? ? y ? ? ? 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d . • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : … +) Đồ thị II / Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : + / Giới hạn ở Vô cực : = −∞→ y x lim ? ; = +∞→ y x lim ? . +/ Chiều biến thiên : • y’ = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b ) . • y’ = 0 <=> = = = ⇒ = = = )( )( )0( ? ? 0 xf xf cf x x x . +/ Hàm số đồng biến . Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., y CT = …. Hàm số đạt cực đại tại x = …., y CĐ = …. +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? ? + ∞ y’ ? ? ? y ? ? ? 3) Đồ thị : • Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng. • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác … Đồ thị : y III / Hàm số : dcx bax y + + = 1) Tập xác định : +/ D = R /{ - c d . } 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = 2 )( dcx bcad + − . • y’ > 0 ( y < 0 ) , ∈∀x D +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (… ) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị . + / Tiệm cận và Giới hạn : = −∞→ y x lim c a và = +∞→ y x lim c a => tiệm cận ngang : y = c a . = − → y c a x lim ? Và = + → y c a x lim ? => tiệm cận đứng : x = c d − . +/ Bảng biến thiên : x - ∞ ? ? + ∞ y’ ? ? y ? ? 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d b . Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = a b− , Đồ thị nhận giao điểm I( c d − ; c a ) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng BÀI TẬP Bài 1 : Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau : 1/ y = x 3 + 3x 2 2/ y = x 3 - 3x 2 + 4 3/ y = (x-1)(x 2 -2x-2) 4/ y = -x 3 + 9x 5/ y = (x+1) 2 (x-2) 6/ y = 1 3 x 3 - x + 2 3 7/ y = x(3-x) 2 8/ y = - x 3 - 2x + 3 9/ y = x 3 + 3x 2 - 4 10/ y = -x 3 +3x 2 -4x+2 11/ y = x 3 - 3x 2 + 3x + 1 12/ y = 2 + 3x - x 3 [...]... - §å thÞ hµm sè y = g(m) lµ ®êng th¼ng song song víi trơc hoµnh vµ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é y0 = g(m) - Trong ph¬ng tr×nh : f(x) = g(m) th× y = f(x) lµ hµm sè ®· cho ban ®Çu - NÕu bµi to¸n kh«ng b¾t vÏ ®å thÞ th× ta cã thĨ sư dơng b¶ng biÕn thiªn ®Ĩ gi¶i bµi to¸n nµy - Sư dơng ph¬ng ph¸p nµy trong trêng hỵp tham sè m ®éc lËp ®ỵc vỊ mét vÕ , cßn trong trêng hỵp ph¶i t×m nghiƯm cơ thĨ hay... k= 4 5 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : y = 3 x + 2010 Bài 3 Cho hàm số y = 4x 3 − 3x − 1 (C) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương trình : 3 x3 − x + m = 0 4 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 15 ( d1 ) : y = − x + 2010 9 4 Viết phương... uốn của (C) (Là điểm có hồnh độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0) b) Tại điểm có tung độ bằng -1 c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5 d) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0 x−2 2 Cho (C) : y = Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x+2 a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5 c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x d) Tại giao điểm của hai tiệm... điểm của (C) với trục tung 8 (TNTHPT – 2008) Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 a Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè b BiƯm ln theo m sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m 9 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho b T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh x 3 − 3x 2 − m = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt 10 (TNTHPT - 2007)Cho hàm số y=... tại điểm A(2 ;4) 11 (TNTHPT - 2006) Cho hàm số y= − x 3 + 3 x 2 có đồ thị (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : − x 3 + 3 x 2 -m=0 12 (TNTHPT – 2004- PB)Cho hàm số y= x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị là (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cã hoµnh ®é lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh y’’=0 13 (TNTHPT – 2004 - KPB)Cho... hàm số y = x − 2 x (C) 4 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Tìm m để phương trình − x 4 + 8 x 2 = m có 4 nghiệm thực phân biệt 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d1 ) : y = 15 x + 2010 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường 8 thẳng ( d 2 ) : y = − x + 2010 45 5 Viết phương trình parabol đi qua... ÁN Vậy ∀m ≠ 1 thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 9 x +1 (C) x −1 1 Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số Bài 2 Cho hàm số y = 1 2 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường 9 thẳng ( d1 ) : y = − x + 2010 2 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vng góc 1 với đường thẳng ( d 2 ) : y = x − 1 8 1 5 Tìm m để đường thẳng ( d 3 ) : y... cắt đồ thị (C) tại 2 điểm 3 phân biệt có hồnh độ dương 3x + 1 Bài 4 Cho hàm số y = (C) 1− x 1 Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất 3 Tìm m để đường thẳng ( d1 ) : y = mx − 2m − 7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB 4 Viết phương... thị (C) có toạ độ với hồnh độ và tung độ đều là số ngun 3− x Bài 6 Cho hàm số y = (C) 2x −1 1 Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai 6 3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M −3; ÷ và tiếp xúc với đồ 5 thị (C) 4 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hồnh độ và tung... góc của tiếp tuyến là k: B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : f ′( x 0 ) =k (*) B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒ f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0).a=-1 5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) :(NC) B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1;y1) . sè m . • Chó ý - §å thÞ hµm sè y = g(m) lµ ®êng th¼ng song song víi trơc hoµnh vµ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é y 0 = g(m) . - Trong ph¬ng tr×nh : f(x) = g(m) th× y = f(x) lµ hµm sè ®·. − π π ; 2 Bài 2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất. Bài 3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ. f(x n ), f(b). 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M = )(min),(max ];[ ];[ xfmxf ba ba = . BÀI TẬP Bài 1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số. a) y = x 3 – 3x 2