TRÌNH BÀY VẤN ĐỀ TÍNH PHẦN TỬ NGHỊCH ĐẢO CÁC SỐ LỚN THEO MODULO

TRÌNH BÀY VẤN ĐỀ TÍNH PHẦN TỬ NGHỊCH ĐẢO CÁC SỐ LỚN THEO MODULO 1 Phần tử nghịch đảo 1.1 Vành 1.2 Định nghĩa Phần tử nghịch đảo 2 Thuật toán Euclide mở rộng 2.1 Cơ sở lý thuyết của giải thuật 2.2 Giải thuật 2.3 Kết quả chương trình

Mục lục 1 1 Phần tử nghịch đảo 1.1 Vành Trong lý thuyết số, vành được định nghĩa là vành thương của với quan hệ đồng dư theo modulo m (là quan hệ tương đương) mà các phần tử của nó là các lớp đồng dư theo modulo m (m là số nguyên dương lớn hơn 1). Ta cũng có thể xét chỉ với các đại diện của nó. Khi đó Phép cộng và nhân trong là phép toán thông thường được rút gọn theo modulo m: Trong lý thuyết số đã chứng minh rằng, số a là khả nghịch theo modulo m khi và chỉ khi ƯCLN của a và m bằng 1. Đẳng thức này lại chỉ ra y là nghịch đảo của a theo modulo m. Do đó có thể tìm được phần tử nghịch đảo của a theo modulo m nhờ thuật toán Euclid mở rộng khi chia m cho a. 1.2 Định nghĩa Phần tử nghịch đảo Định nghĩa: Phần tử a của được gọi là khả nghịch trong hay khả nghịch theo modulo m nếu tồn tại phần tử a' trong sao cho a*a'=1 trong hay . Khi đó a' được gọi là nghịch đảo modulo m của a. Tính chất: • Cho a, b ∈ Z n . Phép chia a cho b theo modulo n là tích của a và b theo modulo n, và chỉ được xác định khi b có nghịch đảo theo modulo n. • Cho a ∈ Z n , a là khả nghịch khi và chỉ khi gcd (a, n) = 1. 2 • Giả sử d = gcd (a, n). Phương trình đồng dư ax = b mod n có nghiệm x nếu và chỉ nếu d chia hết cho b, trong trường hợp các nghiệm d nằm trong khoảng 0 đến n – 1 thì các nghiệm đồng dư theo modulo n/d. Định lý: Cho số nguyên a > 0 nguyên tố cùng nhau với n, thì luôn tồn tại phần tử nghịch đảo của a theo modulo n. Chứng minh: Hãy xét tập hợp { } 1 ,,2,1 − n . Nhân từng phần tử của tập hợp với a theo modulo n, nhận được tập hợp { } )mod)1(( ,),mod2(),mod( nannana − , tập này sẽ bao gồm các số 1, 2,…, n– 1, có nghĩa đối với một số giá trị i nào đó sẽ thỏa mãn điều kiện 1mod = nia . Điều này dẫn đến một mâu thuẫn nếu như tồn tại hai giá trị h và k thỏa mãn điều kiện trên, nghĩa là nkanha modmod = . Điều này dẫn đến nkh mod ≡ , vì gcd(a, n) = 1, suy ra h = k. Vậy ta tìm được i là phần tử nghịch đảo của a và i là duy nhất. Hệ quả: Nếu như p là số nguyên tố, thì bất kỳ số a, sao cho 0 < a < p, luôn tồn tại phần tử nghịch đảo theo modulo p. 2 Thuật toán Euclide mở rộng Giải thuật Euclid mở rộng sử dụng để giải phương trình vô định nguyên (còn được gọi là phương trình Đi-ô-phăng) a*x+b*y=c, trong đó a, b, c là các hệ số nguyên, x, y là các ẩn nhận giá trị nguyên. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm (nguyên) là UCLN(a, b) là ước của c. Khẳng định này dựa trên một mệnh đề sau: Trong số học đã biết rằng nếu d=UCLN(a, b) thì tồn tại các số nguyên x, y sao cho 3 a'*x+b*y = d 2.1 Cơ sở lý thuyết của giải thuật Giải thuật Euclide mở rộng kết hợp quá trình tìm ƯCLN(a, b) trong thuật toán Eclid với việc tìm một cặp số x, y thoả mãn phương trình Đi-ô-phăng. Giả sử cho hai số tự nhiên a, b, ngoài ra a>b>0. Đặt , chia cho được số dư và thương số nguyên . Nếu thì dừng, nếu khác không, chia cho được số dư , Vì dãy các là giảm thực sự nên sau hữu hạn bước ta được số dư . ; ; ; trong đó số dư cuối cùng khác 0 là . Bài toán đặt ra là tìm x, y sao cho Để làm điều này, ta tìm x, y theo công thức truy hồi, nghĩa là sẽ tìm và sao cho: với . Ta có và , nghĩa là và . (1) Tổng quát, giả sử có với . với . Khi đó từ 4 suy ra từ đó, có thể chọn (2) (3) Khi ta có được và . Các công thức (1), (2), (3) là công thức truy hồi để tính x, y. Khi d=1 ta có y là nghịch đảo của b theo modulo a. Do đó có thể tìm được phần tử nghịch đảo của b theo modulo a nhờ thuật toán Euclid mở rộng khi chia a cho b. 2.2 Giải thuật Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên a>b>0, biểu diễn bằng giả mã: Sub Euclid_Extended(a,b) Dim y,y1 As Single y0=0 : y1=1 While b>0 r= a mod b if r=0 then Exit While q= a / b y= y0-y1*q a=b b=r y0=y1 y1=y Wend Me.Print d:=b, y code End Sub Ví dụ 2.18 (Thuật toán Euclide mở rộng): Tìm số nghịch đảo (nếu có) của 30 theo môđun 101 5 Bư ớc i a b r q y0 y1 y 0 10 1 30 11 3 0 1 -3 1 30 11 8 2 1 -3 7 2 11 8 3 1 -3 7 -10 3 8 3 2 2 7 -10 27 4 3 2 1 1 -10 27 -37 5 2 1 0 . . . . Kết quả tính toán trong bảng cho ta . Lấy số đối của theo mođun được . Vậy . 2.3 Kết quả chương trình Chương trình được viết bằng ngôn ngữ C++. Dưới đây là kết quả đầu ra khi chạy chương trình. Hình 1 : b không khả nghịch theo modulo a 6 Hình 2: b khả nghịch theo modulo a 7 Tài liệu tham khảo 1. Wikipedia http://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BA%A3i_thu%E1%BA %ADt_Euclid_m%E1%BB%9F_r%E1%BB%99ng 8 [...]... SGK Tính số phần tử của các tập hợp trình bày sau: D = {21; 23; 25; ; 99} E = {32; 34; 36; ; 96} + GV yêu cầu HS làm bài theo nhóm Yêu cầu của nhóm: - Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có: (b - a): 2 + 1 (phần tử) - Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có: (n - m): 2+ 1 (phần tử) - Tập hợp: D = {21; 23; 25; ; 99} - Nêu công thức tổng quát tính số phần tử của tập hợp các số chẵn từ số. .. Số trăm Chữ số hng trăm - HS đọc phần chú ý SGK Số chục Chữ số hng chục Các chữ số 3895 Hãy cho biết các chữ số của số 3895? - Chữ số hàng chục? - Chữ số hàng trăm? + GV giới thiệu số trăm, số chục HS trả lời: - Các chữ số 3, 8, 9, 5 - Chữ số hàng chục: 9 - Chữ số hàng trăm: 8 Số đã cho Số trăm Chữ số hng trăm Số chục Chữ số hng chục Các chữ số 3895 38 8 389 9 3, 8, 9, 5 Củng cố bài tập 11 trang 10 SGK... chữ số trên ta ghi đợc mọi số tự nhiên GV hỏi: - Mỗi số tự nhiên có thể có bao nhiêu chữ số? Hãy lấy ví dụ : HS trả lời: Mỗi số tự nhiên có thể có 1; 2; 3 chữ số Ví dụ: Số 5 Số 11 - có 1 chữ số - có 2 chữ số Số 212 - có 3 chữ số Số 5145 - có 4 chữ số 13 + GV nêu chú ý phần a SGK Ví dụ: 15 712 314 + GV nêu chú ý b SGK, rồi đa lên bảng kẻ sau Số đã cho Số trăm Chữ số hng trăm - HS đọc phần chú ý SGK Số. .. hợp B có hai phần tử N = {0; 1; 2; 3; } Tập hợp C có 100 phần tử Hãy cho biết mỗi tập hợp trên có bao nhiêu phần tử + GV yêu cầu HS làm bài tập ?1 Tập hợp N có vô số phần tử HS: Tập hợp D có một phần tử Tập hợp E có hai phần tử H = {0; 1; 2 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Tập hợp H có 11 phần tử + GV yêu cầu HS làm ?2 Tìm số tự nhiên x mà x + 5 = 2 + GV giới thiệu: Nếu gọi tập hợp A là tập hợp các số tự nhiên.. .Số 4 có mấy số liền sau? - Lấy hai ví dụ về số tự nhiên rồi chỉ ra số liền sau của mỗi số? - Số 4 có 1 số liền sau HS lấy ví dụ + GV giới thiệu: Mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất + GV hỏi tiếp: Số liền trớc số 5 - Số liền trớc số 5 là số 4 là số nào? + GV giới thiệu: 4 và 5 là hai số tự nhiên liên tiếp + GV: Hai số tự nhiên liên tiếp - Hai số tự nhiên liên tiếp hơn... đến số chẵn b (a < b) - Các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có (99-21): 2 + 1 = 40 (phần tử) (m < n) E = {32; 34; 36; ; 96} - Tính số phần tử của tập hợp D; E + GV gọi một đại diện nhóm lên trình bày có (96 -32): 2 + 1 = 33 (phần tử) HS nhận xét bài làm của nhóm - Gọi HS nhận xét - Kiểm tra bài của các nhóm còn lại Dạng 2: Viết tập hợp - Viết một số tập hợp con của tập hợp cho trớc + GV yêu cầu HS đọc đề. .. 13 phần tử + GV gợi ý: A là tập hợp các số tự nhiên từ 8 đến 20 + GV hớng dẫn cách tìm số phần tử của tập hợp A nh SGK Công thức tổng quát trong SGK Gọi một HS lên bảng tìm số phần tử của tập hợp B: B = {10 ; 11; 12; .; 99} 22 HS làm bài tập A = {8 ; 9; 10; ; 20} HS ghi nhớ công thức tổng quát: Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b - a +1 phần tử B = {10 ; 11; 12; .; 99} Có 99-10+1 = 90 phần tử. .. + d trị các chữ số HS 2: Làm bài tập số 21 SBT HS 2: Chữa bài 21 SBT Hỏi thêm: Hãy cho biết mỗi tập a) A = {16; 27; 38; 49} có bốn phần tử hợp viết đợc có bao nhiêu phần tử b) B = {41; 82} có hai phần tử c) C = {59; 68} có hai phần tử Hoạt động 2: Số phần tử của một tập hợp (8 ph) 17 + GV nêu ví dụ về tập hợp nh SGK: Cho các tập hợp A = {5}; B = {x, y} Gọi HS trả lời: Tập hợp A có một phần tử C = {1;... Củng cố: Bài tập ? SGK - HS: 28 ; 29 ; 30 99 ; 100 ; 101 + GV: Trong các số tự nhiên, số HS: Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất nào nhỏ nhất? Có số tự nhiên - Không có số tự nhiên lớn nhất vì lớn nhất hay không? Vì sao? bất cứ số tự nhiên nào cũng có số tự nhiên liền sau lớn hơn nó + GV nhấn mạnh: Tập hợp số tự nhiên có vô số phần tử HS đọc phần d, e SGK và ghi vở Hoạt động 4: Luyện tập củng cố (10 ph) Cho... hợp A có 21 phần tử b) B = ; B không có phần tử 18 nào Hoạt động 3: Tập hợp con (15 ph) + GV: Cho hình vẽ sau (dùng phấn màu viết hai phần tử x, y): F E x c d y Hãy viết các tập hợp E, F? HS lên bảng viết hai tập hợp E, F: E = {x, y} F = {x, y, c, d} Nêu nhận xét về các phần tử của Nhận xét: Mọi phần tử của tập tập hợp E và F? hợp E đều thuộc tập hợp F + GV: Mọi phần tử của tập hợp E đều thuộc tập . rộng): Tìm số nghịch đảo (nếu có) của 30 theo môđun 10 1 5 Bư ớc i a b r q y0 y1 y 0 10 1 30 11 3 0 1 -3 1 30 11 8 2 1 -3 7 2 11 8 3 1 -3 7 -10 3 8 3 2 2 7 -10 27 4 3 2 1 1 -10 27 -37 5 2 1 0 . trình. Hình 1 : b không khả nghịch theo modulo a 6 Hình 2: b khả nghịch theo modulo a 7 Tài liệu tham khảo 1. Wikipedia http://vi.wikipedia.org/wiki/Gi%E1%BA%A3i_thu%E1%BA %ADt_Euclid_m%E1%BB%9F_r%E1%BB%99ng 8 . } 1 ,,2 ,1 − n . Nhân từng phần tử của tập hợp với a theo modulo n, nhận được tập hợp { } )mod )1( ( ,),mod2(),mod( nannana − , tập này sẽ bao gồm các số 1, 2,…, n– 1, có nghĩa đối với một số