NHĐ 16 Chương I 1. Đònh nghóa: Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D R). a) 0 0 ( ) , max ( ) : ( ) D f x M x D M f x x D f x M b) 0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m 2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f b f x f a . b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b . VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN THIÊN Bài toán 1 : Phương pháp khảo sát trực tiếp : Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng. Tìm miền xác đònh D Tính f(x), giải phương trình f(x) = 0 Xét dấu f(x) và lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. Tính f (x). Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có). Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ). So sánh các giá trò vừa tính và kết luận. 1 2 [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x (lấy số lớn nhất) 1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x (lấy số nhỏ nhất) Bài toán 2 : Phương pháp khảo sát gián tiếp : Bước 1 : Biến đổi hàm số ban đầu về dạng mới để xác đònh ẩn phụ : y F x Bước 2 : Đặt t x . Điều kiện của ẩn t là D t . y F t Bước 3 : Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y F t trên D t III. GIÁ TR Ị LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT C ỦA HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHĐ 17 Bài 35. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 2 4 3 y x x b) 3 4 4 3 y x x c) 4 2 2 2 y x x d) 2 2 y x x e) 2 1 2 2 x y x x f) 2 2 2 4 5 1 x x y x g) 2 1 ( 0) y x x x h) 2 2 1 1 x x y x x i) 4 2 3 1 ( 0) x x y x x x Bài 36. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 3 2 2 3 12 1 y x x x trên [–1; 5] b) 3 3 y x x trên [–2; 3] c) 4 2 2 3 y x x trên [–3; 2] d) 4 2 2 5 y x x trên [–2; 2] e) 3 1 3 x y x trên [0; 2] f) 1 1 x y x trên [0; 4] g) 2 4 7 7 2 x x y x trên [0; 2] h) 2 2 1 1 x x y x x trên [0; 1] i) 2 100 y x trên [–6; 8] k) sin2 , , 2 y x x x Bài 37. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) cos2 2sin 1 y x x b) 2 2sin cos 1 y x x c) 2 1 cos cos 1 y x x d) 2sin 1 sin 2 x y x e) 3 3 sin cos y x x f) 2 4 2 1 1 x y x x g) 2 2 4 2 5 2 3 y x x x x h) 2 2 4 4 3 y x x x x VẤN ĐỀ 2: DÙNG BẤT ĐẢNG THỨC TÌM GTLN, GTNN Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số. Chứng minh một bất đẳng thức. Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức. Bài 38. Giả sử ( ; ; ) / 0, 0, 0, 1 D x y z x y z x y z . Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 x y z P x y z . HD: 1 1 1 3 1 1 1 P x y z Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 9 1 1 1 x y z x y z P 3 4 . Dấu “=” xảy ra x = y = z = 1 3 . Vậy 3 min 4 D P . Bài 39. Cho D = 5 ( ; )/ 0, 0, 4 x y x y x y . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 4 S x y . NHĐ 18 HD: 1 1 1 1 1 4 25 4 x x x x y x x x x y 4 1 4( ) 25 4 x y x y S 5. Dấu “=” xảy ra x = 1, y = 1 4 . Vậy minS = 5. Bài 40. Cho D = ( ; )/ 0, 0, 1 x y x y x y . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 1 x y P x y x y x y . HD: 2 2 1 (1 ) (1 ) 2 1 1 x y P x y x y x y = 1 1 1 2 1 1x y x y . Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 1 1 1 (1 ) (1 ) ( ) 9 1 1 x y x y x y x y 1 1 1 9 1 1 2 x y x y P 5 2 . Dấu “=” xảy ra x = y = 1 3 . Vậy minP = 5 2 . Bài 41. Cho D = ( ; )/ 0, 0, 4 x y x y x y . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 3 4 2 4 x y P x y . HD: 2 1 1 2 4 8 8 2 x y y x y P x y (1) Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 1 2 . 1 4 4 x x x x (2) 3 2 2 1 1 3 3 . . 8 8 8 8 4 y y y y y y (3) P 9 2 . Dấu “=” xảy ra x = y = 2. Vậy minP = 9 2 . VẤN ĐỀ 3: DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ TÌM GTLN, GTNN Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước. Gọi y 0 là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: 0 ( ) (1) (2) f x y x D Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m y 0 M (3) Vì y 0 là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được: min ( ) ; max ( ) D D f x m f x M Bài 42. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 2 2 1 1 x x y x x b) 2 2 2 7 23 2 10 x x y x x c) 2sin cos 1 sin 2cos 3 x x y x x NHĐ 19 d) 2sin cos 3 2cos sin 4 x x y x x VẤN ĐỀ 4: DÙNG GTLN, GTNN GIẢI PT, HỆ PT, BẤT PT Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( ) D D f x m f x M . 1) Hệ phương trình ( )f x x D có nghiệm m M. 2) Hệ bất phương trình ( )f x x D có nghiệm M . 3) Hệ bất phương trình ( )f x x D có nghiệm m . 4) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x m . 5) Bất phương trình f(x) đúng với mọi x M . Bài 43. Giải các phương trình sau: a) 4 4 2 4 2 x x b) 3 5 6 2 x x x c) 5 5 1 (1 ) 16 x x Bài 44. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) 2 2 1 x x m b) 2 2 (2 )(2 ) x x x x m c) 3 6 (3 )(6 ) x x x x m d) 7 2 (7 )(2 ) x x x x m Bài 45. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x R: a) 2 2 1 x x m b) 2 2 9 m x x m c) 4 4 0 mx x m Bài 46. Cho bất phương trình: 3 2 2 1 0 x x x m . a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]. b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]. Bài 47. Tìm m để các bất phương trình sau: a) 3 1 mx x m có nghiệm. b) ( 2) 1 m x m x có nghiệm x [0; 2]. c) 2 2 ( 1) 1 m x x x x nghiệm đúng với mọi x [0; 1]. . b) 0 0 ( ) , min ( ) : ( ) D f x m x D m f x x D f x m 2. Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f. ), ( ), ( ), , ( ) n a b M f x f a f b f x f x f x (lấy số lớn nhất) 1 2 [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( ) n a b m f x f a f b f x f x f x (lấy số nhỏ nhất) Bài toán. b f x f b f x f a . b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b a b f x f a f x f b . VẤN ĐỀ 1: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG BẢNG BIẾN