Đáp án toán chuyen

S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG HNG DN GII  THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2010-2011 Câu 1. (1 im) Cho hàm s + = + −        . Tìm các giá tr ca m  hàm s ã cho là hàm s bc nht ng bin trên  . Gii +) Hàm s ã cho là hàm s bc nht và ng bin trên + ⇔ > −                      ≥ ≥   ≥    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >    > − > >      . +) KL: Vi   > thì hàm s ã cho là hàm s bc nht ng bin trên  . Câu 2. (1 im) Gii h phng trình  + = +   = −              Gii +) Ta có h − + − − = − + − =  − − − =    ⇔ ⇔ ⇔    = − = − = −                                                    − =   − =   = −     + − = ⇔ ⇔    + − =    = −    = −                                  +) Gii h (*): Ta có h (*) = = =    ⇔ ⇔ ⇔    = − − − = + − − =                                                                =      = = −   = = −     −    + = ⇔ ⇔ ⇔ = =  −     =      − − =     +  = = +    =      +) Gii h (**): Ta có h (**) = − = − = −    ⇔ ⇔ ⇔    = − − = − + − =                              = −  = − = − =     = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      = + − = − + + =      + + =                                         +) KL: H phng trình có 4 nghim là:     − − + + − −                                Câu 3. (1 im) Cho phng trình − + =       . Tìm giá tr m, bit rng phng trình có hai nghim      tho mãn iu kin − =      . Gii Cách 1 +) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤            . +) Kt hp gi thit và nh lí Viét ta có h: − = =     + = ⇔ =  =     = =                                 , (nhn). +) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán. Cách 2 +) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤            . +) Theo gi thit − =  >  = + − = − −                      Do ó ( ) − = ⇔ + − − − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =                      , (nhn). +) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán. Cách 3 +) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤            . +) Theo gi thit − =  >          . Do ó ( ) − = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ + − =                                     ⇔ − = ⇔ = ⇔ =          , (nhn). +) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán. Câu 4. (1 im) Gii phng trình − + − = −               . Gii +) K: x R ∈ +) Ta có ⇔ − + + − = − ⇔ − + + − =                              =   ⇔ − − − + = ⇔ − − − = ⇔ − + − = ⇔ = −   =                                        +) KL: Phng trình ã cho có tp nghim là: { } = −    . Câu 5. (1 im) Cho ba s      vi > >    . Chng minh rng: − + > − +             . Cách 1 BT ⇔ − + > − + − + ⇔ − + − − − − ⇔ − − >                                             , (luôn úng). Cách 2 BT ⇔ − + > + + − − + ⇔ + − − >                             ⇔ + − − > ⇔ − − − > ⇔ − − − > ⇔ − − >                                    , (luôn úng). Câu 6. (3 im) Cho t giác ABCD ni tip  ng tròn  ng kính AD. Hai  ng chéo AC và BD c!t nhau t"i E. K# EF vuông góc vi AD. G$i M là trung im ca DE. Chng minh rng: a) Các t giác ABEF, DCEF ni tip %c. b) Tia CA là tia phân giác ca góc    . c) Bn im B, C, M, F cùng thuc mt  ng tròn. Gii a) Các t giác ABEF, DCEF ni tip %c. +) Ta có  0 90 ABE = (góc ni tip chn na ng tròn), mt khác  0 90 EFA = , (gt). Do ó ABEF là t giác ni tip. +) Ta có  0 90 DCE = (góc ni tip chn na ng tròn), mt khác  0 90 EFD = , (gt). Do ó DCEF là t giác ni tip. b) Tia CA là tia phân giác ca góc    . +) Theo câu (a) t giác DCEF ni tip    = ECF EDF , (cùng chn cung EF), (1). +) Mt khác trong ng tròn ng kính AD ta có   BCA EDF = , (cùng chn cung AB), (2). T (1) và (2)   ECF BCE CA =  là tia phân giác ca góc    . c) Bn im B, C, M, F cùng thuc mt  ng tròn. Chú ý: Khi M là trung im ca ED ta có M chính là tâm ca ng tròn ngoi tip ca t giác DCEF, do ó ta có ME = MD = MF = MC. Vn dng kt qu này ta có mt s li gii (vn tt) sau: Cách 1 +) Ta có     BFA BEA CEM MCE = = = và    = = MFD MDF BCA . +) Xét t giác BCMF có:      ( )    0 180 + = + + = + + =  BFM BCM BFM BCE ECM BFM MFD BFA pcm. Cách 2 +) Ta có       2 BFC BFE CFE BAC BDC BDC = + = + = , (1). +) Mt khác ta có     2 BMC MCD MDC MDC = + = , (2). T (1) và (2)   BFC BMC  =  BCMF ni tip, (pcm). Cách 3 +) Ta có     2 FMB MFD MDF MDF = + = , (1). +) Mt khác ta có      2 2 = + = = BCF BCA ACF BCA BDF , (2). T (1) và (2)   BMF BCF  =  BCMF ni tip, (pcm). Câu 7. (1 im) Xác nh các s nguyên a, b sao cho  ng th&ng = +    i qua im   , c!t tr'c tung t"i im có tung  là mt s nguyên dng, c!t tr'c hoành t"i mt im có hoành  là mt s nguyên dng. Gii +) ng thng    = + ct trc hoành ti im có hoành  bng b a − , ct trc tung ti im có tung  bng b. Theo gi thit ta có * * * * b N k N a b k N b ka N a  ∈  ∈   ⇔    − = ∈ = − ∈    là s nguyên âm. +) ng thng qua  + = ⇔ − = ⇔ − =                . Vì a là s nguyên âm, k là s nguyên dng nên ta có:    = − = − = −          − = − = =       − = ⇔ ⇔     = − = − = −          − = − = =                                         +) KL: Có hai ng thng tho mãn bài toán là 3 15 y x = − + và 7 y x = − + . Câu 8. (1 im) N(m h$c 2009 – 2010 tr ng trung h$c ph) thông chuyên Quang Trung, t*nh Bình Phc có s h$c sinh gi+i Quc gia là mt s t, nhiên có hai ch- s. D,a vào các thông tin sau, hãy tìm s h$c sinh gi+i trong n(m h$c trên ca nhà tr ng. Bit s t, nhiên này có ch- s hàng n v ln hn ch- s hàng ch'c. Nu vit s t, nhiên ó theo th t, ng%c l"i ta %c mt s t, nhiên mi có hai ch- s; s này là s nguyên t và nu em s này cng vi s ban .u thì %c kt qu là mt s chính phng. Gii +) Gi s cn tìm là ab vi b a > , {1;2;3;4;5;6;7;8}, {2;3;4;5;6;7;8;9} a b ∈ ∈ . +) Theo gi thit ta có:  + =            , vi ∈    +) Ta có + = ⇔ + + + = ⇔ + =                     . Vi iu kin ca a, b  a + b = 11. Vì b > a nên ch có các cp (a; b) sau tho mãn (2; 9), (3; 8); (4; 7), (5; 6). Vì    nên ch còn cp s (3; 8) tho mãn bài toán. +) Kt lun: N m hc 2009 – 2010 trng trung hc ph! thông chuyên Quang Trung, tnh Bình Phccó 38 hc sinh gi"i quc gia. Ht GV: Ph"m V(n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung . TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG HNG DN GII  THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2010-2011 Câu 1. (1 im) Cho hàm s + = + −                , (nhn). +) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán. Cách 2 +) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤            . +) Theo gi.         , (nhn). +) KL: Vi m = 5 thì phng trình có nghim tho mãn iu kin bài toán. Cách 3 +) Phng trình có hai nghim ⇔ ∆ = − ≥ ⇔ ≤            . +) Theo gi