chương 12 np đầy đủ

13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 1 NP-Ñaày Ñuû 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 2 Vài khái niệm cơ bản ª Βαι τοαν – các tham số – các tính chất mà lời giải cần phải thỏa mãn ª Μοτ τηχ τηε∑ (ινστανχε) χυα βαι τοαν λα βαι τοαν µα χαχ τηαµ σο〈 χο τρ∫ χυ τηε∑. 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 3 Hình thức hóa khái niệm bài toán ª ς δυ: βαι τοαν ΣΗΟΡΤΕΣΤ−ΠΑΤΗ λα – “không hình thức”: bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh cho trước trong một đồ thò vô hướng, không có trọng số G = (V, E). – “hình thức”: ° Một thực thể của bài toán là một cặp ba gồm một đồ thò cụ thể và hai đỉnh cụ thể. ° Một lời giải là một dãy các đỉnh của đồ thò . ° Bài toán SHORTEST-PATH là quan hệ kết hợp mỗi thực thể gồm một đồ thò và hai đỉnh với một đường đi ngắn nhất (nếu có) trong đồ thò nối hai đỉnh: SHORTEST-PATH ⊆ I × S 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 4 Baứi toaựn trửứu tửụùng ê : à à à , () , à , : Q I ì S 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 5 Bài toán quyết đònh ª Μοτ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη Θ λα µοτ βαι τοαν τρυ τνγ µα θυαν ηε νη∫ πηαν Θ λα µοτ ηαµ τ Ι 〉ε〈ν Σ = {0, 1}, 0 τνγ νγ ϖι νο , 1 τνγ νγ ϖι ψεσ .“ ” “ ” ª ς δυ: βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη ΠΑΤΗ λα Χηο µοτ 〉ο◊ τη∫ Γ = ( ς , Ε ), ηαι 〉νη υ , ϖ ∈ ς , ϖα µοτ σο〈 νγυψεν δνγ κ . ∇ατ ι = 〈 Γ , υ , ϖ , κ 〉, µοτ τηχ τηε∑ χυα βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη ΠΑΤΗ, – PATH(i) = 1 (yes) nếu tồn tại một đường đi giữa u và v có chiều dài ≤ k – PATH(i) = 0 (no) trong các trường hợp khác. 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 6 Baøi toaùn toái öu ª Μοτ βαι τοαν το〈ι υ λα µοτ βαι τοαν τρονγ 〉ο τα χα◊ν ξαχ 〉∫νη τρ∫ λν νηα〈τ ηαψ τρ∫ νηο νηα〈τ χυα µοτ 〉αι λνγ. ª ∇ο〈ι τνγ χυα λψ τηυψε〈τ ΝΠ−〉α◊ψ 〉υ λα χαχ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη, νεν τα πηαι επ (ρεχαστ) χαχ βαι τοαν το〈ι υ τηανη χαχ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη. ς δυ: τα 〉α⌡ επ βαι τοαν το〈ι υ 〉νγ 〉ι νγαν νηα〈τ τηανη βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη ΠΑΤΗ βανγ χαχη λαµ χηαν κ τηανη µοτ τηαµ σο〈 χυα βαι τοαν. 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 7 Mã hoá (encodings) ª ∇ε∑ µοτ χηνγ τρνη µαψ τνη γιαι µοτ βαι τοαν τρυ τνγ τη χαχ τηχ τηε∑ χυα βαι τοαν χα◊ν 〉χ βιε∑υ διεν σαο χηο χηνγ τρνη µαψ τνη χο τηε∑ 〉οχ ϖα ηιε∑υ χηυνγ 〉χ. “ ” ª Τα µα⌡ ηοα (ενχοδε) χαχ τηχ τηε∑ χυα µοτ βαι τοαν τρυ τνγ 〉ε∑ µοτ χηνγ τρνη µαψ τνη χο τηε∑ 〉οχ χηυνγ 〉χ. – Ví dụ: Mã hoá tập N = {0, 1, 2, 3, 4, } thành tập các chuỗi {0, 1, 10, 11, 100, }. Trong mã hoá này, e(17) = 10001. – Mã hóa một đối tượng đa hợp (chuỗi, tập, đồ thò, ) bằng cách kết hợp các mã hóa của các thành phần của nó. 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 8 Maõ hoaù (tieáp) ª Μοτ βαι τοαν χυ τηε∑ λα µοτ βαι τοαν µα ταπ χαχ τηχ τηε∑ χυα νο λα ταπ χαχ χηυοι νη∫ πηαν. ª Μοτ γιαι τηυατ γιαι µοτ βαι τοαν χυ τηε∑ τρονγ τηι γιαν Ο ( Τ ( ν )) νε〈υ, κηι 〉α νο µοτ τηχ τηε∑ ι χο 〉ο δαι ν = | ι | , τη νο σε⌡ χηο ρα λι γιαι τρονγ τηι γιαν Ο ( Τ ( ν )). ª Μοτ βαι τοαν χυ τηε∑ λα χο τηε∑ γιαι 〉χ τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ νε〈υ το◊ν ται µοτ γιαι τηυατ γιαι νο τρονγ τηι γιαν Ο ( ν κ ) ϖι µοτ ηανγ σο〈 κ ναο 〉ο. 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 9 Lôùp P ª ∇∫νη νγη⌠α: Λπ Π (χοµπλεξιτψ χλασσ Π) λα ταπ χαχ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη χυ τηε∑ χο τηε∑ γιαι 〉χ τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ. 13.11.2004 Ch. 12: NP-Complete ness 10 Bài toán trừu tượng và bài toán cụ thể ª Τα δυνγ µα⌡ ηοα 〉ε∑ ανη ξα χαχ βαι τοαν τρυ τνγ 〉ε〈ν χαχ βαι τοαν χυ τηε∑. – Cho một bài toán quyết đònh trừu tượng Q, Q ánh xạ một tập các thực thể I đến {0, 1}, ta có thể dùng một mã hóa e : I → {0, 1} ∗ để sinh ra một bài toán quyết đònh cụ thể tương ứng, ký hiệu e(Q). Mã hóa e phải thõa điều kiện ° Nếu Q(i) ∈ {0, 1} là lời giải cho i ∈ I, thì lời giải cho thực thể e(i) ∈ {0, 1} ∗ của bài toán quyết đònh cụ thể e(Q) cũng là Q(i). I {0, 1} Q {0, 1} * e(Q) [...]... HAM-CYCLE trong thời gian đa thức Vì HAM-CYCLE là NP- đầy đủ và theo giả thiết P ≠ NP nên A không chạy trong thời gian đa thức, mâu thuẩn! 21.5.2004 Chương 37 15 Bài toán người bán hàng rong tổng quát • ° • • • Chứng minh (tiếp) Gọi G = (V, E) là một thực thể (instance) của bài toán chu trình hamilton Từ G đònh nghóa đồ thò G’ = (V, E’) là đồ thò đầy đủ trên V, với hàm chi phí c(u, v) = 1 nếu (u, v)... đònh Bài toán quyết đònh cho bài toán che phủ tập là NP- đầy đủ 21.5.2004 Chương 37 19 Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che phủ tập ° Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che phủ tập – dùng phương pháp greedy GREEDY-SET-COVER(X, F ) 1 2 3 4 5 6 7 21.5.2004 U←X C←∅ while U ≠ ∅ do chọn một S ∈ F sao cho | S ∩ U | là lớn nhất U←U−S C ← C ∪ {S} return C Chương 37 20 Phân tích GREEDY-SET-COVER Gọi số điều... gian đa thức Mâu thuẫn với giả thiết P ≠ NP! 21.5.2004 Chương 37 17 Bài toán che phủ tập ° Một thực thể (X, F ) của bài toán che phủ tập gồm một tập hữu hạn X và một họ F các tập con của X sao cho X=  S S ∈F Một tập con C ⊆ F được gọi là che phủ X nếu X=  S S ∈C ° Bài toán che phủ tập là tìm một tập con C ⊆ F , với | C | là nhỏ nhất, sao cho C che phủ X 21.5.2004 Chương 37 18 Dạng quyết đònh của bài... đỉnh khi duyệt kiểu tiền thứ tự là: a, b, c, h, d, e, f, g 21.5.2004 f b Chương 37 Tua H có được từ kết quả duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự mà APPROX-TSP-TOUR tìm được Chi phí của tua H là khoảng chừng 19,074 11 Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên một ví dụ (tiếp) a d e f b g c h (e) Tua tối ưu H∗ , có chi phí là 14,715 21.5.2004 Chương 37 12 Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác • • • Đònh... mọi đỉnh lần thứ hai” (= duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự) để có được tua H, chi phí không tăng vì bất đẳng thức tam giác, do đó c(H) ≤ c(W) ≤ 2c(H∗) 21.5.2004 Chương 37 14 Bài toán người bán hàng rong tổng quát • • • ° Đònh lý 37.3 Nếu P ≠ NP và ρ ≥ 1, thì không tồn tại giải thuật xấp xỉ thời gian đa thức với tỉ số xấp xỉ ρ cho bài toán người bán hàng rong tổng quát Chứng minh Chứng minh bằng phản... tua mà APPROX-TSP-TOUR tìm được Cần chứng minh: c(H) ≤ 2c(H∗) (*) Ta có c(T) ≤ c(H∗ − e) ≤ c(H∗) vì nếu xoá đi bất cứ cạnh e nào của H∗ thì được một cây khung, mà T lại là cây khung nhỏ nhất 21.5.2004 Chương 37 13 Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác ° ° ° • Chứng minh (tiếp) c(W) = 2c(T), với W là kết quả một duyệt hoàn toàn cây T từ đỉnh r, vì mỗi cạnh của T được đi qua hai lần... V, với hàm chi phí c(u, v) = 1 nếu (u, v) ∈ E = ρ|V| + 1 trong các trường hợp khác Các biểu diển của G’ và c có thể tính được từ một biểu diễn của G trong thời gian đa thức theo |V| và |E| 21.5.2004 Chương 37 16 Bài toán người bán hàng rong tổng quát ° • ° Chứng minh (tiếp) Gọi H∗ là tua tối ưu của G’, gọi H là tua mà A tìm được, ta có c(H ) ≤ ρ⋅c(H∗) Phân biệt hai trường hợp: – Trường hợp c(H ) >... ρ(n)-xấp xỉ thời gian đa thức, với ρ(n) = H(max{| S | : S ∈ F }) Nhận xét: max{| S | : S ∈ F } ≤ | X | Hệ luận 37.5 GREEDY-SET-COVER là một giải thuật (ln| X | + 1)-xấp xỉ thời gian đa thức 21.5.2004 Chương 37 21 . 13.11.2004 Ch. 12: NP- Complete ness 1 NP- Ñaày Ñuû 13.11.2004 Ch. 12: NP- Complete ness 2 Vài khái niệm cơ bản ª Βαι τοαν – các tham số – các. γιαν 〉α τηχ φ 12 ϖα φ 21 σαο χηο ϖι µοι ι ∈ Ι τα χο φ 12 ( ε 1 ( ι )) = ε 2 ( ι ) ϖα φ 21 ( ε 2 ( ι )) = ε 1 ( ι ). 13.11.2004 Ch. 12: NP- Complete ness 12 Lieõn quan giửừa. Ch. 12: NP- Complete ness 9 Lôùp P ª ∇∫νη νγη⌠α: Λπ Π (χοµπλεξιτψ χλασσ Π) λα ταπ χαχ βαι τοαν θυψε〈τ 〉∫νη χυ τηε∑ χο τηε∑ γιαι 〉χ τρονγ τηι γιαν 〉α τηχ. 13.11.2004 Ch. 12: NP- Complete ness 10 Bài