BÀI TẬP TOÁN CAO CÓ LỜI GIẢI

48 trang bài tập chọn lọc có lời giải, giúp sinh viên nắm được nội dung và kiến thức chương trình. Tài liệu đáp ứng nhu cầu học của sinh viên nhằm chuẩn bị cho kỳ thi giữa kỳ cũng như kết thúc học phần.

CHƯƠNG 1: GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN _______________________________________________________ I. Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận: 1. Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận: Ví dụ: Cho ma trận 7 2 4 1 A             . a) Xác định đa thức đặc trưng của A . b) Xác định các giá trị riêng i  của A . c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng ( ) A i E  . d) Xác định một cơ sở S của 2  gồm các vectơ riêng của A . Giải a) Đa thức đặc trưng ( ) A P t của A là 2 2 ( ) tr( ) det 8 15. A t t A t A t tP       b) Các giá trị riêng i  của A là các nghiệm của phương trình đặc trưng ( ) 0 A f t  . Phương trình đặc trưng ( ) 0 A f t  có các nghiệm 3, 5. Vậy 1 3  và 2 5  là các giá trị riêng của ma trận A . c) Với 1 3  . Các véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 1 3  là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 1 2 1 1 2 2 4 2 0 4 2 0 2 x x x a x x x a                Vậy không gian véc tơ riêng (3) A E của A ứng với giá trị riêng 1 3  là (3) {( , 2 ) | } { (1, 2) | } (1, 2) A E a a a a a          Vậy dim (3) 1 A E  và {(1, 2)} là một cơ sở của (3) A E . * Với 2 5  . Các véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 2 5  là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 1 2 1 1 2 2 2 2 0 4 4 0 x x x a x x x a                Vậy không gian véc tơ riêng (5) A E của A ứng với giá trị riêng 2 5  là (5) {( , ) | } { (1, 1) | } (1, 1) A E a a a a a          Vậy dim (5) 1 A E  và {(1, 1)} là một cơ sở của (5) A E . d) Đặt {(1, 2),(1, 1)} S    gồm các véc tơ riêng của A độc lập tuyến tính trong 2  . Do đó S là một cơ sở của 2  . Bài tập: 1) Cho ma trận 1 4 2 3 4 0 3 1 3 A                    . a) Xác định đa thức đặc trưng của A . b) Xác định các giá trị riêng i  của A . c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng ( ) A i E  . d) Xác định một cơ sở S của 3  gồm các vectơ riêng của A . Hướng dẫn: Sinh viên làm tương tự như ví dụ. 2) Cho ma trận 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 A                    a) Xác định đa thức đặc trưng ( ) A f t của A . b) Xác định các giá trị riêng i  của A . c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng ( ) A i E  . d) Xác định một cơ sở S của 4  gồm các vectơ riêng của A . Hướng dẫn: Sinh viên làm tương tự ví dụ Đa thức đặc trưng ( ) A P t của A là 2 1 0 1 1 0 1 1 1 ( ) det( ) ( 1) ( 1)( 3). 1 1 1 0 1 1 0 1 A t t t A tI t t t t t P            2. Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng: 1) Cho  là giá trị riêng của M ( ) n A K , K   và k  . Chứng minh rằ ng a)  là giá trị riêng của ma trận A  . b) k  là giá trị riêng của ma trận k A . c)    là giá trị riêng của ma trận A I   . d) ( )f  là giá trị riêng của ma trận đa thức ( )f A . Hướng dẫn: a) Do  là giá trị riêng của M ( ) n A K nên tồn tại n v K  sao cho Av v   .     ( ) A v Av v v        . Vậy  là giá trị riêng của ma trận A  . b) Ta có     1 1 1 ( ) k k k k k A v A Av A v A v v            . Vậy k  là giá trị riêng của ma trận k A . c) Ta có ( ) ( )A I v Av Iv v v v              Vậy    là giá trị riêng của ma trận A I   . d) Giả sử 1 ( ) [ ]. n i i i f t a t K t     Khi đó, 1 1 ( ) , ( ) n n i i i i i i f a f A a A         Và     1 1 1 1 ( ) ( ) n n n n i i i i i i i i i i i i f A v a A v a A v a v a v f v                             Vậy ( )f  là giá trị riêng của f (A). Sinh viên cho ví dụ minh họa cho những kết quả trên. 2) Cho  là giá trị riêng của M ( ) n A K . Chứng minh rằng a) Nếu A khả nghịch thì 1   là giá trị riêng của ma trận 1 A  . b) Nếu A khả nghịch thì 1     là giá trị riêng của ma trận 1 A A   . Hướng dẫn : a) Vì A khả nghịch nên 0   . Ta có,   1 1 1 1 1 1 A v A v A Av v              Vậy Nếu A khả nghịch thì 1   là giá trị riêng của ma trận 1 A  . b) Vì A khả nghịch nên 1 1 A v v     . Khi đó, ta có 1 1 1 1 ( ) ( )A A v Av A v v v v                Nếu A khả nghịch thì 1     là giá trị riêng của ma trận 1 A A   . Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên. 3) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và 1 2 , , , n     là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng 1 2 det n A      . Hướng dẫn: Do 1 2 , , , n     là các giá trị riêng của A nên 1 2 , , , n     là các nghiệm của đa thức đặc trưng ( ) A f t . Do đó, 1 2 ( ) det( ) ( 1) ( )( ) ( ) n A n f t A I t t t            . Lấy t = 0, ta có: 1 2 1 2 det (0) ( 1) (0 )(0 ) (0 ) n A n n A f              Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên. 4) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và 1 2 , , , n     là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng a) 1 2 det( ) n n A        . b) 1 2 det k k k k n A      . c) 1 2 det( ) ( )( ) ( ) n A I             . d) 1 2 det ( ) ( ) ( ) ( ) n f A f f f      . Hướng dẫn: a) Do 1 2 , , , n     là các giá trị riêng A nên 1 2 , , , n     là các giá trị riêng của ma trận A . Do đó 1 2 1 2 det( ) ( )( ) ( ) . n n n A            Sinh viên cho ví dụ minh họa. b) Do 1 2 , , , n     là các giá trị riêng A nên 1 2 , , , k k k n     là các giá trị riêng của ma trận k A . Do đó 1 2 det k k k k n A     . c) Do 1 2 , , , n     là các giá trị riêng A nên 1 2 , , n          là các giá trị riêng của ma trận A I  . Do đó 1 2 det( ) ( )( ) ( ) n A I             . d) Do 1 2 , , , n     là các giá trị riêng A nên 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f f f     là các giá trị riêng của ma trận ( )f A . Do đó 1 2 det ( ) ( ) ( ) ( ) n f A f f f     . Sinh viên cho các ví dụ minh họa. 5) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và 1 2 , , , n     là các giá trị riêng của nó. Chứng minh rằng a) Nếu A khả nghịch thì 1 1 1 1 1 2 det n A          . b) Nếu A khả nghịch thì 1 1 1 1 1 1 2 2 det( ) ( )( ) ( ) n n A A                 . c) Nếu K   không là giá trị riêng của A thì ma trận A I   khả nghịch và 1 1 1 det( ) . n i i A I          Hướng dẫn: a) Do 1 2 , , , n     là các giá trị riêng A nên 1 1 1 1 2 , , , n        là các giá trị riêng của ma trận 1 A  . Do đó 1 1 1 1 1 2 det n A         . b) Do 1 2 , , , n     là các giá trị riêng A nên 1 1 1 1 1 2 2 , , , n n              là các giá trị riêng của ma trận 1 A A   . Do đó 1 1 1 1 1 1 2 2 det( ) ( )( ) ( ) n n A A                c) Do  không là giá trị riêng của A nên định thức của ma trận A I khác 0. Vậy A I khả nghịch. Theo giả thiết 1 2 , , , n     là các giá trị riêng của A nên 1 2 , , , n           là các giá trị riêng của ma trận A I và do đó 1 1 1 1 2 ( ) ,( ) , ,( ) n             là các giá trị riêng của 1 ( )A I    . Vậy 1 1 1 1 1 det( ) ( ) . n n i i i i A I                 Sinh viên cho ví dụ minh họa. 3. Chéo hóa ma trận: Cách chéo hóa một ma trận: Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau: Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng sau đó ứng với từng giá trị riêng tìm các vector riêng. Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau: TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n thì kết luận A không chéo hóa được. TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì kết luận A chéo hóa được. Khi đó ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng độc lập tuyến tính của A viết theo cột và khi đó 1 2 1 0 0 0 0 0 0 n P AP                  là ma trận chéo trong đó các i  là các giá trị riêng của A ứng với vector riêng là vector cột thứ i của ma trận P. 1. Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau: 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A            Hướng dẫn: Đa thức đặc trưng của ma trận A là: 3 1 1 ( ) 1 1 3 2 1 1 A P               3 ( ) 0 3 2 0 1, 2 A P                Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là 1, 2      . Ứng với 1    , giải hệ pt: 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0                      Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số ] 1 2 3 2 2 3 3 x t t x t x t               Không gian con riêng ứng với giá trị riêng 1    là 2 3 2 3 2 3 ( 1) {( , , ) | , } E t t t t t t       Cơ sở của E(-1) gồm hai vector 1 2 ( 1,1,0); ( 1,0,1)       . Ứng với giá trị riêng 2   , để tìm vector riêng ta giải hệ pt: 2 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 3 3 0 0 3 3 0 1 1 2 0 2 1 1 0 0 3 3 0 0 0 0 0                                                      Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số 1 2 3 x t x t x t           Do đó, không gian con riêng của A ứng với giá trị riêng 2   là  (2) ( , , ) | } E t t t t   Cơ sở của (2) E gồm 1 vector 3 (1,1,1)   . Nhận xét: Các vector 1 2 3 , ,    độc lập tuyến tính nên ma trận A chéo hóa được. Khi đó, tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho 1 P AP D   với D là ma trận chéo. 1 1 1 1 0 1 0 1 1 P              và 1 0 0 0 1 0 0 0 2 D              2. Bài tập: 1. Cho ma trận 1 2 3 0 2 3 0 0 3 A            . Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Tìm ma trận C làm chéo hóa A (nếu có). Hướng dẫn: SV. Làm tương tự như ví dụ. 2. Cho A, B và P là các ma trận sao cho 1 A PBP   . Chứng minh rằng 1 k k A PB P   với mọi k  . Hướng dẫn: Sử dụng tính chất 1 1 1 . k A PBP PBP PBP     (k lần) và 1 . P P I   . Sinh viên cho ví dụ minh họa. 3. Cho ma trận 4 3 2 1 A          a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A. b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho 1 A PDP   d) Tính k A với mọi số nguyên dương k. Hướng dẫn: Các câu a); b); c) làm tương tự như các ví dụ trong tài liệu. Câu d) áp dụng tính chất của bài 2.(Tức là khi 1 A PDP   thì 1 k k A PD P   ). 4. Cho ma trận 2 2 1 1 3 1 1 2 2 A            a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A. b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho 1 A PDP   d) Tính k A với mọi số nguyên dương k. Hướng dẫn: Làm tương tự như bài 3. 5. Cho ma trận 3 12 2 7 A          , 1 2 3 2 , 1 1 u u               . Chứng minh rằng 1 2 ,u u là các vector riêng của A. Hãy tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để 1 A PDP   . Hướng dẫn: Để chứng minh 1 2 ,u u là các vector riêng của A thì cần tìm các giá trị 1 2 ;   sao cho 1 1 2 2 ; Au u Au u     . Khi đó, ma trận đường chéo D có dạng 1 2 ( , ) diag   . 6. Cho ma trận vuông cấp 4 A có các giá trị riêng là 5, 3, -2. Giả sử không gian vector riêng ứng với giá trị riêng 3   có chiều là 2. Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Hướng dẫn: Dựa vào điều kiện chéo hóa được của ma trận. 7. Hãy xác định đa thức đặc trưng và một cơ sở không gian vector riêng của các ma trận sau. Trong số các ma trận sau đây ma trận nào chéo hóa được, khi đó hãy tìm ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho 1 A PDP   . 2 7 5 3 3 4 ) 7 2 4 3 4 8 a                      1 0 1 6 2 0 0 3 1 ) 2 3 1 2 9 0 3 0 2 0 6 0 5 8 3 1 2 0 b                                   1 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 4 0 1 1 1 1 0 1 1 12 1 4 9 ) 1 1 1 0 1 1 0 1 6 5 2 4 1 1 0 1 1 1 1 0 3 4 5 10 c                                           8. Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên  1 1 1 a b A a c b c               và a b c d b a d c B c d a b d c b a                    9. Chéo hóa các ma trận sau (nếu được). 3 1 1 5        5 1 0 5       2 3 4 1       4 2 2 2 4 2 2 2 4           1 4 2 3 4 0 3 1 3               7 4 16 2 5 8 2 2 5              0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0             5 3 0 9 0 3 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2               10. Cho ma trận A trên trường số thực  như sau 9 1 5 7 8 3 2 4 0 0 3 6 0 0 1 8 A                 a) Tính det A b) Tính 4 det( )A I   với   . c) Tính det ( )f A biết rằng 2 ( ) 1 n f x x x    . Hướng dẫn: a) Đa thức đặc trưng của A là : 2 ( 5) ( 6)( 7) t t t    . Giá trị riêng là 5, 6, 7 detA= 5.5.6.7 = 1050. b) Đa thức 2 4 det( ) (5 )(5 )(6 )(7 ) (5 ) (6 )(7 ) A I                   c) 2 det ( ) (5) (5) (6) (7) (5 24) (6 35)(7 48) n n n f A f f f f     11. Chéo hoá ma trận 1 1 2 1 A          trên  và  . 13) Chéo hoá ma trận 4 1 1 2 5 2 1 1 2 A              14) Chéo hóa ma trận 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 A              15) Cho ma trận 1 7 5 2 8 6 4 16 12 A                  a) Chéo hoá ma trận A . b) Hãy tính luỹ thừa ma trận n A . 16) Cho ma trận 1 7 5 2 8 6 4 16 12 A                  a) Hãy tính đa thức ma trận ( )f A , trong đó 2 ( ) 1 [ ] n f t t t t      . b) Hãy tìm một ma trận B trên trường số thực  sao cho 2 B A . 17) Cho ma trận 2 0 0 0 3 0 0 1 2 A                a) Chéo hóa A . b) Đặt 11 12 13 21 22 23 31 32 33 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 3 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 ( ) ( ) ( ) n a n a n a n a n a n a n a n a n a n                              . Tính 22 32 ( ) lim ( ) n a n a n  và 3 3 1 1 ( ) ij i i S a n      . Hướng dẫn: Đặt 2 0 0 0 3 0 0 1 2 A            . Tính n A bằng cách chéo hoá ma trận A . * Đa thức đặc trưng ( ) A f t của ma trận A là ( ) ( 2)(3 ) A f t t t   . Giải phương trình đặc trưng ( ) 0 A f t  , ta nhận được các nghiệm phân biệt 2,3. Do đó các giá trị riêng phân biệt của ma trận A là 2,3t  . * Với 2t  , ta có E (2) (1,0,0),(0,0,1) A  và cơ sở 1 1 2 { (1,0,0), (0,0,1)}. S v v    Với 3t  , ta có E (1) (0,1,1) A  và cơ sở 2 3 { (0,1,1)} S v   . * Do 1 2 3 1 2 3 { , , }S S S S v v v    nên ma trận A chéo hoá được và 1 D P AP   , trong đó ma trận khả nghịch P với các cột là các véc tơ riêng 1 2 3 , ,v v v và ma trận đường chéo D với các phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng 1 2 3 , ,v v v . 1 2 3 1 0 0 2 0 0 [ ] 0 0 1 và diag(2,2,3) 0 2 0 0 1 1 0 0 3 P v v v D                         1 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 0 3 0 0 3 2 2 n n n n n n n A PD P                                               a) Ta có 22 32 ( ) 3 , ( ) 3 2 n n n a n a n    và do đó 22 32 ( ) 3 lim lim 1. ( ) 3 2 n n n n n a n a n      b) Ta có 3 3 1 1 ( ) 2 3 3 2 2 2 2·3 n n n n n n n ij i i S a n            . II. Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm cơ sở của không gian vector V để ma trận của một phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo. Ví dụ: Cho T là toán tử tuyến tính trên 3  xác định bởi 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) (2 4 3 , 4 6 3 ,3 3 )T x x x x x x x x x x x x        Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của T. Giải Ma trận của toán tử tuyến tính trên 3  đối với cơ sở chính tắc của 3  là: 2 4 3 4 6 3 3 3 1 A               Đa thức đặc trưng của ma trận A là 3 2 2 ( ) 3 4 ( 1)( 2) A f t t t t t        . Giải phương trình đặc trưng ( ) 0 A f t  ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2. Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là 1; 2      . Khi tìm cơ sở của các không gian riêng (1) A E và ( 1) A E  ta được: Cơ sở của (1) A E là 1 1 1 1 u             và cơ sở của ( 2) A E  là 2 1 1 0 u             . Vậy f không chéo hóa được. Chú ý: Để nghiên cứu một phép biến đổi tuyến tính : f V V , ta quy về việc nghiên cứu ma trận của f. Từ đó dẫn đến việc cần tìm cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. Để tìm cơ sở này ta thực hiện như sau: - Đầu tiên ta tìm các vector riêng độc lập tuyến tính của f. - Nếu f có ít hơn n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) thì không có cơ sở nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. - Nếu f có đúng n vector riêng độc lập tuyến tính thì n vector riêng đó làm thành cơ sở B của V mà ma trận A của f trong cơ sở B đó là ma trận chéo. Cụ thể: [...]... tớnh Cỏch 2: H A 1,A 2 , ,A m ph thuc tuyn tớnh rank A 1,A 2 , ,A m m ma trn tng ng cú hng nh hn m cp ca nh thc con cp cao nht trong s cỏc nh thc con khỏc khụng vn nh hn m Khi mi vộc t ca h u b bt i thnh phn th n thỡ ma trn tng ng mt i ct th n cp ca nh thc con cp cao nht trong s cỏc nh thc con khỏc khụng khụng th tng lờn c Vỡ vy ma trn mi vn cú hng nh hn m h m vộc t mi vn cú hng thp hn m . ]. n i i i f t a t K t     Khi đó, 1 1 ( ) , ( ) n n i i i i i i f a f A a A         Và     1 1 1 1 ( ) ( ) n n n n i i i i i i i i i i i i f A v a A v a A v a v a v f v . i f A a A f B a B       và 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k i i i i i i i i i k k i i i i i i f A a A a PBP a PB P P a B P P a B P Pf B P                  . b) Do A đồng dạng v i B nên tồn t i ma trận P khả nghịch để 1 A PBP   . Giả sử 1 ( ) [ ] k i i i f t a t K t     . Khi đó 1 1 ( ) , ( ) k k i i i i i i f A a A f B a B   