Giai bai toan chia het

A/ đặt vấn đề - Trong giảng dạy môn Toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết khai thác mở rộng kiến thức áp dụng vào giải đợc nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan trọng. Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo sự nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học lớp 6. Môn số học lớp 6 là môn học rất quan trọng học sinh nắm đợc chắc kiến thức số học 6 sẽ có nền móng tốt để học môn đại số 6 qua quá trình giảng dạy tôi thấy vấn đề chia hết trong N rất hay, các dạng bài tập phong phú, đa dạng các bài toán về chia hết còn đợc vận dụng để giải một số dạn toán khác góp phần rất lớn trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi. Bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi học hỏi các thầy giáo, cô giáo đồng nghiệp, tôi viết chuyên đề " Một số bài toán chia hết trong N" nhằm giúp học sinh trau dồi t duy toán học. Dù đã có nhiều cố gắng song chuyên đề có thể còn nhiều thiếu sót, rất mong hội đồng khoa học và đồng nghiệp góp ý kiến cho tôi để trong quá trình giảng dạy sau này tôi sẽ giúp đợc học sinh của mình nhiều hơn nữa trong lĩnh vực tìm tòi và khám phá môn toán học. * Một số sách tham khảo. 1- Toán nâng cao và các chuyên đề số học 6 tác giả Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dơng Thuỵ. 2-Một số vấn đề phát triển toán 6 tập I, II tác giả Vũ Hữu Bình. 3- Chuyên đề số học, nữ hoàng toán học tác giả Võ Đại Mai. 4- Toán bồi dỡng lớp 6 tác giả Vũ Hữu Bình. 1 B/ nội dung I- cơ sở lý thuyết: Để làm tốt các bài toán về chia hết giáo viên cần phải trang bị cho học sinh nắm chắc một số vấn đề lí thuyết cơ bản sau: 1- Định nghĩa phép chia hết trong N. Cho 2 số tự nhiên a và b ; b 0. Nếu tồn tại q N sao cho a =bq ta nói a chia hết cho b ( hoặc b chia hết cho a. Kí hiệu a: b ( hoặc b/a). 2. Tính chất: a, Tính chất chung: + a a N* + a b; b c a c (a, b, c N, c 0). + 0 b, b N*. + a 1 a N. b, Tính chất chia hết của tổng và hiệu. a, b, m N; m 0. + a m; b m (a + b) m; (a - b) m. a m, b m (a + b) m; (a - b) m. Hệ quả: (a + b) m; a m b m. c, Tính chất chia hết của tính: + a m ab m b N. a m; b n ab mn (a; b; m; n N; m, n 0). Với các bài toán nâng cao cần vận dụng thêm một số tính chất, giáo viên hớng dẫn học sinh các tính chất sau: 3, Tính chất chia hết có liên quan với các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một. a, Sự chia hết của một tích cho 1 số: - Định lí Gao Xơ: Nếu một số chia hết một tích 2 thừa số và nguyên tố cùng nhau với một tỏng hai thừa số đó thì nó phải chia hết thừa số kia. c/ ab và (a, c) = 1 c/b. 2 b, Sự chia hết của một số cho một tích: Định lí: Nếu nhiều số nguyên tố cùng nhau đôi một chia hết một số thì tích của chúng cũng chia hết số đó. ( ) ( ) ( ) mabc accbba mcmbma / 1,,, /;/;/ === c, Sự nguyên tố cùng nhau giữa một số và một tích: (a; b 1 ) = (a; b 2 ) = 1 (a, b 1 b 2 ) = 1 Hệ quả: Nếu một số nguyên tố chia hết một tích thì nó chia hết cho một thừa số của tích. Pp aaap 321 / p/a 1 hoặc p/a 2 hoặc p/a 3 . 4. Các dấu hiệu chia hết: Cho số tự nhiên: M = a 1 . a n - 1 a 2 a 1 a 0 (trong đó a 0 , a 1 a n -1 , a n là các chữ số) a n 0. a. Dấu hiệu chia hết cho 2: M 2 a 0 2 (a 0 {0; 2; 4; 6; 8}). b. Dấu hiệu chia hết cho 5. M 5 a 0 5 (a 0 {0; 5}) Chú ý: Số d trong phép chia M cho 2 (hoặc 5) bằng số d trong phép chia a 0 cho 2 (hoặc 5). c. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9. M 3 (hoặc 9) (a n + a n - 1 + + a 2 + a 1 + a 0 ) 3 (hoặc 9). Chú ý: Số d trong phép chia M cho 3 (hoặc 9) bằng số d trong phép chia (a n + a n - 1 + + a 1 + a 0 ) cho 3 (hoặc 9). d. Dấu hiệu chia hết cho 4; 25; 8; 125. M 4 4 01 aa M 25 25 01 aa M 8 8 012 aaa M 125 125 012 aaa 3 Chú ý: Số d trong phép chia số M cho 4 (hoặc 25) cũng chính là số d trong phép chia 01 aa cho 4 (hoặc 25). - Số d trong phép chia số M cho 8 (hoặc 125) cũng chính là số d trong phép chia số 012 aaa cho 8 (hoặc 125). c. Dấu hiệu chia hết cho 11. - Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn của số đó có hiệu chia hết cho 11. - Phối hợp các dấu hiệu chia hết ta có thể nêu thêm một số dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân nh sau: M 6 M 2 và 3. M 30 M 5 và 6. M 12 M 3 và 4. M 36 M 4 và 9. 5. Tính chất chia hết liên quan với BCNN - ƯCLN. a, M a, M b M : BCNN (a, b). b, d/a, d/b d/(a, b). Trên cơ sở lý thuyết cơ bản sách giáo khoa và các tính chất mở rộng giáo viên hớng dẫn học sinh giải bài tập theo từng dạng và từng phơng pháp. II- các dạng bài tập: loại I: tìm số: 1. Dạng 1: Điền chữ số: Phơng pháp giải các bài tập dạng này là sử dụng các dấu hiệu chia hết quen thuộc song nếu số chia là hợp số cần phân tích chúng thành tích các số nguyên tố cùng nhau rồi mới dùng các dấu hiệu chia hết. a. 610x 3. b. 610x 3 mà 9. c/ 610xy 2; 3; 5 và 9. H ớng dẫn: a. 610 x 3 (6 + 1 + 0 + x) 3 (7 + x) 3. mà 0 x 9 nên x {2; 5; 8}. 4 b. Dựa vào kết quả câu a/ phải có (7 + x) 3 mà 9 x {5; 8}. c. 610xy 2 và 5 y = 0. Có số 0610x 0610x 9 (7 + x) 9 mà 7 x + 7 16. 7 + x = 9 x = 2. Ví dụ 2: Tìm x, y để 45325 yx . H ớng dẫn: (12 + 3x) 2 = [3 (4 + x)] 2 = 9 (4 + 9) 2 9. 9961 a từ đó tìm đợc a = 2. Thay vào 1 tìm đợc x = 8. * Bài tập luyện tập: 1. Điền các chữ số thích hợp vào các chữ để. a. 5x793x4 3. b. 123x44y 2; 3; 5 và 9. c. yx2001 36. d. yx831 45 e. xy40 60 g. xy156 66. h. 2834 yx 36. 2. Thay dấu * bởi các chữ số để các số sau đây 3403*; 555*; 231* a. Chia hết cho 2 (cho 5). b. Chia hết cho cả 2 và 5. 3. Thay dấu * bởi chữ số nào để các số sau đây: 41*, 64*16; 333*; 8*125. a. Chia hết cho 3 (cho 9); chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. b. Chia hết cho cả 3 và 9. 5 2. Dạng 2: Tìm các số bằng cách ghép các chữ số để đợc một số thoả mãn điều kiện chia hết. Ví dụ 5: Dùng chữ số 9; 0; 5 để ghép thành những số có 3 chữ số (mỗi chữ số chỉ đợc dùng 1 lần). a. Chia hết cho 5. b. Chia hết cho cả 2 và 5. Hớng dẫn: a. Theo dấu hiệu chia hết cho 5 số cần viết có tận cùng bằng 0 hoặc 5. - Chữ số hàng đơn vị bằng 0 có các số: 950, 590. - Chữ số hàng đơn vị bằng 5 có các số: 905. b. Một số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng bằng 0 từ đó ghép đợc các số 950, 590. Ví dụ 7: Dùng 3 trong 4 chữ số 4; 5; 6; 0 để ghép thành những số có 3 chữ số chia hết cho 3. H ớng dẫn: a. 4 và 5 3; 0 và 6 3. Tìm bộ 3 chữ số trong 4 chữ số đã cho có tổng chia hết cho 3. Ta có: 4 + 5 + 6 = 15 3. 4 + 5 + 0 = 9 3. Do đó có số cần tìm đợc lập từ 2 bộ 3 chữ số (4; 5; 6) và (4; 5; 7). Với 3 chữ số 7; 5; 6 ghép đợc 6 số. Với 3 chữ số 4; 5; 0 ghép đợc 4 số. b. Trong các số lập đợc có bao nhiêu số chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9. H ớng dẫn: Phải chọn 3 chữ số 4l 5; 0 để ghép thành các số có 3 chữ số có tận cùng bằng 0 (vì một số chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 phải có tận cùng bằng 0 và tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9). Ví dụ 7: Dùng cả 10 chữ số 0 đến 9 viết thành số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 4. 6 H ớng dẫn: Chọn 6 chữ số đầu là 102345 để đợc số n = 102345abcd với a, b, c, d {6, 7, 8, 9}. Để n : 4 thì cd 4 chỉ có 3 cạnh, chọn cd {68; 76; 96} n nhỏ nhất thì chữ số tận cùng của n có thể là 7968; 8976; 7896 số nhỏ nhất 7896. Vậy số n nhỏ nhất bằng: 102345896. Ví dụ 8: Viết số tự nhiên nhỏ nhất tạo bởi k chữ số 3 và chia hết cho 9. H ớng dẫn: Tổng các chữ số của A = 3/ 3 33 skc là 3 k. A 9 3k 9 k 3. Để A nhỏ nhất k nhỏ nhất (k 0). Vậy k = 3. Số cần tìm là 333. * Bài tập luyện tập. 1. Dùng 3 trong 4 chữ số 0; 1; 6; 8 để viết các số có 3 chữ số cho thoả mãn. a. Chia hết cho 3 (cho 9). b. Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. c. Chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9. 2. Tìm số lớn nhất trong các số tự nhiên tạo thành bởi 10 chữ số khác nhau và. a. Chia hết cho 4. b. Chia hết cho 5. c. Chia hết cho 8. d. Chia hết cho 125. 3. Phải viết ít nhất bao nhiêu số 1944 liền nhau để đợc 1 số chia hết cho 8, chia hết cho 9. 3. Dạng 3: Tìm số theo điều kiện cho trớc. Phơng pháp giải bài tập loại này dùng các tính chất chia hết liên quan với BCNN của các số hoặc từ mới liên hệ đã cho kết hợp với các tính chất và dấu hiệu chia hết quen thuộc để tìm ra các số thoả mãn đề bài. 7 Ví dụ 9: Hãy viết thêm 3 chữ số vào sau số 579 để đợc một số chia hết cho cả 5, 7 và 9. H ớng dẫn: Giả thiết viết thêm 3 chữ số x, y, z vào sau 579 có số xyz579 5,7 và 9. xyz579 BCNN (5, 7, 9) hay xyz579 315. Ta có xyz579 = 579000 + xyz = 315.1838 + 30 + xyz . (30 + xyz ) 315 từ đó tìm đợc xyz (285; 600; 915). Ví dụ 10: Tìm số x có chữ số tận cùng bằng 2 biết x; 2x; 3x đều là các số có 3 chữ số và 9, chữ số của 3 số đó đều khác nhau và khác 0. H ớng dẫn: Vận dụng tính chất: 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số d trong phép chia cho 9. Tổng các chữ số của x; 2x; 3x là: 1 + 2 + 3 + + 9 = 45. Vì 45 9 x + 2x + 3x = 6x 9 x 3. Lại có x tận cùng bằng 2 2x tận cùng là 4 và 3x tận cùng là 6. Đặt 3x = 6ab ab {1; 3; 5; 7; 8; 9}. (Vì các chữ số của 3 số x; 2x; 3x đều khác nhau và khác 0). Do x 3 3x 9 (a + b + 6) 9. a + b = 12 = 5+ 7 = 3 + 9. Xét các trờng hợp có x = 192 là số cần tìm. * Bài tập luyện tập: 1. Thêm 3 chữ số vào sau số 523 để đợc 1 số chia hết chi phí 6; 7; 8 và 9. 2. Tìm sốp có 3 chữ số chia hết cho 45 biết chữ số hàng chục bằng trung bình tổng của 2 chữ số kia. 3. Tìm x; y để xy517 6.7 và 9. 8 4. Tìm số có 5 chữ số biết số đó bằng 45 lần tích các chữ số đã cho. 5. Tìm số abcd biết abcd abab. . * Trong các bài toán chia hết số chia không phải chỉ là các hằng số, khi số chia là các hằng số, khi số chia là một biểu thức chữa chữ ta có dạng, bài sau: 4. Dạng bài 4: Tìm giá trị của chữ thoả mãn điều kiện 1 biểu thức khác. Với các bài tập loại này phơng pháp là tính biểu thức bị cha thành tổng hiệu hoặc tích các biểu thức chia hết cho biểu thức chia và 1 hằng số, từ đó suy ra biểu thức chia ra là ớc của hằng số đó. Đôi khi căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích ta có thể làm xuất hiện hằng số theo phơng pháp sau: A B thì (mA nB) B (m, n N*). ở đó (mA nB) là 1 hằng số. Ví dụ 11: Tìm n để (n + 4) (n - 1) (điều kiện n 1). H ớng dẫn: n + 4 = (n - 1) + 5. Do đó (n + 4) (n - 1) 5 (n - 1). Từ đó tìm đợc n {2; 6}. ví dụ 12: Tìm n để (2n + 1) (6 - n) (n N). H ớng dẫn: Điều kiện: 0 n < 6; n N. Vì (2n + 1) (6 - n) [2 (6 - n) + (2n +1)] (6 - 1). 13 (6 - n). 6 - n Ư (13) = {1; 13}. Kết hợp điều kiện n = 5. Ví dụ 13: Tìm n N để A = (n + 5) (n + 6) 6n. H ớng dẫn: A = n 2 + 11n + 30. = 12n + (n 2 - n + 30). 9 A 6 (n 2 - n + 30) 6n (n 2 - n + 30) 6. n 2 - n = n (n - 1) 6 n (n - 1) 3 ( ) 31 3 n n (Vì 3 9). n chia hết cho 3 hoặc n chia cho 3 d 1 (1) Lại có: (n 2 - n + 30 ) n 30 n (2) Từ (1) và (2) N { 1; 3; 6; 10; 15; 30} Trong các giá trị trên có n { 1; 3; 10; 30} thoả mãn đề bài. * Bài tập luyện tập: 1- Tìm n N để a, ( n+ 6) (n-1) b, (2n + 7) (n + 1) c, (3n + 24) ( n- 4) d, 7n ( n-3) e, (n 2 + 1) n + 1 g, 3n ( 5 + 2n) h, (4n + 3) (2n - 6) 2/ Tìm n để S = a + a 2 + a 3 + a n chia hết cho a+1 3/ Chứng minh: S = 2000 + 2000 2 + + 2000 2000 chia hết cho 2001. Loại II: chứng minh 1. Dạng 1: Chứng minh bài toán chia hết dựa vào dấu hiệu chia hết. Ví dụ 14: Chứng minh rằng một số có tổng các chữ số bằng 123456789 thì số đó chia hết cho 9. H ớng dẫn: 10 [...]... 2 chia hết cho 3 b, (71969)1970 - (368)1970 chia hết cho 10 11 2 Tìm tất cả các số tự nhiên n (n 0)Sao cho 19n + 7 là số tự nhiên 7 n + 11 3 Chứng minh rằng nếu một số có 3 chữ số mà chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị giống nhau và tổng 3 chữ số của nó chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7 2- Dạng 2: chứng minh bài toán chia hết liên quan tới cấu tạo số Ví dụ 17: Chứng minh rằng số abcabc chia. .. có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên số đó chia hết cho 9 ( ĐPCM) Ví dụ 15: chứng minh rằng số Giải: 100 0 Ta có: 101995 + 8 + 1995 số 0 101995 + 8 là số tự nhiên 9 100 08 + 8 = 1994 số 0 100 08 Vì số có tổng các chữ số là: 1994 số 0 1 + 0 + 0 + + 0 + 8 = 9 chia hết cho 9, do đó (10 1995 101995 + 8 + 8 ) 9, hay là số tự nhiên 9 Ví dụ 16: Chứng minh rằng số 4343 - 1717 chia hết cho 5 Hớng... số đó chia hết cho 12 5 CMR abcd 29 (a + 3b + 9c + 27d) 29 3 Dạng 3: Chứng minh một biểu thức chia hết (hoặc không chia hết) cho một số Ví dụ 20: a Chứng minh rằng: A = n (n + 1) (n +2) 6 (n N) Hớng dẫn: Chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và luôn có 1 số chia hết cho 3 A 2 và 3 mà (2; 3) = 1 A 6 b Với n chẵn chứng minh A 24 Đặt n= 2k A = 2k (2k... tiếp tạo thành 1 số chia hết cho 7 * Bài luyện tập: 1 Chứng minh rằng: a abcbeg 23 và 29 nếu abc = 2deg ( ) b Nếu abc + deg 37 thì abcbeg 37 2 Cho M = dcba Chứng minh rằng: a M 4 (a + 2b) 4 b M 8 (a + 2b + 4c) 8 3 Chứng minh rằng: a ab + ba 11 ( ) b ( ab ba ) 9 (a b) 4 Một số có 3 chữ số chia hết cho 12 và chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục CMR tổng 3 chữ số của số đó chia hết cho 12... dạy nhiều năm môn toán lớp 6 ở trờng THCS và vừa kết hợp cộng tác bồi dỡng học sinh giỏi tôi đã hớng dẫn cho các em học sinh chuyên đề này kết quả cho thấy các em không những giải tốt các bài toán về chia hết trong N mà còn biết vận dụng linh hoạt để giải các bài tập về phân số, số nguyên tố, hợp số, số chính phơng thông qua các dạng bài tập các em phát triển t duy, óc sáng tạo, hứng thú học bộ môn . 231* a. Chia hết cho 2 (cho 5). b. Chia hết cho cả 2 và 5. 3. Thay dấu * bởi chữ số nào để các số sau đây: 41*, 64*16; 333*; 8*125. a. Chia hết cho 3 (cho 9); chia hết cho 3 mà không chia hết. mãn. a. Chia hết cho 3 (cho 9). b. Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. c. Chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9. 2. Tìm số lớn nhất trong các số tự nhiên tạo thành bởi 10 chữ số khác nhau và. a. Chia. nhau và. a. Chia hết cho 4. b. Chia hết cho 5. c. Chia hết cho 8. d. Chia hết cho 125. 3. Phải viết ít nhất bao nhiêu số 1944 liền nhau để đợc 1 số chia hết cho 8, chia hết cho 9. 3. Dạng 3: Tìm